,Vorlesung 1,
04 . 04 .2023 ,
Zahl und Struktur
Für alle natürlichen Zahlen ,
a b, a gilt :
Voraussetzung : (1) Wenn alb ,
dann
Behauptung :
gilt alb
Beweis : alb E es ex .
meIN, sodass : b =
.
m
al < (eIN)
Kom Asso
da alb .
.
> b. c =
.
m a
- bc ·
=
m
c
↳
Ziel : alb - es ex . KEIN ,
so dass :
b .
c =
k .a EIN Il
Voraussetzung : (2) Wenn alb und als dann , Behauptung : alxb
-y
i
x, ytl
bxmax)
Beweis : all es ex ein meIN ,
so dass :
bema lx Es xb + g
.
alc es ex . ein ne IN, so dass :
c =
n
- a(y() g
c
. =
n
- a
y
- =x . m
a
. + g
n
. a
(Def .) Def TK
a alxb
.
Ziel :
alxb + ye ( es ex .
ein keIN, so dass xb : + yc = k a
- = + y
E D I
99+((2184) , (495)) :
20
PFz (2184) =
. . .13 3 7
32
PFz(4951 = 5
. - 11
gemeinsamer Primfaktor :
3 (ggT)
Vorlesung 2,
11 .04 .2023 0
2
. Einstieg : Rückblick auf LuA
(144)
99T((632) Hasse
+Wiederholung
225
,
:
Bsp .
Diagramm zu
45 75
PFz (632) 79 23 . 1 T(22511 und
. . . 79 9
ggT KgV
=
2
= 2 2
=
G
PFz(144) =
2
. . . . .
32
2 2 3
=
24 .32 225 =
3
. . .
3
5
5
533 5
.
15
siehe LuA
23
3 - - 5
99T: 1
K
!
!
,
6-
5-
4. . .
1
unterscheidbar6! nicht Permutation mit Wied
3
1
2 5
1 get Gz Wenn wenn =
=
6
. =
30
-
.
!
. ... -
2 .
nk
= 43 = 64 Variation mit Wied .
3 .
Ed
7
Silb
>
G
Fronz, 8 Sprinter ,
3 Plätze =
8
. .
6 7 =
336
(Produktregel) oder =811 =
8
6
. . 7
Variation ohne Wied .
23
n
4 .
=
= 2
. .
2 2
=
8 Variation mit Wied .
.27 . 26
29
=29 .28
. (E) (2) ,
!
5 =
=
4 a -
4) !
=
4! . 25! 4 !
=
29 . 7
. 9
. 13 Kombination ohne Wied .
6 .
5
!
=
120 Permutation mit Wied .
7
. 4 .4 .
4 =
43 =
64 Variation mit Wied .
10!
8(k) =
(8) =
61 .
41
=
10 - - 3
7 =
210 Kombination ohne Wied .
Kombination mit
Wiederholung
- O als Sortentrenner
,Vorlesung 3
, 14 . 04
Beispiel Endstellenregel+ Herleitung (Zehnersystem)
245 =
2
- 1000 + 7
-100 + 4 .10 + 5 1
.
2745 =
2
-103 + 7
-102 + 4 - 100 + 5 -100
2745 = 513 +
. (2 . 2
. (2 . 511 + 5 . (2 .
512 + 4 .(2 . 5/0 7
=> 2X 2745
-meiner
durch 2 teilbar ,
durch 2 teilbar durch ,
2 teilbar ,
durch 2 teilbar ,
=
egal was vor der Klammer steht ,
es geht um
weil weil weil weil
die
Zerlegung der Zehnerpotenz
- Für alle natürlichen Zahlen ab , ,
c de ,
gilt :
alb und al und ald und ale = alb + c + d+ e (Summenformell
Bsp . 21 2000 ,
21700 , 2140 ,
216 = 21 2000 + 700 + 40 + 6 bzw .
212746
Allgemein : Teilbarkeit durch 4
z =
Zn Zn-1 -
Zn-2 ....
.
Z Z i Zo 2716 =
2
-1000 + 7
.100 + 1
.10 + 6
1
-
1
zp - 184 .184 - 10
2
22.10+ -10 - 103 . 102 .101 .100
- -
z = +
zp -
1
+ zn -
2
+
...
+
21 + Z 2716 =
2
+ 7 + 1
+ 6
Idee :
21z0 , 21z110 , 21z 1
102 , 2/zn-1104-1 ,
21zn 104 2716 =
513 +
. (2 .2
512 +
.(2 . 51 +
. /2 . 510
./2 .
7 1
6
-
-104-1 durch 4 teilbar 16:4(1 . (2 .512 16)
23
dann :
21z0 + 21. 101 + 22.102 + ...
+
z -
1
+ zn
10 bzw .
21z 23 .53 in 22 , ...
51°
- (2 . ,
+ 6
=
steckt z drin 16 - bei Teilbarkeit durch 4 =
21z0 - Endstelle also durch 4 teilbar letzten 2 Ziffern zusammenziehen
2
21z:104, (2 - 51 denn 2110 = 21z1 - 10 Folgt ab c ,
EIN alb -
c
21z2 -
102 (2 . 51 ~ denn 21102 =
21z210 Fazit" :
21z0 = 21z
,
21z3 103 ·
(2 . 513/ denn 2110 = 2/z3 -10 =>
↳gilt auch umgekehrt Chier nicht
gezeigt) 21z : = 2/z0 I
In 104 (2 . 51 denn 21104 = 2/zn -10 nur für alle Teiler der Basis im
Dezimalsystem 2 : und
5
↑
Quersummenregel
Def :
Für eine Zahl z
=
Znzn -
1 ... Ze Zo
lässt sich ihre Quersumme Qz wie folgt berechnen :
Q(z) =
zn
+
zn 1 -
+ +
... zu
+ zo mit 0z19 für
i
=
0
, ....,
1 nundz+ 0 Bsp .
Q(2745) =
2+ 7
+ 4 +
5
= 18
Zehnersystem : Eine natürliche Zahl z,
dargestellt im dezimalen Stellenwertsystem ,
ist genau dann durch 9 teilbar ,
wenn ihre Qcz) durch 9 teilbar ist .
(und durch 3
Bsp : 2745 durch 9 teilbar
2745 = 2 -1000 + 7.100 + 4 -10 + 5.1
= 2
-103 + 7
-182 + 4 .101 +
5
-100
5
= 2
.999 + 2 + 7
. 49 + 7
+ 4 .
9 + 4 +
- (2-111 -11 4 . 11 2 4
5
= 9
+ 7
+ + +
7
+ + Quersumme
, Vorlesung 4 ,
18 . 04 . 23
,
.
2
Argumentieren Begründung ,
.
u
Beweisen
Operative Begründung/Beweise -
sollen auf klasse von Bsp .
anwenden lassen-Prozess ,
warum math Problem .
gültig ist
Bsp Rechenhaus
10 a+ b
.
7 + 3 = 10
7 3 O b
7 -
3 = 4
4 a -
b
Formal-algebraische Begründung : a und b mit ba
(a + b) + (a - b) =
+ b +
a
a -
b =
(a + a) + (b -
b) =
2a
(Formal-deduktiver Beweisl (a+b) -
(a -
b) =
a + b
-
a + b =
(a-
a) + (b + b) =
2b
anschauliche ordinal
7 37 3
Inhatlich Begründung Kardinal
-
:
d 373 7
I
7. +
7
7
7- 3
.
7 + 3 + (7 -
3) =
7
+
73 7 + 3 + (7 -
3) =
7
+ 7
7 3
7 + 3 (7 3) 3+3 7 + 3 17 3) +
!
- - - - = 3
=
3
anschauliche ordinal
Inhatlich
Begrünclung allgemein :
b A- ,
b)
a + b + (a -
=
a + a
: a -
b
b
I
a
at D
I
ata
b)
a b
-
a + b -
(a -
= b + b
↓ab
Wiederholung gerade/ungerade Zahl 2 =
1
2
. 4 =
2
2
. 6 =
2
3
.
Gerade Zahlen nach Del :
.
Vielfachen von 2 1 .
gerade 2 : 2 .
gerade
gerade
4 3 .
G
1 =
-
2
1 -
1 3 =
2
2
. -
1 5 =
2
3
. -
1
Ungerade Zahlen nach Def nicht" Vielfache 2 1
ungerade 12
ungerade ungerade 3
5
:
.
von .
:
.
.
3
Die aus zwei geraden Zahlen ist gerade
a
Summe
Gerade oder
ungerade Seien a
,bin kek
,
natürliche Zahlen .
(a bin ,keIN) :
Parität Igebraisch anschaulich allg anschaulich exempl Beh :
ab sind gerade a + b ist gerade
&· I
.
=> a =
2
n
. und b =
2
. k
die n-te 2.
N le Zahlen Dann ist a + b 2-
n + .kP2 - ( n+ k) eine gerade Zahl
gera
2
=
Doppelreihe
gerade Zah↓ aus jewin dunkten 4
Zahlen ist
Die Summe aus zwei
ungeraden gerade
die 2. 1 Zahlen Seien ,bin kek natürliche Zahlen . ,keIN)
n-te n
ungerade (a bin
-
:
a ,
sind ungerade ist gerade
ungerade Zahl Eiermanist 1 3 Beh ab
:
a + b
=> a =
2
n
. -
1 und b =
2
.
k
-
1
Dann ist a + b =
(2-n -
1) + (2 . k
-
1) =
2n + 2k -
2
-> Das Produkt aus zwei geraden Zahlen ist gerade 82(n + k- 1) eine gerade Zahl
Seien abin , k EIN : es gilt a und b sind gerade
=> a =
2
n
. und b =
2
. k
Dann ist a
-b =
2n - 2k =
.
2
(2n -kl eine gerade Zahl
=bei ungerader Zahl 2
n +
- 1 E
INo
04 . 04 .2023 ,
Zahl und Struktur
Für alle natürlichen Zahlen ,
a b, a gilt :
Voraussetzung : (1) Wenn alb ,
dann
Behauptung :
gilt alb
Beweis : alb E es ex .
meIN, sodass : b =
.
m
al < (eIN)
Kom Asso
da alb .
.
> b. c =
.
m a
- bc ·
=
m
c
↳
Ziel : alb - es ex . KEIN ,
so dass :
b .
c =
k .a EIN Il
Voraussetzung : (2) Wenn alb und als dann , Behauptung : alxb
-y
i
x, ytl
bxmax)
Beweis : all es ex ein meIN ,
so dass :
bema lx Es xb + g
.
alc es ex . ein ne IN, so dass :
c =
n
- a(y() g
c
. =
n
- a
y
- =x . m
a
. + g
n
. a
(Def .) Def TK
a alxb
.
Ziel :
alxb + ye ( es ex .
ein keIN, so dass xb : + yc = k a
- = + y
E D I
99+((2184) , (495)) :
20
PFz (2184) =
. . .13 3 7
32
PFz(4951 = 5
. - 11
gemeinsamer Primfaktor :
3 (ggT)
Vorlesung 2,
11 .04 .2023 0
2
. Einstieg : Rückblick auf LuA
(144)
99T((632) Hasse
+Wiederholung
225
,
:
Bsp .
Diagramm zu
45 75
PFz (632) 79 23 . 1 T(22511 und
. . . 79 9
ggT KgV
=
2
= 2 2
=
G
PFz(144) =
2
. . . . .
32
2 2 3
=
24 .32 225 =
3
. . .
3
5
5
533 5
.
15
siehe LuA
23
3 - - 5
99T: 1
K
!
!
,
6-
5-
4. . .
1
unterscheidbar6! nicht Permutation mit Wied
3
1
2 5
1 get Gz Wenn wenn =
=
6
. =
30
-
.
!
. ... -
2 .
nk
= 43 = 64 Variation mit Wied .
3 .
Ed
7
Silb
>
G
Fronz, 8 Sprinter ,
3 Plätze =
8
. .
6 7 =
336
(Produktregel) oder =811 =
8
6
. . 7
Variation ohne Wied .
23
n
4 .
=
= 2
. .
2 2
=
8 Variation mit Wied .
.27 . 26
29
=29 .28
. (E) (2) ,
!
5 =
=
4 a -
4) !
=
4! . 25! 4 !
=
29 . 7
. 9
. 13 Kombination ohne Wied .
6 .
5
!
=
120 Permutation mit Wied .
7
. 4 .4 .
4 =
43 =
64 Variation mit Wied .
10!
8(k) =
(8) =
61 .
41
=
10 - - 3
7 =
210 Kombination ohne Wied .
Kombination mit
Wiederholung
- O als Sortentrenner
,Vorlesung 3
, 14 . 04
Beispiel Endstellenregel+ Herleitung (Zehnersystem)
245 =
2
- 1000 + 7
-100 + 4 .10 + 5 1
.
2745 =
2
-103 + 7
-102 + 4 - 100 + 5 -100
2745 = 513 +
. (2 . 2
. (2 . 511 + 5 . (2 .
512 + 4 .(2 . 5/0 7
=> 2X 2745
-meiner
durch 2 teilbar ,
durch 2 teilbar durch ,
2 teilbar ,
durch 2 teilbar ,
=
egal was vor der Klammer steht ,
es geht um
weil weil weil weil
die
Zerlegung der Zehnerpotenz
- Für alle natürlichen Zahlen ab , ,
c de ,
gilt :
alb und al und ald und ale = alb + c + d+ e (Summenformell
Bsp . 21 2000 ,
21700 , 2140 ,
216 = 21 2000 + 700 + 40 + 6 bzw .
212746
Allgemein : Teilbarkeit durch 4
z =
Zn Zn-1 -
Zn-2 ....
.
Z Z i Zo 2716 =
2
-1000 + 7
.100 + 1
.10 + 6
1
-
1
zp - 184 .184 - 10
2
22.10+ -10 - 103 . 102 .101 .100
- -
z = +
zp -
1
+ zn -
2
+
...
+
21 + Z 2716 =
2
+ 7 + 1
+ 6
Idee :
21z0 , 21z110 , 21z 1
102 , 2/zn-1104-1 ,
21zn 104 2716 =
513 +
. (2 .2
512 +
.(2 . 51 +
. /2 . 510
./2 .
7 1
6
-
-104-1 durch 4 teilbar 16:4(1 . (2 .512 16)
23
dann :
21z0 + 21. 101 + 22.102 + ...
+
z -
1
+ zn
10 bzw .
21z 23 .53 in 22 , ...
51°
- (2 . ,
+ 6
=
steckt z drin 16 - bei Teilbarkeit durch 4 =
21z0 - Endstelle also durch 4 teilbar letzten 2 Ziffern zusammenziehen
2
21z:104, (2 - 51 denn 2110 = 21z1 - 10 Folgt ab c ,
EIN alb -
c
21z2 -
102 (2 . 51 ~ denn 21102 =
21z210 Fazit" :
21z0 = 21z
,
21z3 103 ·
(2 . 513/ denn 2110 = 2/z3 -10 =>
↳gilt auch umgekehrt Chier nicht
gezeigt) 21z : = 2/z0 I
In 104 (2 . 51 denn 21104 = 2/zn -10 nur für alle Teiler der Basis im
Dezimalsystem 2 : und
5
↑
Quersummenregel
Def :
Für eine Zahl z
=
Znzn -
1 ... Ze Zo
lässt sich ihre Quersumme Qz wie folgt berechnen :
Q(z) =
zn
+
zn 1 -
+ +
... zu
+ zo mit 0z19 für
i
=
0
, ....,
1 nundz+ 0 Bsp .
Q(2745) =
2+ 7
+ 4 +
5
= 18
Zehnersystem : Eine natürliche Zahl z,
dargestellt im dezimalen Stellenwertsystem ,
ist genau dann durch 9 teilbar ,
wenn ihre Qcz) durch 9 teilbar ist .
(und durch 3
Bsp : 2745 durch 9 teilbar
2745 = 2 -1000 + 7.100 + 4 -10 + 5.1
= 2
-103 + 7
-182 + 4 .101 +
5
-100
5
= 2
.999 + 2 + 7
. 49 + 7
+ 4 .
9 + 4 +
- (2-111 -11 4 . 11 2 4
5
= 9
+ 7
+ + +
7
+ + Quersumme
, Vorlesung 4 ,
18 . 04 . 23
,
.
2
Argumentieren Begründung ,
.
u
Beweisen
Operative Begründung/Beweise -
sollen auf klasse von Bsp .
anwenden lassen-Prozess ,
warum math Problem .
gültig ist
Bsp Rechenhaus
10 a+ b
.
7 + 3 = 10
7 3 O b
7 -
3 = 4
4 a -
b
Formal-algebraische Begründung : a und b mit ba
(a + b) + (a - b) =
+ b +
a
a -
b =
(a + a) + (b -
b) =
2a
(Formal-deduktiver Beweisl (a+b) -
(a -
b) =
a + b
-
a + b =
(a-
a) + (b + b) =
2b
anschauliche ordinal
7 37 3
Inhatlich Begründung Kardinal
-
:
d 373 7
I
7. +
7
7
7- 3
.
7 + 3 + (7 -
3) =
7
+
73 7 + 3 + (7 -
3) =
7
+ 7
7 3
7 + 3 (7 3) 3+3 7 + 3 17 3) +
!
- - - - = 3
=
3
anschauliche ordinal
Inhatlich
Begrünclung allgemein :
b A- ,
b)
a + b + (a -
=
a + a
: a -
b
b
I
a
at D
I
ata
b)
a b
-
a + b -
(a -
= b + b
↓ab
Wiederholung gerade/ungerade Zahl 2 =
1
2
. 4 =
2
2
. 6 =
2
3
.
Gerade Zahlen nach Del :
.
Vielfachen von 2 1 .
gerade 2 : 2 .
gerade
gerade
4 3 .
G
1 =
-
2
1 -
1 3 =
2
2
. -
1 5 =
2
3
. -
1
Ungerade Zahlen nach Def nicht" Vielfache 2 1
ungerade 12
ungerade ungerade 3
5
:
.
von .
:
.
.
3
Die aus zwei geraden Zahlen ist gerade
a
Summe
Gerade oder
ungerade Seien a
,bin kek
,
natürliche Zahlen .
(a bin ,keIN) :
Parität Igebraisch anschaulich allg anschaulich exempl Beh :
ab sind gerade a + b ist gerade
&· I
.
=> a =
2
n
. und b =
2
. k
die n-te 2.
N le Zahlen Dann ist a + b 2-
n + .kP2 - ( n+ k) eine gerade Zahl
gera
2
=
Doppelreihe
gerade Zah↓ aus jewin dunkten 4
Zahlen ist
Die Summe aus zwei
ungeraden gerade
die 2. 1 Zahlen Seien ,bin kek natürliche Zahlen . ,keIN)
n-te n
ungerade (a bin
-
:
a ,
sind ungerade ist gerade
ungerade Zahl Eiermanist 1 3 Beh ab
:
a + b
=> a =
2
n
. -
1 und b =
2
.
k
-
1
Dann ist a + b =
(2-n -
1) + (2 . k
-
1) =
2n + 2k -
2
-> Das Produkt aus zwei geraden Zahlen ist gerade 82(n + k- 1) eine gerade Zahl
Seien abin , k EIN : es gilt a und b sind gerade
=> a =
2
n
. und b =
2
. k
Dann ist a
-b =
2n - 2k =
.
2
(2n -kl eine gerade Zahl
=bei ungerader Zahl 2
n +
- 1 E
INo
