Kilia Schilling 2022/23
Mathematik Abiturvorbereitung
Taschenrechner
Bei Winkelfunktionen 2π anstelle von 360°
Funktionen definieren Aktion - Befehle - define -[abc] f - [Var] (x) - Funktion
Grafik - Intervall [a;b] 𝑦1 = 𝑓(𝑥) | 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏
Binomialkoeffizient Keyboard - unter abc ⍗ - Erweitern - nCR (n,K)
Einzelwahrscheinlichkeit Interaktiv - Verteilungsfunktion - Diskret - binomialPDF
Mehrere Interaktiv - Verteilungsfunktion - Diskret - binomialCDF
Wahrscheinlichkeiten
Histogramm Statistik - List1 - cal - seq(x,x,0,n,1)
- List 2 - cal - binomialPDF(list1,n,p)
- Typ Histogramm, X-List: List1, Häufigkeit: List2
Grenzwert Keyboard - Math2 - lim 𝑓(𝑥)
𝑥 → ±∞
Ableitung einer Funktion main - Aktion - Berechnung - diff(f(x)) = f’(x)
(f(x);x;Ableitungsgrad;x-Wert)
Klammern ausmultipli. Aktion - Umformung - collect(f(x))
Werten vereinfachen Aktion - Umformung - simplify
Tangentenfunktion Aktion - Berechnung - linie - tanLine(f(x),x[Variable],x1[Stelle, an der
die Tangente angelegt werden soll]
Wendepunkt Grafik - Analyse - Grafische Lösung - Wendepunkt
Wendepunkttangente Grafik - Analyse - Skizze - Tangente - x-Wert - exe
1. Winkelhalbierende 𝑦=𝑥
2. Winkelhalbierende 𝑦 =− 𝑥
Funktionenscharen Grafik - auf zweites Symbol links (mehrere Funktionen)
Grafik -Integral
Analyse - grafische Lösung - Integral - ∫ 𝑑𝑥 - Tastatur -
Ober-/Untergrenze
Gauß’scher Algorithmus main - Matrix - Berechnen - rref(Matrix) = E + letzte Spalte Lösung
Rang einer Matrix main - Matrix - Berechnen - rank
Regression statistik - liste1 = x-Werte - liste2 = y-Werte → Calc - Regression -
gesuchte Funktion - !Formel kopieren!
gesuchter Wert Ä.-rate 𝑦
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
0
1
, Kilia Schilling 2022/23
Merksätze
● Betragsstriche nicht vergessen!
0
● funktionsabhängige Variable beachten, z.B. 𝑧(𝑡) = ∫ 𝑧(𝑡)𝑑𝑡
𝑢
● Stelle: x-Werte Punkt: x- & y-Werte
● wenn die Potenz Null ist, wird die Basis Eins
● Anstieg einer Tangente: 𝑚 = 𝑡𝑎𝑛 α → Anstiegswinkel ∝
● tangential ≠ Tangente → am Punkt P verhält sich Funktion wie eine Tangente zu
einer anderen Funktion
● orthogonal = senkrecht
● identisch parallel: LGS hat ∞-viele Lösungen (da Funktionen aufeinander liegen)
● echt parallel: LGS hat keine Lösung (da Funktionen sich nie schneiden)
f.A. ⇒ 𝐿 =⊘ oder 𝐿 = { }
Rechengesetze
● Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz)
○ Summanden können vertauscht werden
○ 𝑎+𝑏=𝑏+𝑎
○ Faktoren können vertauscht werden
○ 𝑎·𝑏=𝑏·𝑎
● Assoziativgesetz (Verbindungsgesetz)
○ bei Addition dürfen Klammern beliebig gesetzt/ weggelassen werden
○ (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐)
○ bei Multiplikation dürfen Klammern beliebig gesetzt/ weggelassen werden
○ (𝑎 · 𝑏) · 𝑐 = 𝑎 · (𝑏 · 𝑐)
● Distributivgesetz (Verteilungsgesetz)
○ Produkt aus einer Zahl und einer Summe ergibt das Gleiche wie die Summe
aus dem Produkt dieser Zahl mit den einzelnen Summanden
○ 𝑎 · (𝑏 + 𝑐) = 𝑎 · 𝑏 + 𝑎 · 𝑐
Potenzgesetz
multiplizieren dividieren potenzieren
𝑝 𝑞 𝑝+𝑞 𝑝 𝑞 𝑝−𝑞 𝑝 𝑞 𝑝·𝑞
𝑎 ·𝑎 =𝑎 𝑎 ÷𝑎 =𝑎 (𝑎 ) = 𝑎
𝑞 𝑞 𝑞 𝑞 𝑞 𝑞
𝑎 · 𝑏 = (𝑎 · 𝑏) 𝑎 ÷ 𝑏 = (𝑎 ÷ 𝑏)
Änderung von Funktionen
● Faktor vor Funktion: Stauchung, Streckung → Richtung y-Achse
● Faktor vor x: Stauchung 𝑎 < 1, Streckung 𝑎 > 1 → Richtung x-Achse
1
(wie oft passt die Funktion in die Ausgangsfunktion? z.B. 10
so breit → 10x)
○ 0 < 𝑎 ⇒ Stauchungs- & Streckungsfaktor
○ 0 < 𝑎 < 1 ⇒ Stauchungsfaktor
○ 1 < 𝑎 ⇒ Streckungsfaktor
Exponentialfunktion
𝑥+𝑛
● n Einheiten in neg. x-Richtung: 𝑓(𝑥) = 𝐵
2
, Kilia Schilling 2022/23
𝑥 𝑛 𝑥+𝑛
● Streckung y-Richtung: 𝑓(𝑥) = 𝐵 · 𝐵 = 𝐵
Stochastik
Grundbegriffe
Zufallsexperiment: ein Experiment mit unvorhersehbaren Ergebnis
Ergebnis: Anzahl aller Ereignisse; Ausgang des Experiments
Ergebnismenge S: alle möglichen Ergebnisse
Ereignis A: bestimmte Merkmale aus einem Ergebnis; (rrw), (rwr), (wrr)
Teilmenge vom Ergebnis: P( { (Ereignis 1) (Ereignis 2) (Ereignis 3) } )
𝐸𝑟𝑒𝑖𝑔𝑛𝑖𝑠
relative Häufigkeit: Verhältnis von Ereignis und Ergebnis → 𝐸𝑟𝑔𝑒𝑏𝑛𝑖𝑠
absolute Häufigkeit: Anzahl der eingetretenen Ereignisse
Laplace-Experiment: jedes Ergebnis kommt mit selber Wahrscheinlichkeit vor
1. Pfadregel
Wahrscheinlichkeiten entlang eines Astes werden multipliziert
2. Pfadregel
Wahrscheinlichkeiten am Ende eines Astes werden addiert
Wahrscheinlichkeitsverteilung
● Funktion (= eindeutige Zuordnung), bei der jedem Ergebnis eines
Zufallesexperimentes ihre Wahrscheinlichkeit zugeordnet wird
en Ergebnis
P(e) Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses
Summe aller Wahrscheinlichkeiten = 1
Bedingte Wahrscheinlichkeit
P(A): die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von Ereignis A
Je höher P(A), desto wahrscheinlicher ist es, dass Ereignis A eintritt
P(Ā): Die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses zu Ereignis A
𝑃(Ā) = 1 − 𝑃(𝐴)
PA(B): hat eine Wahrscheinlichkeit von B unter der Voraussetzung A
𝑃(𝐴 ∩𝐵)
𝑃𝐴(𝐵) = 𝑃(𝐴)
P(A ∩B): hat die Wahrscheinlichkeit A und zugleich B
𝑃(𝐵) 𝑃(𝐵)
𝑃(𝐴) 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
3
Mathematik Abiturvorbereitung
Taschenrechner
Bei Winkelfunktionen 2π anstelle von 360°
Funktionen definieren Aktion - Befehle - define -[abc] f - [Var] (x) - Funktion
Grafik - Intervall [a;b] 𝑦1 = 𝑓(𝑥) | 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏
Binomialkoeffizient Keyboard - unter abc ⍗ - Erweitern - nCR (n,K)
Einzelwahrscheinlichkeit Interaktiv - Verteilungsfunktion - Diskret - binomialPDF
Mehrere Interaktiv - Verteilungsfunktion - Diskret - binomialCDF
Wahrscheinlichkeiten
Histogramm Statistik - List1 - cal - seq(x,x,0,n,1)
- List 2 - cal - binomialPDF(list1,n,p)
- Typ Histogramm, X-List: List1, Häufigkeit: List2
Grenzwert Keyboard - Math2 - lim 𝑓(𝑥)
𝑥 → ±∞
Ableitung einer Funktion main - Aktion - Berechnung - diff(f(x)) = f’(x)
(f(x);x;Ableitungsgrad;x-Wert)
Klammern ausmultipli. Aktion - Umformung - collect(f(x))
Werten vereinfachen Aktion - Umformung - simplify
Tangentenfunktion Aktion - Berechnung - linie - tanLine(f(x),x[Variable],x1[Stelle, an der
die Tangente angelegt werden soll]
Wendepunkt Grafik - Analyse - Grafische Lösung - Wendepunkt
Wendepunkttangente Grafik - Analyse - Skizze - Tangente - x-Wert - exe
1. Winkelhalbierende 𝑦=𝑥
2. Winkelhalbierende 𝑦 =− 𝑥
Funktionenscharen Grafik - auf zweites Symbol links (mehrere Funktionen)
Grafik -Integral
Analyse - grafische Lösung - Integral - ∫ 𝑑𝑥 - Tastatur -
Ober-/Untergrenze
Gauß’scher Algorithmus main - Matrix - Berechnen - rref(Matrix) = E + letzte Spalte Lösung
Rang einer Matrix main - Matrix - Berechnen - rank
Regression statistik - liste1 = x-Werte - liste2 = y-Werte → Calc - Regression -
gesuchte Funktion - !Formel kopieren!
gesuchter Wert Ä.-rate 𝑦
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
0
1
, Kilia Schilling 2022/23
Merksätze
● Betragsstriche nicht vergessen!
0
● funktionsabhängige Variable beachten, z.B. 𝑧(𝑡) = ∫ 𝑧(𝑡)𝑑𝑡
𝑢
● Stelle: x-Werte Punkt: x- & y-Werte
● wenn die Potenz Null ist, wird die Basis Eins
● Anstieg einer Tangente: 𝑚 = 𝑡𝑎𝑛 α → Anstiegswinkel ∝
● tangential ≠ Tangente → am Punkt P verhält sich Funktion wie eine Tangente zu
einer anderen Funktion
● orthogonal = senkrecht
● identisch parallel: LGS hat ∞-viele Lösungen (da Funktionen aufeinander liegen)
● echt parallel: LGS hat keine Lösung (da Funktionen sich nie schneiden)
f.A. ⇒ 𝐿 =⊘ oder 𝐿 = { }
Rechengesetze
● Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz)
○ Summanden können vertauscht werden
○ 𝑎+𝑏=𝑏+𝑎
○ Faktoren können vertauscht werden
○ 𝑎·𝑏=𝑏·𝑎
● Assoziativgesetz (Verbindungsgesetz)
○ bei Addition dürfen Klammern beliebig gesetzt/ weggelassen werden
○ (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐)
○ bei Multiplikation dürfen Klammern beliebig gesetzt/ weggelassen werden
○ (𝑎 · 𝑏) · 𝑐 = 𝑎 · (𝑏 · 𝑐)
● Distributivgesetz (Verteilungsgesetz)
○ Produkt aus einer Zahl und einer Summe ergibt das Gleiche wie die Summe
aus dem Produkt dieser Zahl mit den einzelnen Summanden
○ 𝑎 · (𝑏 + 𝑐) = 𝑎 · 𝑏 + 𝑎 · 𝑐
Potenzgesetz
multiplizieren dividieren potenzieren
𝑝 𝑞 𝑝+𝑞 𝑝 𝑞 𝑝−𝑞 𝑝 𝑞 𝑝·𝑞
𝑎 ·𝑎 =𝑎 𝑎 ÷𝑎 =𝑎 (𝑎 ) = 𝑎
𝑞 𝑞 𝑞 𝑞 𝑞 𝑞
𝑎 · 𝑏 = (𝑎 · 𝑏) 𝑎 ÷ 𝑏 = (𝑎 ÷ 𝑏)
Änderung von Funktionen
● Faktor vor Funktion: Stauchung, Streckung → Richtung y-Achse
● Faktor vor x: Stauchung 𝑎 < 1, Streckung 𝑎 > 1 → Richtung x-Achse
1
(wie oft passt die Funktion in die Ausgangsfunktion? z.B. 10
so breit → 10x)
○ 0 < 𝑎 ⇒ Stauchungs- & Streckungsfaktor
○ 0 < 𝑎 < 1 ⇒ Stauchungsfaktor
○ 1 < 𝑎 ⇒ Streckungsfaktor
Exponentialfunktion
𝑥+𝑛
● n Einheiten in neg. x-Richtung: 𝑓(𝑥) = 𝐵
2
, Kilia Schilling 2022/23
𝑥 𝑛 𝑥+𝑛
● Streckung y-Richtung: 𝑓(𝑥) = 𝐵 · 𝐵 = 𝐵
Stochastik
Grundbegriffe
Zufallsexperiment: ein Experiment mit unvorhersehbaren Ergebnis
Ergebnis: Anzahl aller Ereignisse; Ausgang des Experiments
Ergebnismenge S: alle möglichen Ergebnisse
Ereignis A: bestimmte Merkmale aus einem Ergebnis; (rrw), (rwr), (wrr)
Teilmenge vom Ergebnis: P( { (Ereignis 1) (Ereignis 2) (Ereignis 3) } )
𝐸𝑟𝑒𝑖𝑔𝑛𝑖𝑠
relative Häufigkeit: Verhältnis von Ereignis und Ergebnis → 𝐸𝑟𝑔𝑒𝑏𝑛𝑖𝑠
absolute Häufigkeit: Anzahl der eingetretenen Ereignisse
Laplace-Experiment: jedes Ergebnis kommt mit selber Wahrscheinlichkeit vor
1. Pfadregel
Wahrscheinlichkeiten entlang eines Astes werden multipliziert
2. Pfadregel
Wahrscheinlichkeiten am Ende eines Astes werden addiert
Wahrscheinlichkeitsverteilung
● Funktion (= eindeutige Zuordnung), bei der jedem Ergebnis eines
Zufallesexperimentes ihre Wahrscheinlichkeit zugeordnet wird
en Ergebnis
P(e) Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses
Summe aller Wahrscheinlichkeiten = 1
Bedingte Wahrscheinlichkeit
P(A): die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von Ereignis A
Je höher P(A), desto wahrscheinlicher ist es, dass Ereignis A eintritt
P(Ā): Die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses zu Ereignis A
𝑃(Ā) = 1 − 𝑃(𝐴)
PA(B): hat eine Wahrscheinlichkeit von B unter der Voraussetzung A
𝑃(𝐴 ∩𝐵)
𝑃𝐴(𝐵) = 𝑃(𝐴)
P(A ∩B): hat die Wahrscheinlichkeit A und zugleich B
𝑃(𝐵) 𝑃(𝐵)
𝑃(𝐴) 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
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