Predikaatlogica
HOC 7
Predikaatlogica
Predikaatlogica is een uitbreiding van propositielogica.
Waarom nodig? Om eigenschappen van individuen te beschrijven (voorbeeld: alle katten miauwen,
Pluche is een kat dus Pluche miauwt (voorbeeld allereerste les). Dat kunnen we niet doen met
propositielogica want de taal is niet rijk genoeg).
Op basis van eigenschappen van individuen willen we kunnen redeneren.
Voorbeeld:
Aanname1: Alle mannen voetballen.
Aanname2: Piet is een man
-Niet weer te geven door propositielogica
- Aanname 2 bevat eigenschap (predikaat genoemd) van een individu en er wordt over deze eigenschap
een conclusie gevormd.
Taal
De taal heeft meer uitdrukkingskracht en bevat dus meer bouwstenen:
1- De predikaatzinnen (een beetje vergelijkbaar met de proposities in de propositielogica,
maar hier gaan predikaatzinnen telkens iets zeggen over individuen.), voorbeelden:
i. Piet voetbalt. (zegt iets over Piet) (Hier is het argument Piet)
ii. Jan bemint Marie (de argumenten zijn Jan en Marie)
iii. Stef is kind van Kees en Ada (De argumenten zijn Stef, Kees en Ada)
Zeggen telkens iets over individuen
Predikaten worden voorgesteld door predikaatletters (hoofdletters) met vast aantal argumenten
(volgorde is belangrijk!).
De individuen noemt men in de taal constanten (voorgesteld door kleine letters.)
Voorbeelden van de notatie (symbolisch geschreven dus):
De argumenten staan tussen de haakjes
i. V(p) (V staat voor voetbalt, p staat voor Piet)
ii. B(j,m) (B staat voor bemint, j voor Jan, M voor Marie)
iii. K(s,k,a) (K voor is kind van, s voor Stef, k voor Kees en a voor Ada)
Alternatieve notaties: zie ppt (dia 6)
2- Functies 11
Voorgesteld door kleine letters (f,g,..)
Ze kunnen bvb wiskundige functies zijn zoals:
1|Pagina
,Predikaatlogica
𝑓(𝑥, 𝑦) = 4𝑥 + 3𝑦 2
Maar ze kunnen ook ruimer zijn dan wiskundige functies, bijvoorbeeld:
𝑚(𝑗)𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑒𝑑𝑒𝑟 𝑣𝑎𝑛 𝐽𝑎𝑛 (Het argument is j, j staat voor Jan, en het geeft mij terug de moeder
van Jan.
Nu kan je 𝑚(𝑗) gebruiken in predikaten: 𝐿(𝑗. 𝑚(𝑗))
L staat voor vindt lief. Jan vindt zijn moeder lief.
3- Kwantoren
Uitdrukkingen van hoeveelheid.
Bvb: alle katten miauwen. Dat is de universele kwantor ‘alle’
● ∀: 𝑈𝑛𝑖𝑣𝑒𝑟𝑠𝑒𝑙𝑒 𝑘𝑤𝑎𝑛𝑡𝑜𝑟:′ 𝑎𝑙𝑙𝑒 ′ bvb. Alle mannen voetballen.
● ∃: 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑡𝑖ë𝑙𝑒 𝑘𝑤𝑎𝑛𝑡𝑜𝑟: "𝑒𝑟 𝑖𝑠 𝑚𝑖𝑛𝑠𝑡𝑒𝑛𝑠 éé𝑛" bvb. Er is minstens één vrouw die
voetbalt.
Niet precies één maar er is minstens één.
4- Variabelen
Worden ook voorgesteld door kleine letters (maar aan het eind van het alfabet= x,y,z ..)
Waarom nodig? Gebruik van kwantoren introduceert de nood aan variabelen.
Bvb: ∀𝑥(𝐺(𝑥) → ∃𝑦(𝐺(𝑦) ∧ (𝑦 > 𝑥))) (< of > behoren NIET tot de symbolen. Het zijn
predikaten die normaal gezien in prefix notatie geschreven moeten zijn)
We kunnen meerdere kwantoren in één zin combineren.
bvb:
- ∀𝑒𝑛 ∃
o Voor elk getal bestaat er een groter getal.
o Iedereen heeft een moeder (voor iedereen bestaat er een moeder)
- ∃ 𝑒𝑛 ∀
o Er is een verzameling die bevat is in elke verzameling.
o Iemand is de voorouder voor iedereen.
Definitie van het alfabet
Het alfabet van een predikaat logische taal bestaat uit:
- Een verzameling C van individuele constanten: a,b,c… , a1,a2, ..
- Een verzameling P van predikaatletters: P,Q,R…, P1,P2,..
- Een verzameling F van functieletters: f,g,h,..f1,f2,..
- De logische symbolen: ¬.∧.∨. →. ↔. ∀. ∃
- Een aantal individuele variabelen: u,v,w,x,y,z.., x1,x2,..
- De hulpsymbolen ) en (
2|Pagina
, Predikaatlogica
Plaatsigheid: het aantal argumenten van predikaatletters maar ook de functies kunnen argumenten
hebben. Soms wordt het aangeduid met een index. Bvb:
𝑓 3 (𝑎. 𝑏. 𝑐) wil zeggen dat f 3-plaatsig is.
We kunnen uit de definitie afleiden dat de propositielogica een speciaal geval is van de predikaat
logische taal. In de propositielogica hebben we geen individuele constanten. We hebben
predikaatletters maar zonder argumenten (0-plaatsige predikaatletters; 0 argumenten dus. Dat was
juist een van de nadelen daarvan.), we hebben geen functies, we hebben geen variabelen, ∀𝑒𝑛 ∃
gebruiken we in de propositielogica ook niet.
Syntaxis
We gaan de formules definiëren maar in 2 stappen.
- Termen
o Duiden individuele objecten aan.
Definitie (inductieve definitie)
De termen in de predikaatlogica zijn als volgt gedefinieerd:
- Individuele variabelen en constanten zijn termen
- Als f een k-plaatsige functieletter (k argumenten) is en t1, … , tk zijn termen, dan is f(t1,..,tk) ook
een term. (bvb de functie van moeder)
- Niets anders is een term.
Voorbeeld: 𝑓 3 (𝑔2 (𝑥. ℎ1 (𝑦)). 𝑎. 𝑔2 (𝑎. 𝑦)) is een term
Variabelen gaan we gebruiken om individuen aan te duiden die we niet kennen, zoals in de wiskunde.
Prefix vs. infix notatie:
- Prefix Notatie
o Functiesymbool voor de argumenten.
o Voorbeelden: f(x,y), +(x,y), .(x,y)
- Infix Notatie:
o Meestal bij 2-plaatsige functies (en in de wiskunde.)
o Functiesymbool tussen de argumenten
o Voorbeelden: x+y en x.y
In de logica wordt Meestal prefix gebruikt.
Definitie (formules zijn de belangrijkste constructieven) (inductieve definitie)
3|Pagina
HOC 7
Predikaatlogica
Predikaatlogica is een uitbreiding van propositielogica.
Waarom nodig? Om eigenschappen van individuen te beschrijven (voorbeeld: alle katten miauwen,
Pluche is een kat dus Pluche miauwt (voorbeeld allereerste les). Dat kunnen we niet doen met
propositielogica want de taal is niet rijk genoeg).
Op basis van eigenschappen van individuen willen we kunnen redeneren.
Voorbeeld:
Aanname1: Alle mannen voetballen.
Aanname2: Piet is een man
-Niet weer te geven door propositielogica
- Aanname 2 bevat eigenschap (predikaat genoemd) van een individu en er wordt over deze eigenschap
een conclusie gevormd.
Taal
De taal heeft meer uitdrukkingskracht en bevat dus meer bouwstenen:
1- De predikaatzinnen (een beetje vergelijkbaar met de proposities in de propositielogica,
maar hier gaan predikaatzinnen telkens iets zeggen over individuen.), voorbeelden:
i. Piet voetbalt. (zegt iets over Piet) (Hier is het argument Piet)
ii. Jan bemint Marie (de argumenten zijn Jan en Marie)
iii. Stef is kind van Kees en Ada (De argumenten zijn Stef, Kees en Ada)
Zeggen telkens iets over individuen
Predikaten worden voorgesteld door predikaatletters (hoofdletters) met vast aantal argumenten
(volgorde is belangrijk!).
De individuen noemt men in de taal constanten (voorgesteld door kleine letters.)
Voorbeelden van de notatie (symbolisch geschreven dus):
De argumenten staan tussen de haakjes
i. V(p) (V staat voor voetbalt, p staat voor Piet)
ii. B(j,m) (B staat voor bemint, j voor Jan, M voor Marie)
iii. K(s,k,a) (K voor is kind van, s voor Stef, k voor Kees en a voor Ada)
Alternatieve notaties: zie ppt (dia 6)
2- Functies 11
Voorgesteld door kleine letters (f,g,..)
Ze kunnen bvb wiskundige functies zijn zoals:
1|Pagina
,Predikaatlogica
𝑓(𝑥, 𝑦) = 4𝑥 + 3𝑦 2
Maar ze kunnen ook ruimer zijn dan wiskundige functies, bijvoorbeeld:
𝑚(𝑗)𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑒𝑑𝑒𝑟 𝑣𝑎𝑛 𝐽𝑎𝑛 (Het argument is j, j staat voor Jan, en het geeft mij terug de moeder
van Jan.
Nu kan je 𝑚(𝑗) gebruiken in predikaten: 𝐿(𝑗. 𝑚(𝑗))
L staat voor vindt lief. Jan vindt zijn moeder lief.
3- Kwantoren
Uitdrukkingen van hoeveelheid.
Bvb: alle katten miauwen. Dat is de universele kwantor ‘alle’
● ∀: 𝑈𝑛𝑖𝑣𝑒𝑟𝑠𝑒𝑙𝑒 𝑘𝑤𝑎𝑛𝑡𝑜𝑟:′ 𝑎𝑙𝑙𝑒 ′ bvb. Alle mannen voetballen.
● ∃: 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑡𝑖ë𝑙𝑒 𝑘𝑤𝑎𝑛𝑡𝑜𝑟: "𝑒𝑟 𝑖𝑠 𝑚𝑖𝑛𝑠𝑡𝑒𝑛𝑠 éé𝑛" bvb. Er is minstens één vrouw die
voetbalt.
Niet precies één maar er is minstens één.
4- Variabelen
Worden ook voorgesteld door kleine letters (maar aan het eind van het alfabet= x,y,z ..)
Waarom nodig? Gebruik van kwantoren introduceert de nood aan variabelen.
Bvb: ∀𝑥(𝐺(𝑥) → ∃𝑦(𝐺(𝑦) ∧ (𝑦 > 𝑥))) (< of > behoren NIET tot de symbolen. Het zijn
predikaten die normaal gezien in prefix notatie geschreven moeten zijn)
We kunnen meerdere kwantoren in één zin combineren.
bvb:
- ∀𝑒𝑛 ∃
o Voor elk getal bestaat er een groter getal.
o Iedereen heeft een moeder (voor iedereen bestaat er een moeder)
- ∃ 𝑒𝑛 ∀
o Er is een verzameling die bevat is in elke verzameling.
o Iemand is de voorouder voor iedereen.
Definitie van het alfabet
Het alfabet van een predikaat logische taal bestaat uit:
- Een verzameling C van individuele constanten: a,b,c… , a1,a2, ..
- Een verzameling P van predikaatletters: P,Q,R…, P1,P2,..
- Een verzameling F van functieletters: f,g,h,..f1,f2,..
- De logische symbolen: ¬.∧.∨. →. ↔. ∀. ∃
- Een aantal individuele variabelen: u,v,w,x,y,z.., x1,x2,..
- De hulpsymbolen ) en (
2|Pagina
, Predikaatlogica
Plaatsigheid: het aantal argumenten van predikaatletters maar ook de functies kunnen argumenten
hebben. Soms wordt het aangeduid met een index. Bvb:
𝑓 3 (𝑎. 𝑏. 𝑐) wil zeggen dat f 3-plaatsig is.
We kunnen uit de definitie afleiden dat de propositielogica een speciaal geval is van de predikaat
logische taal. In de propositielogica hebben we geen individuele constanten. We hebben
predikaatletters maar zonder argumenten (0-plaatsige predikaatletters; 0 argumenten dus. Dat was
juist een van de nadelen daarvan.), we hebben geen functies, we hebben geen variabelen, ∀𝑒𝑛 ∃
gebruiken we in de propositielogica ook niet.
Syntaxis
We gaan de formules definiëren maar in 2 stappen.
- Termen
o Duiden individuele objecten aan.
Definitie (inductieve definitie)
De termen in de predikaatlogica zijn als volgt gedefinieerd:
- Individuele variabelen en constanten zijn termen
- Als f een k-plaatsige functieletter (k argumenten) is en t1, … , tk zijn termen, dan is f(t1,..,tk) ook
een term. (bvb de functie van moeder)
- Niets anders is een term.
Voorbeeld: 𝑓 3 (𝑔2 (𝑥. ℎ1 (𝑦)). 𝑎. 𝑔2 (𝑎. 𝑦)) is een term
Variabelen gaan we gebruiken om individuen aan te duiden die we niet kennen, zoals in de wiskunde.
Prefix vs. infix notatie:
- Prefix Notatie
o Functiesymbool voor de argumenten.
o Voorbeelden: f(x,y), +(x,y), .(x,y)
- Infix Notatie:
o Meestal bij 2-plaatsige functies (en in de wiskunde.)
o Functiesymbool tussen de argumenten
o Voorbeelden: x+y en x.y
In de logica wordt Meestal prefix gebruikt.
Definitie (formules zijn de belangrijkste constructieven) (inductieve definitie)
3|Pagina
