Mathe
Zusammenlassung
,Vorlesung 1,
11 . 10 .22 .
1 Zahlen verstehen ,
1
1
. Zahlen erkunden
Produktorientierung Ergebnisse : sind richtig .
Ziel :
Training Rec
henfertigkeiten
Prozessorientierung Ergebnisse : ändern sich nach Mustern .
Ziel
prozessbezogene Kompetenzen
:
Mathematik ist eine
Tätigkeit ,
eine Verhaltensweise, eine
Geistesverlassung .
Konstanz
Eine kleine Variation führt zum
Rechengesetz : der Differenz
subtraktiver Subtraktion Minuend und Subtrahend
↳ Ein
Zusammenhang :
Wenn bei der gleichsinnig
verändert werden ,
verändert sich die Dillerenz nicht .
Bsp : Ein graues Päckchen Ein schönes Päckchen Am Rechenstrich :
Rechenstrich
42 24 18 42 24 18
Zurückgehen am
-
-
= :
=
24 + 11
54 -
32 =
22 53 -
35 =
18
L
24
51 -
30 21 64 -
46 18 ↑n
11 Aus a-b mache
5
=
42
= :
45
-
26 = 19 75 -
57 =
18
18
a
-
b =
(a + x) -
(b + x)
48 -
28 = 20 86 -
68 =
18
Vergleicher am Rechenstrich : =a+ x-b- X
+ 11 + 11 + 0
(+ 11) -
( + 11) = 0
18 18 =
(a -
b) + (x
-
x)
unstrukturiertes = a b
in 42 5
-
55
,
Muster" Strukturiertes Muster" er me
Minusaulgabe :
.
1
Zahl -
.
2
Zahl
↑
=
Ergebnis
Mindend Subtrahend Differenz
laden und Mathematik
=> schöne Päckchen" zum Nachdenken über die Muster
Gesetzmäßigkeiten der
und Darstellen an
ein
regen
damit
prozessbezogene Kompetenzen wie Kommunizieren, , Argumentieren !
Die Differenz von Umkehrzahlen
Der Unterschied zwischen zweistelligen Umkehrzahlen ist ein Viellaches von 9 .
Bsp .:
89-89 20-02
43-34 62-26
Der Unterschied zwischen Zehner -
und Einerzieller gibt jeweils genau an, um welches
Vielfache von 9 es sich hierbei handelt .
Bsp .: 53-35 = (5-3) .10 -
(5 -
3) 1
. =
2
.(10 -
1) =
2
9
.
Algebraisch :
(a - 10+ b) -
(b - 10 + al
= a
. 10 + b -
b - 10 -
a
= 10 .
a + b -
10 .b -
a
= 10 a
-
-
a -
10 .b + b
= 9
a
. - 9
.b =
9
. (a b) -
=
(a -
b) .
9
, Vorlesung 2,
14 . 10 .22 1
1 Zahlen
. erkunden
Zahlen sind und Element der Zählreihenfolge
eine
Eigenschalt einer
Menge ... ein
(1) Verschiedene Objekte werden durch gewisse gemeinsame
Eigenschalten einer zu
Menge zusammengelasst .
(2) Eine Zahl ist eine Äquivalenzklasse von
Mengen ,
ein Gedankenkonstrukt über Gedankenkonstrukte .
(3) Jede Zahl (F0) hat Anzahl liebert
genau einen
Vorgänger : Die eine
Ordnung .
bijektiv jedes Element der hat Partner der Delinitionsmenge
:
Zielmenge genau einen in
surjektiv jedes Element hat mindestens
: der
Zielmenge einen Partner in der Delinitionsmenge
injektiv Element hat höchstens
: jedes der
Zielmenge einen Partner in der Delinitionsmenge
äquivalent :
eine
eindeutige Zuordnung
gleichmächtig : haben beide die gleiche Anzahll (z B . .
2)
Das Mengenverhältnis bei Kindern
al Mengenvergleiche (mehr weniger , ,
gleich) (viel ,
wenig
b) Veränderungen von
Mengen
(1
mehr/1weniger Unterschied ,
Sei A
eine nichtleere Menge
und x ein Element von
A
.
d .
h
XEA nicht .
d
.
h
EA
Dann heißt die Zahl von AlEx3 der
Vorgänger von Der
Nachfolger Ey3 Element
A . von
A, Au
Menge Au .
y
Die Zahl O ist die Zahl der leeren 0 E03
Menge
=
↓Zusammensetzungen von Mengen aus Teilmengen
simultane Anzahlerkennung -
einfacher , wenn Anzahlen strukturiert
angeordnet sind
Teil-Ganzes-Beziehungen beschreibt die Einsicht ,
dass eine
Menge in Teile
zerlegt werden kann .
Dekadisch an Struktur des Dezimalsystems orientiert
4 + 3 =
73 + 3 =
6 Konkret Gegenstand ,
Punkte abstrakt
=> Prozesse (strukturiert)
Fazit :
Mengen zu
vergleichen zu verändern zusammensetzen
, zerlegen sind und zu
wichtige Bestandteile der Entwicklung des
Mengenverhältnisses und hängen eng
zusammen .
Fazit
Tätigkeiten zerlegen und zusammensetzen sollten Unterricht
: Die ,
vergleichen
Mengen ,
verändern ,
im
durch
vielfältige Aufgaben zum Schnellen Sehen"
angeregt werden .
Hierbei geht stets die Prozesse und nicht das schnelle als Produkt
es um um
Ergebnis .
, Vorlesung ,
3
17 .18 .22 1
2
. Zahlaspekt
Zahlen geben an, wie viele Elemente in einer
Menge
sind
(Mächtigkeit der Mengel .
gibt die Zahl ist
Die letzte Zahl beim Zählen der
Menge an .
Die Zahl einer
Menge gleichzeitig die Zahl
aller ihrer
gleichmächtigen Mengen .
die Zahlen 3 3231 30
Bsp .
Dreiersystem" ,
gibt es 0
, ,
12 keine !
neuner 1 dreier Zeiner
Neuner Einer
↳ (1113 1 und 1 ↳
(22)z = Zahl 8 Dreier 9 + 3 + 2 =
14 Zehnersystem
1 dreier ,
1 einer (101)z = Zahl 10
Adieren und Subtrahieren zerlegen vergleichen
Mengen zusammenfügen
:
, , , ...
↳ Vorwärts- oder Zurückbewegen in der Reihenfolge
Multiplizieren und Dividieren :
Mengen vervielfachen , aufteilen , ...
der Reihenfolge
Sprünge in
Zahlen statisch Zählen dynamisch Zahlenbeziehungen
Kardinal Wie viele Verhältnis
Menge
:
?
Zahlen als Anzahlen
5Plätchen sind eins, zwei, drei als 6 Zahlen als Positionen
grau ... eins
weniger
ordinal : Der wievielte ? Verhältnis Position
↓ -
Das 5 te.
Plätchen Ater Iter Ster eins vor .
G
Plätchen
sind Element anderen
Zahlen auch ein in einer
Reihenfolge ,
das in
Beziehung zu
Elementen steht
der
Reihenfolge
Kardinalzahlaspekt :
Maßzahlaspekt :
Zahlen beschreiben die
Mächtigkeit von
Mengen , Maßzahlen für Größen
die Anzahl Elementen einer Bsp 10 min, 5E
von
Menge 2m,
:
.
Bsp . 3 Äpfel 9 Zahlen ,
↳Aneinanderlegen Abtrennen ,
↳Vereinigen , Wegnehmen
Operatoraspekt :
Ordinalzahlaspekt :
Bezeichnung der Vielfachheit einer
Handlung oder eines
Vorgangs
Zählzahl :
Folge der natürlichen Zahlen ,
die beim Bsp : Noch fündmal schladen bis zu den Ferien
Zählen durchlauen werden .
↳
Hintereinander ,
wie alt noch ?
Ordnungszahl Rangplatz : in einer geordneten Reihe .
Bsp :
eins, zwei, drei Rechenzahlaspekt :
↳
Weiterzählen Rückwärtszählen , Algebraischer Aspekt : IN+ Struktur mit best .
Eigenschalten
."
Ich bin der 5 . im Wartezimmer Bsp .: 36 + (17 + 4) =
...
23 .27 = 625 -
4 schriftliches Rechenverfahren
Algorithmischer Aspekt : Rechnen als , Ziflernmanipulation'
Kodierungsaspekt : nach
lestgelegten Regeln
Bezeichnung von Objekten Bsp :628 halbschrittliche Strategien e
Bsp .: Telefonnummer Postleitzahl , 1191
vernetzt thematisiert
Fazit : Die
Zahlenbedingung bedingen einander und sollten im Unterricht
eng
werden .
ertl .
Zahl-Größen Entwicklungsmodell
Zusammenlassung
,Vorlesung 1,
11 . 10 .22 .
1 Zahlen verstehen ,
1
1
. Zahlen erkunden
Produktorientierung Ergebnisse : sind richtig .
Ziel :
Training Rec
henfertigkeiten
Prozessorientierung Ergebnisse : ändern sich nach Mustern .
Ziel
prozessbezogene Kompetenzen
:
Mathematik ist eine
Tätigkeit ,
eine Verhaltensweise, eine
Geistesverlassung .
Konstanz
Eine kleine Variation führt zum
Rechengesetz : der Differenz
subtraktiver Subtraktion Minuend und Subtrahend
↳ Ein
Zusammenhang :
Wenn bei der gleichsinnig
verändert werden ,
verändert sich die Dillerenz nicht .
Bsp : Ein graues Päckchen Ein schönes Päckchen Am Rechenstrich :
Rechenstrich
42 24 18 42 24 18
Zurückgehen am
-
-
= :
=
24 + 11
54 -
32 =
22 53 -
35 =
18
L
24
51 -
30 21 64 -
46 18 ↑n
11 Aus a-b mache
5
=
42
= :
45
-
26 = 19 75 -
57 =
18
18
a
-
b =
(a + x) -
(b + x)
48 -
28 = 20 86 -
68 =
18
Vergleicher am Rechenstrich : =a+ x-b- X
+ 11 + 11 + 0
(+ 11) -
( + 11) = 0
18 18 =
(a -
b) + (x
-
x)
unstrukturiertes = a b
in 42 5
-
55
,
Muster" Strukturiertes Muster" er me
Minusaulgabe :
.
1
Zahl -
.
2
Zahl
↑
=
Ergebnis
Mindend Subtrahend Differenz
laden und Mathematik
=> schöne Päckchen" zum Nachdenken über die Muster
Gesetzmäßigkeiten der
und Darstellen an
ein
regen
damit
prozessbezogene Kompetenzen wie Kommunizieren, , Argumentieren !
Die Differenz von Umkehrzahlen
Der Unterschied zwischen zweistelligen Umkehrzahlen ist ein Viellaches von 9 .
Bsp .:
89-89 20-02
43-34 62-26
Der Unterschied zwischen Zehner -
und Einerzieller gibt jeweils genau an, um welches
Vielfache von 9 es sich hierbei handelt .
Bsp .: 53-35 = (5-3) .10 -
(5 -
3) 1
. =
2
.(10 -
1) =
2
9
.
Algebraisch :
(a - 10+ b) -
(b - 10 + al
= a
. 10 + b -
b - 10 -
a
= 10 .
a + b -
10 .b -
a
= 10 a
-
-
a -
10 .b + b
= 9
a
. - 9
.b =
9
. (a b) -
=
(a -
b) .
9
, Vorlesung 2,
14 . 10 .22 1
1 Zahlen
. erkunden
Zahlen sind und Element der Zählreihenfolge
eine
Eigenschalt einer
Menge ... ein
(1) Verschiedene Objekte werden durch gewisse gemeinsame
Eigenschalten einer zu
Menge zusammengelasst .
(2) Eine Zahl ist eine Äquivalenzklasse von
Mengen ,
ein Gedankenkonstrukt über Gedankenkonstrukte .
(3) Jede Zahl (F0) hat Anzahl liebert
genau einen
Vorgänger : Die eine
Ordnung .
bijektiv jedes Element der hat Partner der Delinitionsmenge
:
Zielmenge genau einen in
surjektiv jedes Element hat mindestens
: der
Zielmenge einen Partner in der Delinitionsmenge
injektiv Element hat höchstens
: jedes der
Zielmenge einen Partner in der Delinitionsmenge
äquivalent :
eine
eindeutige Zuordnung
gleichmächtig : haben beide die gleiche Anzahll (z B . .
2)
Das Mengenverhältnis bei Kindern
al Mengenvergleiche (mehr weniger , ,
gleich) (viel ,
wenig
b) Veränderungen von
Mengen
(1
mehr/1weniger Unterschied ,
Sei A
eine nichtleere Menge
und x ein Element von
A
.
d .
h
XEA nicht .
d
.
h
EA
Dann heißt die Zahl von AlEx3 der
Vorgänger von Der
Nachfolger Ey3 Element
A . von
A, Au
Menge Au .
y
Die Zahl O ist die Zahl der leeren 0 E03
Menge
=
↓Zusammensetzungen von Mengen aus Teilmengen
simultane Anzahlerkennung -
einfacher , wenn Anzahlen strukturiert
angeordnet sind
Teil-Ganzes-Beziehungen beschreibt die Einsicht ,
dass eine
Menge in Teile
zerlegt werden kann .
Dekadisch an Struktur des Dezimalsystems orientiert
4 + 3 =
73 + 3 =
6 Konkret Gegenstand ,
Punkte abstrakt
=> Prozesse (strukturiert)
Fazit :
Mengen zu
vergleichen zu verändern zusammensetzen
, zerlegen sind und zu
wichtige Bestandteile der Entwicklung des
Mengenverhältnisses und hängen eng
zusammen .
Fazit
Tätigkeiten zerlegen und zusammensetzen sollten Unterricht
: Die ,
vergleichen
Mengen ,
verändern ,
im
durch
vielfältige Aufgaben zum Schnellen Sehen"
angeregt werden .
Hierbei geht stets die Prozesse und nicht das schnelle als Produkt
es um um
Ergebnis .
, Vorlesung ,
3
17 .18 .22 1
2
. Zahlaspekt
Zahlen geben an, wie viele Elemente in einer
Menge
sind
(Mächtigkeit der Mengel .
gibt die Zahl ist
Die letzte Zahl beim Zählen der
Menge an .
Die Zahl einer
Menge gleichzeitig die Zahl
aller ihrer
gleichmächtigen Mengen .
die Zahlen 3 3231 30
Bsp .
Dreiersystem" ,
gibt es 0
, ,
12 keine !
neuner 1 dreier Zeiner
Neuner Einer
↳ (1113 1 und 1 ↳
(22)z = Zahl 8 Dreier 9 + 3 + 2 =
14 Zehnersystem
1 dreier ,
1 einer (101)z = Zahl 10
Adieren und Subtrahieren zerlegen vergleichen
Mengen zusammenfügen
:
, , , ...
↳ Vorwärts- oder Zurückbewegen in der Reihenfolge
Multiplizieren und Dividieren :
Mengen vervielfachen , aufteilen , ...
der Reihenfolge
Sprünge in
Zahlen statisch Zählen dynamisch Zahlenbeziehungen
Kardinal Wie viele Verhältnis
Menge
:
?
Zahlen als Anzahlen
5Plätchen sind eins, zwei, drei als 6 Zahlen als Positionen
grau ... eins
weniger
ordinal : Der wievielte ? Verhältnis Position
↓ -
Das 5 te.
Plätchen Ater Iter Ster eins vor .
G
Plätchen
sind Element anderen
Zahlen auch ein in einer
Reihenfolge ,
das in
Beziehung zu
Elementen steht
der
Reihenfolge
Kardinalzahlaspekt :
Maßzahlaspekt :
Zahlen beschreiben die
Mächtigkeit von
Mengen , Maßzahlen für Größen
die Anzahl Elementen einer Bsp 10 min, 5E
von
Menge 2m,
:
.
Bsp . 3 Äpfel 9 Zahlen ,
↳Aneinanderlegen Abtrennen ,
↳Vereinigen , Wegnehmen
Operatoraspekt :
Ordinalzahlaspekt :
Bezeichnung der Vielfachheit einer
Handlung oder eines
Vorgangs
Zählzahl :
Folge der natürlichen Zahlen ,
die beim Bsp : Noch fündmal schladen bis zu den Ferien
Zählen durchlauen werden .
↳
Hintereinander ,
wie alt noch ?
Ordnungszahl Rangplatz : in einer geordneten Reihe .
Bsp :
eins, zwei, drei Rechenzahlaspekt :
↳
Weiterzählen Rückwärtszählen , Algebraischer Aspekt : IN+ Struktur mit best .
Eigenschalten
."
Ich bin der 5 . im Wartezimmer Bsp .: 36 + (17 + 4) =
...
23 .27 = 625 -
4 schriftliches Rechenverfahren
Algorithmischer Aspekt : Rechnen als , Ziflernmanipulation'
Kodierungsaspekt : nach
lestgelegten Regeln
Bezeichnung von Objekten Bsp :628 halbschrittliche Strategien e
Bsp .: Telefonnummer Postleitzahl , 1191
vernetzt thematisiert
Fazit : Die
Zahlenbedingung bedingen einander und sollten im Unterricht
eng
werden .
ertl .
Zahl-Größen Entwicklungsmodell
