Klausur

Universität Ulm Prof. Dr. Dall’Acqua
Lukas Niebel
Abgabe und Besprechung: WS 22/23
19.12.22, 14:15 Uhr
O28 - H22 30 Punkte

Zwischenklausur Analysis 1


1. Beweisen oder Widerlegen Sie die folgenden Aussagen. (5x2)

1. Es sei X ∕= ∅ eine Menge und f : X → X mit f (f (x)) = x, dann ist f injektiv.
2. Wir betrachten die Menge A = { 3n−2
2n
: n ∈ N} ⊂ R.
Es gilt min A = inf A = 1
2
und sup A = 32 .
3. Es sei (an )n∈N eine reelle Zahlenfolge,
! " sodass an ∕= 0 für alle n ∈ N ist. Gilt
lim an = 0, dann ist die Folge a1n unbeschränkt.
n→∞ n∈N
4. Sei (an )n∈N ⊂ R eine beschränkte Folge mit a2k+1 ≥ −17 für alle k ∈ N. Dann
gilt lim inf an ≥ −17.
n→∞
#
5. Für jede Nullfolge (ak )k∈N konvergiert die Reihe ∞k=1 (−1) ak .
k



2. Zeigen Sie, dass für alle n ∈ N die Gleichung (4)
n
$ k 1
=1−
k=0
(k + 1)! (n + 1)!
#∞
gilt. Konvergiert die Reihe k=0 (k+1)! ?
k



3. Berechnen Sie, falls existent, die Grenzwerte der folgenden Folgen (an )n∈N . Begrün- (3x2)
den Sie Ihre Aussagen.
% &n %√ &
3n17 − 4n3 − (−1)n 2−n n+2 n+2
1. an = , 2. an = , 3. an = n √ −1 .
8n5 + n17 + 6 n+1 n+1

4. Sei (ak )k∈N definiert durch a1 = 2 und ak+1 = ak + 1
ak
für k ∈ N. (2+1)

1. Zeigen Sie, dass ak > 0 für alle k ∈ N gilt und, dass (ak )k∈N monoton wächst.
2. Zeigen Sie, dass (ak )k∈N nicht nach oben beschränkt ist.

5. Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz. Für welche x ∈ [−1, 1] (2+2+3)
konvergiert bzw. divergiert die Reihe in 3.? Begründen Sie Ihre Aussagen.


∞
$ ∞
$ ∞
$
n+1 2k xn
1. , 2. , 3. , x ∈ [−1, 1].
n=0
n! k=1
k n=0
2 + xn