STATISTIK WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG
Begriffe:
Was ist Inferenzstatistik? Die Inferenzstatistik („schlussfolgernde Statistik“) zieht aus den Daten einer Stichprobe
Rückschlüsse auf die zugrundeliegende Population.
Was bedeutet Wahrscheinlichkeit? Relative Häufigkeit des Eintretens eines Ereignisses bei häufigem Durchführen
eines Zufallsexperimentes („a posteriori“ Wahrscheinlichkeit, Bernoulli).
Was ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung? Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung gibt für jeden Wert der Variablen
einer Variable die Auftretenswahrscheinlichkeit an.
Ereignisse:
Zufallsexperimente und Ereignisse
In der Wahrscheinlichkeitstheorie untersucht man Zufallsexperimente, deren Ausgang ungewiss ist. Dabei
interessiert man sich für die Wahrscheinlichkeit des Eintretens bestimmter Ereignisse.
Beispiele: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit ... ... im Lotto zu gewinnen? ... in 10 Würfen mit einem Würfel 5 mal
eine 6 zu würfeln? ... dass ein bestimmtes Medikament Heilung bewirkt?
Im Gegensatz zur beschreibenden Statistik liegt das Interesse nicht in der Beobachtung und Beschreibung eines
konkreten Ausgangs, sondern in der Beschreibung des Experiments an sich (Wahrscheinlichkeiten, Verteilungen.
ZUFALLSEXPERIMENTE
Ein Zufallsexperiment ist ein Versuch unter gleichen Bedingungen, die bei wiederholter Durchführung verschiedene
Ausgänge haben können.
Ein Zufallsexperiment heißt einstufig, wenn das Experiment nur einmal durchgeführt wird.
Ein Zufallsexperiment heißt mehrstufig, welches aus mehreren Schritten besteht, die auch wieder
Zufallsexperimente sind. Zufallsvariablen sind die interessierenden Größen des Zufallsexperiments
Das Ergebnis des Zufallsexperiments wird als Ereignis bezeichnet und in Bezug auf die möglichen Ausgänge oder
Ergebnisse eines Zufallsexperiments definiert.
Dem Ereignis wird eine bestimmte Wahrscheinlichkeit im Wertebereich 0 … 1 zugeordnet
Beispiele:
• Münzwurf
• Ziehen von drei Karten aus einem Kartenstapel
• Ziehung der Lottozahlen
EREIGNISSE UND WAHRSCHEINLICHKEITEN
Begriffe ähnlich, wie in der Statistik
Statistik Wahrscheinlichkeitstheorie Formal
Grundgesamtheit Ergebnismenge, Ergebnisraum Mathematisch Ω Bsp.: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Merkmalsträger Elementarereignisse ω ∈ Ω Bsp.: ω = 5
Ereignis Teilmenge A ⊆ Ω Bsp.: A = {5, 6}
, Die Menge der Ereignisse A ⊆ Ω (also die Menge der Teilmengen von Ω) bezeichnet man auch als Ereignismenge A
Die Ergebnismenge Ω kann sehr groß sein:
Ω = {1, 2, 3, . . .} - Anzahl der Würfe, bis eine 5 gewürfelt wird
Ω = [0, 360] - Winkel des Sekundenzeigers beim zufälligen Hinschauen zur Uhr.
EREIGNISSE
Ereignisse werden wie Mengen behandelt: Ausgehend von einer Ergebnismenge Ω betrachtet man Ereignisse als
Teilmengen A ⊆ Ω.
Beispiel (Würfelexperiment): Ein einfacher Würfel werde einmal geworfen. Wir wählen als Ergebnisraum die Menge
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Ereignisse sind z.B. A = {1, 3, 5} - Augenzahl ist ungerade. A = {4} - Augenzahl ist 4 A = {1, 2, 4, 5, 6}
- Augenzahl ist nicht 3. A = Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} - sicheres Ereignis (tritt immer ein). A = ∅ - unmögliches Ereignis (tritt
nie ein).
EREIGNISSE UND OPERATIONEN
Für zwei Ereignisse A ⊆ Ω und B ⊆ Ω sind (wie auch für Mengen im Allgemeinen) folgende Operationen erklärt:
Vereinigung:
A ∪ B (A oder B oder beide treten ein)
Schnitt: A ∩ B (A und B treten beide ein)
Differenz: A\B (A tritt ein aber B nicht)
Komplement: 𝐴 (A tritt nicht ein)
BEISPIEL
Beispiel: Würfeln mit zwei Würfeln: Ω = {(1, 1), (1, 2), . . . , (5, 6), (6,6)}. A sei das Ereignis, dass beide Augenzahlen
gleich sind: A = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)} B sei das Ereignis, dass die Summe der Augenzahlen 6 ist: B
= {(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)} Was ist A∪B, A ∩ B, A/B, B/A, ҧ 𝐴 , ത 𝐵 ?
A∪B ist das Ereignis, dass beide Augenzahlen gleich sind oder die Summe 6 ist (oder beides eintritt): A ∪ B = {(1, 1),
(2, 2), (3, 3), . . . , (6, 6), (1, 5), (2, 4), (4, 2), (5, 1)}. A ∩ B ist das Ereignis, dass beide Augenzahlen gleich sind und
die Summe 6 ist: A ∩ B = {(3, 3)}.
A\B ist das Ereignis, dass beide Augenzahlen gleich sind, die Summer aber nicht 6 ist: A\B = {(1, 1), (2, 2), (4, 4), (5,
5), (6, 6)} B\A ist das Ereignis, dass die Summer der Augenzahlen 6 ist, beide Zahlen aber nicht gleich sind: A\B =
{(1, 5), (2, 4), (4, 2), (5, 1)}.
A ist das Ereignis, dass die beiden Augenzahlen nicht gleich sind: ҧ 𝐴= {(1, 2), . . . , (1, 6), (2, 1), (2, 3), . . . , (2, 6), . . .
, (5, 6)}.
A ist das Ereignis, dass die Augensumme nicht 6 ist: ത 𝐵= {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 5), (2, 6),
…}.
Begriffe:
Was ist Inferenzstatistik? Die Inferenzstatistik („schlussfolgernde Statistik“) zieht aus den Daten einer Stichprobe
Rückschlüsse auf die zugrundeliegende Population.
Was bedeutet Wahrscheinlichkeit? Relative Häufigkeit des Eintretens eines Ereignisses bei häufigem Durchführen
eines Zufallsexperimentes („a posteriori“ Wahrscheinlichkeit, Bernoulli).
Was ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung? Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung gibt für jeden Wert der Variablen
einer Variable die Auftretenswahrscheinlichkeit an.
Ereignisse:
Zufallsexperimente und Ereignisse
In der Wahrscheinlichkeitstheorie untersucht man Zufallsexperimente, deren Ausgang ungewiss ist. Dabei
interessiert man sich für die Wahrscheinlichkeit des Eintretens bestimmter Ereignisse.
Beispiele: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit ... ... im Lotto zu gewinnen? ... in 10 Würfen mit einem Würfel 5 mal
eine 6 zu würfeln? ... dass ein bestimmtes Medikament Heilung bewirkt?
Im Gegensatz zur beschreibenden Statistik liegt das Interesse nicht in der Beobachtung und Beschreibung eines
konkreten Ausgangs, sondern in der Beschreibung des Experiments an sich (Wahrscheinlichkeiten, Verteilungen.
ZUFALLSEXPERIMENTE
Ein Zufallsexperiment ist ein Versuch unter gleichen Bedingungen, die bei wiederholter Durchführung verschiedene
Ausgänge haben können.
Ein Zufallsexperiment heißt einstufig, wenn das Experiment nur einmal durchgeführt wird.
Ein Zufallsexperiment heißt mehrstufig, welches aus mehreren Schritten besteht, die auch wieder
Zufallsexperimente sind. Zufallsvariablen sind die interessierenden Größen des Zufallsexperiments
Das Ergebnis des Zufallsexperiments wird als Ereignis bezeichnet und in Bezug auf die möglichen Ausgänge oder
Ergebnisse eines Zufallsexperiments definiert.
Dem Ereignis wird eine bestimmte Wahrscheinlichkeit im Wertebereich 0 … 1 zugeordnet
Beispiele:
• Münzwurf
• Ziehen von drei Karten aus einem Kartenstapel
• Ziehung der Lottozahlen
EREIGNISSE UND WAHRSCHEINLICHKEITEN
Begriffe ähnlich, wie in der Statistik
Statistik Wahrscheinlichkeitstheorie Formal
Grundgesamtheit Ergebnismenge, Ergebnisraum Mathematisch Ω Bsp.: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Merkmalsträger Elementarereignisse ω ∈ Ω Bsp.: ω = 5
Ereignis Teilmenge A ⊆ Ω Bsp.: A = {5, 6}
, Die Menge der Ereignisse A ⊆ Ω (also die Menge der Teilmengen von Ω) bezeichnet man auch als Ereignismenge A
Die Ergebnismenge Ω kann sehr groß sein:
Ω = {1, 2, 3, . . .} - Anzahl der Würfe, bis eine 5 gewürfelt wird
Ω = [0, 360] - Winkel des Sekundenzeigers beim zufälligen Hinschauen zur Uhr.
EREIGNISSE
Ereignisse werden wie Mengen behandelt: Ausgehend von einer Ergebnismenge Ω betrachtet man Ereignisse als
Teilmengen A ⊆ Ω.
Beispiel (Würfelexperiment): Ein einfacher Würfel werde einmal geworfen. Wir wählen als Ergebnisraum die Menge
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Ereignisse sind z.B. A = {1, 3, 5} - Augenzahl ist ungerade. A = {4} - Augenzahl ist 4 A = {1, 2, 4, 5, 6}
- Augenzahl ist nicht 3. A = Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} - sicheres Ereignis (tritt immer ein). A = ∅ - unmögliches Ereignis (tritt
nie ein).
EREIGNISSE UND OPERATIONEN
Für zwei Ereignisse A ⊆ Ω und B ⊆ Ω sind (wie auch für Mengen im Allgemeinen) folgende Operationen erklärt:
Vereinigung:
A ∪ B (A oder B oder beide treten ein)
Schnitt: A ∩ B (A und B treten beide ein)
Differenz: A\B (A tritt ein aber B nicht)
Komplement: 𝐴 (A tritt nicht ein)
BEISPIEL
Beispiel: Würfeln mit zwei Würfeln: Ω = {(1, 1), (1, 2), . . . , (5, 6), (6,6)}. A sei das Ereignis, dass beide Augenzahlen
gleich sind: A = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)} B sei das Ereignis, dass die Summe der Augenzahlen 6 ist: B
= {(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)} Was ist A∪B, A ∩ B, A/B, B/A, ҧ 𝐴 , ത 𝐵 ?
A∪B ist das Ereignis, dass beide Augenzahlen gleich sind oder die Summe 6 ist (oder beides eintritt): A ∪ B = {(1, 1),
(2, 2), (3, 3), . . . , (6, 6), (1, 5), (2, 4), (4, 2), (5, 1)}. A ∩ B ist das Ereignis, dass beide Augenzahlen gleich sind und
die Summe 6 ist: A ∩ B = {(3, 3)}.
A\B ist das Ereignis, dass beide Augenzahlen gleich sind, die Summer aber nicht 6 ist: A\B = {(1, 1), (2, 2), (4, 4), (5,
5), (6, 6)} B\A ist das Ereignis, dass die Summer der Augenzahlen 6 ist, beide Zahlen aber nicht gleich sind: A\B =
{(1, 5), (2, 4), (4, 2), (5, 1)}.
A ist das Ereignis, dass die beiden Augenzahlen nicht gleich sind: ҧ 𝐴= {(1, 2), . . . , (1, 6), (2, 1), (2, 3), . . . , (2, 6), . . .
, (5, 6)}.
A ist das Ereignis, dass die Augensumme nicht 6 ist: ത 𝐵= {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 5), (2, 6),
…}.
