Marie Wasmuth Abitur 2023
MATHEMATIK LEISTUNGSKURS
ABITUR 2023 – LERNZETTEL
Inhaltsverzeichnis
Funktionen und ihre Darstellung (E.1) .................................................................................................... 3
Mathematische Funktionen und ihre Eigenschaften .......................................................................... 3
Funktionsklassen (E.2) ............................................................................................................................. 6
Ganzrationale Funktionen ................................................................................................................... 6
Wurzelfunktionen................................................................................................................................ 7
Trigonometrische Funktionen ............................................................................................................. 7
Natürliche Exponentialfunktion .......................................................................................................... 8
Natürliche Logarithmusfunktion ......................................................................................................... 8
Exponentielles Wachstum und exponentieller Zerfall ........................................................................ 8
Der Ableitungsbegriff (E.3) ...................................................................................................................... 9
Die Ableitung ....................................................................................................................................... 9
Anwendung der Ableitung: Kurvendiskussion (E.4) .............................................................................. 11
Monotonieverhalten ......................................................................................................................... 11
Extremstellen/-punkte ...................................................................................................................... 11
Krümmungsverhalten ........................................................................................................................ 12
Die Ableitung und ihre Funktionen im Überblick .............................................................................. 12
Die Umkehrfunktion .......................................................................................................................... 13
Einführung in die Integralrechnung (Q1.1) ........................................................................................... 14
Die Streifenmethode des Archimedes .............................................................................................. 14
Begriff der Stammfunktion und des unbestimmten Integrals .......................................................... 15
Das bestimmte Integral ..................................................................................................................... 16
Anwendung der Integralrechnung (Q1.2) ............................................................................................. 18
Flächeninhaltsberechnungen ............................................................................................................ 18
Rekonstruktion von Beständen ......................................................................................................... 19
Das Volumen von Rotationskörpern ................................................................................................. 19
Uneigentliche Integrale ..................................................................................................................... 19
Exponentialfunktionen ...................................................................................................................... 20
Exponentielle Wachstums- und Zerfallsprozesse.............................................................................. 21
Funktionenscharen (Q1.3) ..................................................................................................................... 23
Ganzrationale Funktionenscharen .................................................................................................... 23
Lineare Gleichungssysteme (Q2.1) ........................................................................................................ 24
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,Marie Wasmuth Abitur 2023
Lineare Gleichungssysteme ............................................................................................................... 24
Orientieren und Bewegen im Raum (Q2.2) ........................................................................................... 26
Räumliche Koordinatensysteme........................................................................................................ 26
Vektoren ............................................................................................................................................ 26
Beziehungen zwischen Vektoren ...................................................................................................... 29
Geraden und Ebenen im Raum (Q2.3) .................................................................................................. 30
Geraden im Raum.............................................................................................................................. 30
Ebenen im Raum ............................................................................................................................... 31
Lage von Punkten, Geraden und Ebenen im Raum ........................................................................... 33
Schnittpunkte und -geraden.............................................................................................................. 35
Abstände im Raum ............................................................................................................................ 36
Winkel im Raum ................................................................................................................................ 38
Grundlegende Begriffe der Stochastik (Q3.1) ....................................................................................... 39
Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie .................................................................................... 39
Statistischer Wahrscheinlichkeitsbegriff ........................................................................................... 40
Umgang mit Daten ............................................................................................................................ 40
Mehrstufige Zufallsversuche ............................................................................................................. 41
Berechnung von Wahrscheinlichkeiten (Q3.2)...................................................................................... 43
Kombinatorik ..................................................................................................................................... 43
Zusammengesetzte Zufallsprozesse .................................................................................................. 45
Wahrscheinlichkeitsverteilungen (Q3.3) ............................................................................................... 47
Grundlegende Begriffe ...................................................................................................................... 47
Bernoulli-Ketten ................................................................................................................................ 48
Die Normalverteilung als Approximation .......................................................................................... 51
Die Normalverteilung bei stetigen Zufallsgrößen ............................................................................. 55
Hypothesentests für binomialverteilte Zufallsgrößen (Q3.4) ............................................................... 57
Grundlagen der statistischen Entscheidungstheorie ........................................................................ 57
Signifikanztests .................................................................................................................................. 59
Signifikanztests mit vorgegebenem Signifikanzniveau...................................................................... 61
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,Marie Wasmuth Abitur 2023
Funktionen und ihre Darstellung (E.1)
Mathematische Funktionen und ihre Eigenschaften
Definition: Was sind Funktionen?
Als Funktion bezeichnet man auch die Beziehung zwischen zwei Mengen. Die Elemente dieser
Mengen werden meist 𝑥 und 𝑦 genannt.
Zusammenhänge in Mathematischen Funktionen
• zwei Variablen stehen in einer Beziehung zueinander
• 𝑥 ist dabei die unabhängige Variable mit welcher man die abhängige Variable 𝑦 berechnen
kann
• die Menge aller 𝑥-Werte nennt man Definitionsbereich, bzw. Definitionsmenge 𝔻𝑓
• die über die Funktionsvorschrift 𝑓 berechnete Menge aller berechneten 𝑦-Werte nennt man
Wertebereich oder Wertemenge 𝕎𝑓
• 𝑥 und 𝑦 bezeichnet man auch als Elemente ihrer jeweiligen Menge
Wird jedem 𝑥-Wert genau ein einziger 𝑦-Wert zugeordnet, nennt man die Beziehung zwischen den
Variablen Funktion. Die Funktion ist damit immer eindeutig. Ist jedem 𝑦-Wert auch genau ein 𝑥-Wert
zugeordnet, ist die Funktion eineindeutig.
Graphische Darstellung von Funktionen
Um einen Funktionsgraphen zeichnen zu können, kann beispielsweise eine Wertetabelle erstellt
werden. Diese ordnet Punkte 𝑃(𝑥|𝑦) tabellarisch an, welche anschließend in ein Koordinatensystem
eingezeichnet werden können.
Beispiel: 𝑓 (𝑥) = 𝑦 = 𝑥 2
Wertetabelle Funktionsgraph
𝒙-Wert 𝒚-Wert
-2 4
0 0
1 1
2 4
3 9
4 16
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, Marie Wasmuth Abitur 2023
Nullstellen von Funktionen
Die Schnittstelle einer Funktion 𝑓 mit der x-Achse eines Koordinatensystems wird als Nullstelle der
Funktion 𝑓 bezeichnet. Es gilt 𝑓(𝑥0 ) = 0. An einer Nullstelle schneidet oder berührt der Graph von 𝑓
die x-Achse.
Nullstellen ungerader Ordnung
• Eine Funktion 𝑓 hat an der Stelle 𝑥0 eine Nullstelle ungerader Ordnung, wenn der zugehörige
Linearfaktor (𝑥 − 𝑥0 ) in der Linearfaktorzerlegung von 𝑓 eine ungerade Potenz besitzt. Es
handelt sich also um Nullstellen mit der Vielfachheit 1, 3, 5, 7, …
• Der Graph der Funktion weist bei 𝑥0 einen Vorzeichenwechsel (VZW) auf, schneidet also die
x-Achse.
Nullstellen gerader Ordnung
• Eine Funktion 𝑓 hat an der Stelle 𝑥0 eine Nullstelle gerader Ordnung, wenn der zugehörige
Linearfaktor (𝑥 − 𝑥0 ) in der Linearfaktorzerlegung von 𝑓 eine gerade Potenz besitzt. Es
handelt sich also um Nullstellen mit der Vielfachheit 2, 4, 6, 8 …
• Der Graph der Funktion weist bei hier bei 𝑥0 keinen Vorzeichenwechsel auf, berührt also die
x-Achse.
Symmetrie bezüglich des Koordinatensystems
Der Graph einer reellen Funktion 𝑓 ist…
… achsensymmetrisch (bezüglich der y-Achse), wenn gilt: 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥) für alle 𝑥𝜖𝔻𝑓
… punktsymmetrisch (bezüglich des Ursprungs), wenn gilt: 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥) für alle 𝑥𝜖𝔻𝑓
Rechnerisch überprüft man eine Funktion auf Symmetrie, indem man (−𝑥) statt 𝑥 in den
Funktionsterm einsetzt.
Transformation von Funktionsgraphen
Verschiebung
Verschiebt man den Funktionsgraphen einer Funktion 𝑓 im Koordinatensystem, bleibt der Verlauf
des Graphens im Wesentlichen gleich, nur seine Position im Koordinatensystem verändert sich. Das
Verschieben einer Funktion 𝑓 ist sowohl in x-Richtung (nach links oder rechts) als auch in y-Richtung
(nach oben oder unten) möglich. Durch das Verschieben einer Funktion 𝑓 verändert sich nicht nur
das Schaubild der Funktion, sondern auch ihr Funktionsterm.
Graphen in x-Richtung verschieben
Eine Funktion 𝑓(𝑥) wird in x-Richtung verschoben, indem ein Parameter 𝑐 von der Variablen 𝑥 im
Funktionsterm subtrahiert wird.
Wird eine Funktion 𝑓(𝑥) um 𝑐 Einheiten in x-Richtung verschoben, ergibt sich eine neue Funktion
𝑔(𝑥), die wie folgt aus der Funktion 𝑓 hervorgeht:
𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥 − 𝑐)
Je nachdem, ob 𝑐 positiv oder negativ ist, wird der Funktionsgraph in eine andere Richtung
verschoben:
Parameter 𝒄 Verschiebung
𝒄>𝟎 Verschiebung um 𝑐 Einheiten nach rechts
𝒄<𝟎 Verschiebung um 𝑐 Einheiten nach links
𝒄=𝟎 keine Verschiebung in x-Richtung
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ABITUR 2023 – LERNZETTEL
Inhaltsverzeichnis
Funktionen und ihre Darstellung (E.1) .................................................................................................... 3
Mathematische Funktionen und ihre Eigenschaften .......................................................................... 3
Funktionsklassen (E.2) ............................................................................................................................. 6
Ganzrationale Funktionen ................................................................................................................... 6
Wurzelfunktionen................................................................................................................................ 7
Trigonometrische Funktionen ............................................................................................................. 7
Natürliche Exponentialfunktion .......................................................................................................... 8
Natürliche Logarithmusfunktion ......................................................................................................... 8
Exponentielles Wachstum und exponentieller Zerfall ........................................................................ 8
Der Ableitungsbegriff (E.3) ...................................................................................................................... 9
Die Ableitung ....................................................................................................................................... 9
Anwendung der Ableitung: Kurvendiskussion (E.4) .............................................................................. 11
Monotonieverhalten ......................................................................................................................... 11
Extremstellen/-punkte ...................................................................................................................... 11
Krümmungsverhalten ........................................................................................................................ 12
Die Ableitung und ihre Funktionen im Überblick .............................................................................. 12
Die Umkehrfunktion .......................................................................................................................... 13
Einführung in die Integralrechnung (Q1.1) ........................................................................................... 14
Die Streifenmethode des Archimedes .............................................................................................. 14
Begriff der Stammfunktion und des unbestimmten Integrals .......................................................... 15
Das bestimmte Integral ..................................................................................................................... 16
Anwendung der Integralrechnung (Q1.2) ............................................................................................. 18
Flächeninhaltsberechnungen ............................................................................................................ 18
Rekonstruktion von Beständen ......................................................................................................... 19
Das Volumen von Rotationskörpern ................................................................................................. 19
Uneigentliche Integrale ..................................................................................................................... 19
Exponentialfunktionen ...................................................................................................................... 20
Exponentielle Wachstums- und Zerfallsprozesse.............................................................................. 21
Funktionenscharen (Q1.3) ..................................................................................................................... 23
Ganzrationale Funktionenscharen .................................................................................................... 23
Lineare Gleichungssysteme (Q2.1) ........................................................................................................ 24
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Lineare Gleichungssysteme ............................................................................................................... 24
Orientieren und Bewegen im Raum (Q2.2) ........................................................................................... 26
Räumliche Koordinatensysteme........................................................................................................ 26
Vektoren ............................................................................................................................................ 26
Beziehungen zwischen Vektoren ...................................................................................................... 29
Geraden und Ebenen im Raum (Q2.3) .................................................................................................. 30
Geraden im Raum.............................................................................................................................. 30
Ebenen im Raum ............................................................................................................................... 31
Lage von Punkten, Geraden und Ebenen im Raum ........................................................................... 33
Schnittpunkte und -geraden.............................................................................................................. 35
Abstände im Raum ............................................................................................................................ 36
Winkel im Raum ................................................................................................................................ 38
Grundlegende Begriffe der Stochastik (Q3.1) ....................................................................................... 39
Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie .................................................................................... 39
Statistischer Wahrscheinlichkeitsbegriff ........................................................................................... 40
Umgang mit Daten ............................................................................................................................ 40
Mehrstufige Zufallsversuche ............................................................................................................. 41
Berechnung von Wahrscheinlichkeiten (Q3.2)...................................................................................... 43
Kombinatorik ..................................................................................................................................... 43
Zusammengesetzte Zufallsprozesse .................................................................................................. 45
Wahrscheinlichkeitsverteilungen (Q3.3) ............................................................................................... 47
Grundlegende Begriffe ...................................................................................................................... 47
Bernoulli-Ketten ................................................................................................................................ 48
Die Normalverteilung als Approximation .......................................................................................... 51
Die Normalverteilung bei stetigen Zufallsgrößen ............................................................................. 55
Hypothesentests für binomialverteilte Zufallsgrößen (Q3.4) ............................................................... 57
Grundlagen der statistischen Entscheidungstheorie ........................................................................ 57
Signifikanztests .................................................................................................................................. 59
Signifikanztests mit vorgegebenem Signifikanzniveau...................................................................... 61
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Funktionen und ihre Darstellung (E.1)
Mathematische Funktionen und ihre Eigenschaften
Definition: Was sind Funktionen?
Als Funktion bezeichnet man auch die Beziehung zwischen zwei Mengen. Die Elemente dieser
Mengen werden meist 𝑥 und 𝑦 genannt.
Zusammenhänge in Mathematischen Funktionen
• zwei Variablen stehen in einer Beziehung zueinander
• 𝑥 ist dabei die unabhängige Variable mit welcher man die abhängige Variable 𝑦 berechnen
kann
• die Menge aller 𝑥-Werte nennt man Definitionsbereich, bzw. Definitionsmenge 𝔻𝑓
• die über die Funktionsvorschrift 𝑓 berechnete Menge aller berechneten 𝑦-Werte nennt man
Wertebereich oder Wertemenge 𝕎𝑓
• 𝑥 und 𝑦 bezeichnet man auch als Elemente ihrer jeweiligen Menge
Wird jedem 𝑥-Wert genau ein einziger 𝑦-Wert zugeordnet, nennt man die Beziehung zwischen den
Variablen Funktion. Die Funktion ist damit immer eindeutig. Ist jedem 𝑦-Wert auch genau ein 𝑥-Wert
zugeordnet, ist die Funktion eineindeutig.
Graphische Darstellung von Funktionen
Um einen Funktionsgraphen zeichnen zu können, kann beispielsweise eine Wertetabelle erstellt
werden. Diese ordnet Punkte 𝑃(𝑥|𝑦) tabellarisch an, welche anschließend in ein Koordinatensystem
eingezeichnet werden können.
Beispiel: 𝑓 (𝑥) = 𝑦 = 𝑥 2
Wertetabelle Funktionsgraph
𝒙-Wert 𝒚-Wert
-2 4
0 0
1 1
2 4
3 9
4 16
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Nullstellen von Funktionen
Die Schnittstelle einer Funktion 𝑓 mit der x-Achse eines Koordinatensystems wird als Nullstelle der
Funktion 𝑓 bezeichnet. Es gilt 𝑓(𝑥0 ) = 0. An einer Nullstelle schneidet oder berührt der Graph von 𝑓
die x-Achse.
Nullstellen ungerader Ordnung
• Eine Funktion 𝑓 hat an der Stelle 𝑥0 eine Nullstelle ungerader Ordnung, wenn der zugehörige
Linearfaktor (𝑥 − 𝑥0 ) in der Linearfaktorzerlegung von 𝑓 eine ungerade Potenz besitzt. Es
handelt sich also um Nullstellen mit der Vielfachheit 1, 3, 5, 7, …
• Der Graph der Funktion weist bei 𝑥0 einen Vorzeichenwechsel (VZW) auf, schneidet also die
x-Achse.
Nullstellen gerader Ordnung
• Eine Funktion 𝑓 hat an der Stelle 𝑥0 eine Nullstelle gerader Ordnung, wenn der zugehörige
Linearfaktor (𝑥 − 𝑥0 ) in der Linearfaktorzerlegung von 𝑓 eine gerade Potenz besitzt. Es
handelt sich also um Nullstellen mit der Vielfachheit 2, 4, 6, 8 …
• Der Graph der Funktion weist bei hier bei 𝑥0 keinen Vorzeichenwechsel auf, berührt also die
x-Achse.
Symmetrie bezüglich des Koordinatensystems
Der Graph einer reellen Funktion 𝑓 ist…
… achsensymmetrisch (bezüglich der y-Achse), wenn gilt: 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥) für alle 𝑥𝜖𝔻𝑓
… punktsymmetrisch (bezüglich des Ursprungs), wenn gilt: 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥) für alle 𝑥𝜖𝔻𝑓
Rechnerisch überprüft man eine Funktion auf Symmetrie, indem man (−𝑥) statt 𝑥 in den
Funktionsterm einsetzt.
Transformation von Funktionsgraphen
Verschiebung
Verschiebt man den Funktionsgraphen einer Funktion 𝑓 im Koordinatensystem, bleibt der Verlauf
des Graphens im Wesentlichen gleich, nur seine Position im Koordinatensystem verändert sich. Das
Verschieben einer Funktion 𝑓 ist sowohl in x-Richtung (nach links oder rechts) als auch in y-Richtung
(nach oben oder unten) möglich. Durch das Verschieben einer Funktion 𝑓 verändert sich nicht nur
das Schaubild der Funktion, sondern auch ihr Funktionsterm.
Graphen in x-Richtung verschieben
Eine Funktion 𝑓(𝑥) wird in x-Richtung verschoben, indem ein Parameter 𝑐 von der Variablen 𝑥 im
Funktionsterm subtrahiert wird.
Wird eine Funktion 𝑓(𝑥) um 𝑐 Einheiten in x-Richtung verschoben, ergibt sich eine neue Funktion
𝑔(𝑥), die wie folgt aus der Funktion 𝑓 hervorgeht:
𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥 − 𝑐)
Je nachdem, ob 𝑐 positiv oder negativ ist, wird der Funktionsgraph in eine andere Richtung
verschoben:
Parameter 𝒄 Verschiebung
𝒄>𝟎 Verschiebung um 𝑐 Einheiten nach rechts
𝒄<𝟎 Verschiebung um 𝑐 Einheiten nach links
𝒄=𝟎 keine Verschiebung in x-Richtung
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