Differenzialrechnung
Ableitung Grundlagen/Definition
Steigung ≙ Verhältnis Veränderung / Abstand x & y-Werte
𝛥𝑦 𝑓(𝑥1 )−𝑓(𝑥0 )
MITTLERE ÄNDERUNGSRATE (=Tangentensteigung( berührt 1 Punkt)): 𝛥𝑥 𝑏𝑧𝑤. 𝑥1 −𝑥0
≙ DIFFERENZQUOTIENT
MOMENTANE ÄNDERUNGSRATE (=Sekantensteigung (= schneidet 2 Punkte)) & Grenzwert/kleinste Annäherung der
mittleren ÄR)
𝑓(𝑥𝑏 )−𝑓(𝑥𝑎 )
an xa: 𝑥𝑏 −𝑥𝑎
≙ DIFFERENZIALQUOTIENT ≙ABLEITUNG!
SEKANTE = eine Gerade, die 2 Punkte schneidet
1. Ableitungsregeln
1. Zahl allein (= 0) f(x)= ±Zahl → f‘(x)=0
2. Konstanter Faktor/Quotient (= bleibt) f(x)= a * g(x) → f‘(x)= a * g’(x)
f(x)= xn → f‘(x)= n* xn-1
3. Potenz
x → 1 , weil ist ja eigentlich x1= 1
4. Exponentialfunktion - wenn e=Zahl (ohne x): f(x)= Zahl*e → f‘(x)=0
(=0 oder bleibt) - wenn e=Funktion (mit x): f(x)= Zahl*ex → f‘(x)= Zahl*ex
5. Trigo-Funktion
(=im Uhrzeigersinn)
6. Summen/Differenzen Funktion f(x)= h(x) ± g(x) → f‘(x)= h’(x) ± g’(x)
(=einzeln ableiten)
7. Produkte Funktion (= ableiten * f(x)= u(x) * v(x) → f‘(x)= u’(x) * v(x) + u(x) * v’(x)
übernehmen + übernehmen * ableiten)
allgemein: f(x)= u * (v(x)) → f‘(x)= u‘(v(x)) * v‘(x)
- f(x)= (Klammerinhalt)n → f‘(x) = n* (Klammerinhalt)n-1 * Klammerinhalt‘
8. Verschachtelte Funktionen
- f(x)= en → f‘(x) = en * n‘
(= äußere Ableitung * innere Ableitung)
-f(x)= sin(Klammerinhalt) → f(x) = sin‘ (Klammerinhalt) *
Klammerinhalt‘
1
9. Brüche (= umformen & Ableitungsregel) f(x)= n → f‘(x)= - n * xn-1
x
r r
r
= n w → f‘(x)= 2 ⋅ n 2−1
w
10. Wurzeln (= umformen & Ableitungsregel) f(x)= √nr
11. Höhere Ableitungen (= weiterableiten) f’(x) → f’’(x) → f’’’(x) → …
2. Kurven
Tangente & Normale
TANGENTE: Gerade, die mit Steigung (mt = f‘(x1)) einem Punkt P(x1/f(x1)) berührt
Tangentengleichung: Y = m * x + b → Y-Wert von P mit f(x) + Punkt + m (=f‘(x1)) einsetzten
Steigungswinkel (=Winkel Tangente mit x-Achse): |tan(α)= m | → m= f‘(x1)
−1
NORMALE: Gerade, die Tangente mit Steigung (mn = mt ) senkrecht schneidet
−1
Normalengleichung: Y = m * x + b → Punkt & m (=mt) einsetzten
Lage 2 Kurven
Berühren (gleicher Punkt & gleiche m) f(u) = g(u) ^ f‘(u) = g‘(u)
Schneiden (gleicher Punkt & ≠m) f(u) = g(u) ^ f‘(u) ≠ g‘(u)
Senkrechtes Schneiden f(u) = g(u) ^ f‘(u) * g‘(u) = - 1
f ′ (xs ) − g′(xs )
Schnittwinkel tan(α) =
1 + f ′ (xs ) ∗ g′(xs )
Parallel (≠Punkt & gleiche m) f(u) ≠ g(u) ^ f‘(u) = g‘(u)
, Grafisches Differenzieren/Ableiten
(Siehe Allgemeinanleitung bei „Graphisches Aufleiten“)
Regelmäßigkeiten, die gut zu wissen sind:
• 4.Grades wird zu→ 3. Grades wird zu→ 2.Grades → 1. Grades …
• Symmetrie abwechselnd (f(x) z.B. achsensymmetrisch
→ f‘(x) punktsymmetrisch→ f‘‘(x) z.B. achsensymmetrisch)
• NEW-Regel gibt Auskunft über markante Punkte
(S wäre in f‘(x) & f‘‘(x) doppelte N)
hier Nullstellen mit tatsächlichem VZW gemeint!
1. Markante Punkte auswählen → H/T/W/N
2. Tagentengleichung mit Steigungsdreieck an diesen Punkten einzeichnen & rechnen
3. Diese Y-Werte (hier f(x): x-Wert ; f‘(x): y-Wert) in neues KS für Ableitungskurve zeichnen
ODER wie auf der Abbildung rechts (gemäß NEW):
1. Skizzen machen
2. markante Punkte bei f(x) markieren und als gestrichelte Linien über restliche
Koordinatensysteme zeichnen
3. Laut NEW-Regel bei Markierungen richtigen neuen markanten Punkt als x bei f‘(x)
kennzeichnen
4. Verlauf rekonstruieren, indem bei f(x) untersuche, ob der Graph hoch (=+) oder runter
(=-) geht und somit weiß, dass in f‘(x) der Graph VOR dem markanten Punkt im positiven
oder negativen Y-Achsen-Bereich liegen muss
Monotonie
ohne Null = immer STRENG monoton…
Kurvenuntersuchung
1. Bedingung: f‘(x) = 0 → liefert xExtremstelle
2. Ermittlung H oder T:
1.Möglichkeit: 2. Möglichkeit:
Extrempunkte f‘(xlinks Extremstelle) = 0 & f‘(xrechts Extremstelle) = 0 f‘‘(x) berechnen & in diese Gleichung xExtremstelle
=Punkt mit max./min.
x-Wert
einsetzten
wenn von zu → HOCHPUNKT wenn → TIEFPUNKT
wenn von zu → TIEFPUNKT wenn → HOCHPUNKT
3. Koordinaten E: H oder T(xExtremstelle/ f(xExtremstelle)) → xExtremstelle in f(x) einsetzten für Y-Wert
f‘‘(x1)>0 f‘‘(x1)<0
Krümmung
lachen= traurig=
linksgekrümmt posItiv=lInks rechtsgekrümmt nEgativ=rEchts
(Lenkrad nach links) (Lenkrad nach rechts)
1. Bedingung: f‘‘(x) = 0 → liefert xWendestelle
1.Möglichkeit: 2.Möglichkeit:
f‘(xlinks Wendestelle) = 0 & f‘(xrechts Wendestelle) = 0 f‘‘‘(x) berechnen & in diese Gleichung
Wendepunkt xWendestelle einsetzten
=Punkt mit geringster m wenn VZW dort tatsächlich W wenn f‘‘‘(xWendestelle)≠0 dort tatsächlich W
3. Koordinaten W: W(xWendestelle/ f(xWendestelle)) → xWendestelle in f(x) einsetzten für Y-Wert
Wendetangente = Tangente in xWendestelle
W-Tangentengleichung: Y = m * x + b → Y-Wert von P mit f(x) + Punkt + m (=f‘(x1)) einsetzten
Sattelpunkt zusätzlich zu Wendepunktbedingungen (f‘‘(x) = 0; f‘‘‘(xWendestelle)≠0) auch noch f‘(xW)=0
= W mit waagrechter
Jeder Sattelpunkt = W, aber nicht jeder W ist Sattelpunkt!
Tangente
Ableitung Grundlagen/Definition
Steigung ≙ Verhältnis Veränderung / Abstand x & y-Werte
𝛥𝑦 𝑓(𝑥1 )−𝑓(𝑥0 )
MITTLERE ÄNDERUNGSRATE (=Tangentensteigung( berührt 1 Punkt)): 𝛥𝑥 𝑏𝑧𝑤. 𝑥1 −𝑥0
≙ DIFFERENZQUOTIENT
MOMENTANE ÄNDERUNGSRATE (=Sekantensteigung (= schneidet 2 Punkte)) & Grenzwert/kleinste Annäherung der
mittleren ÄR)
𝑓(𝑥𝑏 )−𝑓(𝑥𝑎 )
an xa: 𝑥𝑏 −𝑥𝑎
≙ DIFFERENZIALQUOTIENT ≙ABLEITUNG!
SEKANTE = eine Gerade, die 2 Punkte schneidet
1. Ableitungsregeln
1. Zahl allein (= 0) f(x)= ±Zahl → f‘(x)=0
2. Konstanter Faktor/Quotient (= bleibt) f(x)= a * g(x) → f‘(x)= a * g’(x)
f(x)= xn → f‘(x)= n* xn-1
3. Potenz
x → 1 , weil ist ja eigentlich x1= 1
4. Exponentialfunktion - wenn e=Zahl (ohne x): f(x)= Zahl*e → f‘(x)=0
(=0 oder bleibt) - wenn e=Funktion (mit x): f(x)= Zahl*ex → f‘(x)= Zahl*ex
5. Trigo-Funktion
(=im Uhrzeigersinn)
6. Summen/Differenzen Funktion f(x)= h(x) ± g(x) → f‘(x)= h’(x) ± g’(x)
(=einzeln ableiten)
7. Produkte Funktion (= ableiten * f(x)= u(x) * v(x) → f‘(x)= u’(x) * v(x) + u(x) * v’(x)
übernehmen + übernehmen * ableiten)
allgemein: f(x)= u * (v(x)) → f‘(x)= u‘(v(x)) * v‘(x)
- f(x)= (Klammerinhalt)n → f‘(x) = n* (Klammerinhalt)n-1 * Klammerinhalt‘
8. Verschachtelte Funktionen
- f(x)= en → f‘(x) = en * n‘
(= äußere Ableitung * innere Ableitung)
-f(x)= sin(Klammerinhalt) → f(x) = sin‘ (Klammerinhalt) *
Klammerinhalt‘
1
9. Brüche (= umformen & Ableitungsregel) f(x)= n → f‘(x)= - n * xn-1
x
r r
r
= n w → f‘(x)= 2 ⋅ n 2−1
w
10. Wurzeln (= umformen & Ableitungsregel) f(x)= √nr
11. Höhere Ableitungen (= weiterableiten) f’(x) → f’’(x) → f’’’(x) → …
2. Kurven
Tangente & Normale
TANGENTE: Gerade, die mit Steigung (mt = f‘(x1)) einem Punkt P(x1/f(x1)) berührt
Tangentengleichung: Y = m * x + b → Y-Wert von P mit f(x) + Punkt + m (=f‘(x1)) einsetzten
Steigungswinkel (=Winkel Tangente mit x-Achse): |tan(α)= m | → m= f‘(x1)
−1
NORMALE: Gerade, die Tangente mit Steigung (mn = mt ) senkrecht schneidet
−1
Normalengleichung: Y = m * x + b → Punkt & m (=mt) einsetzten
Lage 2 Kurven
Berühren (gleicher Punkt & gleiche m) f(u) = g(u) ^ f‘(u) = g‘(u)
Schneiden (gleicher Punkt & ≠m) f(u) = g(u) ^ f‘(u) ≠ g‘(u)
Senkrechtes Schneiden f(u) = g(u) ^ f‘(u) * g‘(u) = - 1
f ′ (xs ) − g′(xs )
Schnittwinkel tan(α) =
1 + f ′ (xs ) ∗ g′(xs )
Parallel (≠Punkt & gleiche m) f(u) ≠ g(u) ^ f‘(u) = g‘(u)
, Grafisches Differenzieren/Ableiten
(Siehe Allgemeinanleitung bei „Graphisches Aufleiten“)
Regelmäßigkeiten, die gut zu wissen sind:
• 4.Grades wird zu→ 3. Grades wird zu→ 2.Grades → 1. Grades …
• Symmetrie abwechselnd (f(x) z.B. achsensymmetrisch
→ f‘(x) punktsymmetrisch→ f‘‘(x) z.B. achsensymmetrisch)
• NEW-Regel gibt Auskunft über markante Punkte
(S wäre in f‘(x) & f‘‘(x) doppelte N)
hier Nullstellen mit tatsächlichem VZW gemeint!
1. Markante Punkte auswählen → H/T/W/N
2. Tagentengleichung mit Steigungsdreieck an diesen Punkten einzeichnen & rechnen
3. Diese Y-Werte (hier f(x): x-Wert ; f‘(x): y-Wert) in neues KS für Ableitungskurve zeichnen
ODER wie auf der Abbildung rechts (gemäß NEW):
1. Skizzen machen
2. markante Punkte bei f(x) markieren und als gestrichelte Linien über restliche
Koordinatensysteme zeichnen
3. Laut NEW-Regel bei Markierungen richtigen neuen markanten Punkt als x bei f‘(x)
kennzeichnen
4. Verlauf rekonstruieren, indem bei f(x) untersuche, ob der Graph hoch (=+) oder runter
(=-) geht und somit weiß, dass in f‘(x) der Graph VOR dem markanten Punkt im positiven
oder negativen Y-Achsen-Bereich liegen muss
Monotonie
ohne Null = immer STRENG monoton…
Kurvenuntersuchung
1. Bedingung: f‘(x) = 0 → liefert xExtremstelle
2. Ermittlung H oder T:
1.Möglichkeit: 2. Möglichkeit:
Extrempunkte f‘(xlinks Extremstelle) = 0 & f‘(xrechts Extremstelle) = 0 f‘‘(x) berechnen & in diese Gleichung xExtremstelle
=Punkt mit max./min.
x-Wert
einsetzten
wenn von zu → HOCHPUNKT wenn → TIEFPUNKT
wenn von zu → TIEFPUNKT wenn → HOCHPUNKT
3. Koordinaten E: H oder T(xExtremstelle/ f(xExtremstelle)) → xExtremstelle in f(x) einsetzten für Y-Wert
f‘‘(x1)>0 f‘‘(x1)<0
Krümmung
lachen= traurig=
linksgekrümmt posItiv=lInks rechtsgekrümmt nEgativ=rEchts
(Lenkrad nach links) (Lenkrad nach rechts)
1. Bedingung: f‘‘(x) = 0 → liefert xWendestelle
1.Möglichkeit: 2.Möglichkeit:
f‘(xlinks Wendestelle) = 0 & f‘(xrechts Wendestelle) = 0 f‘‘‘(x) berechnen & in diese Gleichung
Wendepunkt xWendestelle einsetzten
=Punkt mit geringster m wenn VZW dort tatsächlich W wenn f‘‘‘(xWendestelle)≠0 dort tatsächlich W
3. Koordinaten W: W(xWendestelle/ f(xWendestelle)) → xWendestelle in f(x) einsetzten für Y-Wert
Wendetangente = Tangente in xWendestelle
W-Tangentengleichung: Y = m * x + b → Y-Wert von P mit f(x) + Punkt + m (=f‘(x1)) einsetzten
Sattelpunkt zusätzlich zu Wendepunktbedingungen (f‘‘(x) = 0; f‘‘‘(xWendestelle)≠0) auch noch f‘(xW)=0
= W mit waagrechter
Jeder Sattelpunkt = W, aber nicht jeder W ist Sattelpunkt!
Tangente
