1. Conventies
2. Aanbevolen oefeningen Calculus, 8e druk
3. Tips
4. Goniometrische somformules
5. Gemiddelde
6. Limiet
6.1. Standaardlimiet
6.2. Continuïteit
7. Extremen
8. Differentiëren
8.1. Algemeen
8.2. Regels
8.2.1. Productregel
8.2.2. Kettingregel
8.2.3. Quotiëntregel
8.3. Impliciet
8.4. De l'Hopital
8.5. Lissajous
8.6. Standaarddifferentialen
9. Integreren
9.1. Riemann sommen
9.2. Bewijs dat f(x) de afgeleide is van F(x)
9.3. Drie soorten vragen in twee categorieën
9.4. Regels
9.4.1. Substitutie
9.4.2. Partieel
9.4.3. Breuksplitsen
9.5. Goniometrie
9.6. Grenzen wisselen
9.7. Wijzigen van de d-waarde
9.8. Oneigenlijke limiet
9.9. Meervoudige integraal
9.10. Toepassingen
9.10.1. Gemiddelde
9.10.2. Booglengte
9.10.3. Volume
10. Standaarden
1/8 © Peter Zomerdijk
, 1. Conventies
• voorbeelden zijn omkaderd
2. Aanbevolen oefeningen Calculus, 8e druk
blz: nr(s); 138: 41,43 ; 180: 43,51,69 ; 188: 43,45 ; 196: 33,39-45 ; 204: 47,50,71,76 ; 223: 33,37;
284: 47-53 ; 311: 17 ; 377: 21,23 ; 389: 21,27 ; 419: 39,69,79 ; 435: 31 508:27
3. Tips
2 1 3
√x
• geen negatieve waarden en geen breuken in de exponenten : x − 3 = x 3 · x −1 = x
1 √2
• vereenvoudig wortels zo ver mogelijk en geen wortel in de noemer : =
√18 6
f(x+h) − f(x)
• voor het bepalen van de afgeleide m.b.v. de definitie gebruik : f' (x) = lim h
h→0
H
• ̿
vermeld het gebruik van de regel van de l'Hopital, bijvoorbeeld door ⇒ of H
4. Goniometrische somformules
Somformules Verdubbelingsformules
sin(x + y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y) s+ = sc + cs sin(2x) = 2sin(x) cos(x) s(2) = 2sc
sin(x − y) = sin(x) cos(y) − cos(x) sin(y) s− = sc − cs
cos(x + y) = cos(x) cos(y) − sin(x) sin(y) c+ = cc − ss cos(2x) = cos2(x) − sin2(x) c(2) = c2−s2
2 2
cos(x − y) = cos(x) cos(y) + sin(x) sin(y) c− = cc + ss cos(0) = 1 = cos (x) + sin (x) s2 + c2 = 1
sin2 (x) + cos 2 (x) = 1 2cos2 (x) = 1 + cos(2x)
• } ⇔ {
cos(2x) = cos2 (x) − sin2 (x) 2sin2 (x) = 1 − cos(2x)
5. Gemiddelde
maak voor berekeningen van meerdere waardes vanuit 1 waarde eerst een formule
Bereken de gemiddelde snelheid op 2 sec. na tijdstip x. Vanuit bijv. s(t) = 3t + 4t2:
s(2+x) − s(2) 3(2+x) + 4(2+x)2 −(3 · 2 + 4 · 22 )
vgem = (2+x) − 2
= x
= 4x + 19
6. Limiet
1
werk toe naar de standaardlimiet lim = 0 door:
x→ ± ∞ x
• bij lim delen door de variabele met de grootste macht
x→ ± ∞
5x2 +6x−12 5+6/x−12/x2 5
lim 4x2 +3
= lim 4+3/x2
=4
x→∞ x→∞
• substitutie
1 1
lim e1/x : Stel u = x ⇔ x = u dan 1
lim eu = lim eu = 0
x→ 0− → 0− u→ −∞
u
• wortel in de teller te vermenigvuldigen met het tegengestelde
(√x + 1 + 2) · (√x + 1 − 2) = x – 3
2/8 © Peter Zomerdijk
2. Aanbevolen oefeningen Calculus, 8e druk
3. Tips
4. Goniometrische somformules
5. Gemiddelde
6. Limiet
6.1. Standaardlimiet
6.2. Continuïteit
7. Extremen
8. Differentiëren
8.1. Algemeen
8.2. Regels
8.2.1. Productregel
8.2.2. Kettingregel
8.2.3. Quotiëntregel
8.3. Impliciet
8.4. De l'Hopital
8.5. Lissajous
8.6. Standaarddifferentialen
9. Integreren
9.1. Riemann sommen
9.2. Bewijs dat f(x) de afgeleide is van F(x)
9.3. Drie soorten vragen in twee categorieën
9.4. Regels
9.4.1. Substitutie
9.4.2. Partieel
9.4.3. Breuksplitsen
9.5. Goniometrie
9.6. Grenzen wisselen
9.7. Wijzigen van de d-waarde
9.8. Oneigenlijke limiet
9.9. Meervoudige integraal
9.10. Toepassingen
9.10.1. Gemiddelde
9.10.2. Booglengte
9.10.3. Volume
10. Standaarden
1/8 © Peter Zomerdijk
, 1. Conventies
• voorbeelden zijn omkaderd
2. Aanbevolen oefeningen Calculus, 8e druk
blz: nr(s); 138: 41,43 ; 180: 43,51,69 ; 188: 43,45 ; 196: 33,39-45 ; 204: 47,50,71,76 ; 223: 33,37;
284: 47-53 ; 311: 17 ; 377: 21,23 ; 389: 21,27 ; 419: 39,69,79 ; 435: 31 508:27
3. Tips
2 1 3
√x
• geen negatieve waarden en geen breuken in de exponenten : x − 3 = x 3 · x −1 = x
1 √2
• vereenvoudig wortels zo ver mogelijk en geen wortel in de noemer : =
√18 6
f(x+h) − f(x)
• voor het bepalen van de afgeleide m.b.v. de definitie gebruik : f' (x) = lim h
h→0
H
• ̿
vermeld het gebruik van de regel van de l'Hopital, bijvoorbeeld door ⇒ of H
4. Goniometrische somformules
Somformules Verdubbelingsformules
sin(x + y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y) s+ = sc + cs sin(2x) = 2sin(x) cos(x) s(2) = 2sc
sin(x − y) = sin(x) cos(y) − cos(x) sin(y) s− = sc − cs
cos(x + y) = cos(x) cos(y) − sin(x) sin(y) c+ = cc − ss cos(2x) = cos2(x) − sin2(x) c(2) = c2−s2
2 2
cos(x − y) = cos(x) cos(y) + sin(x) sin(y) c− = cc + ss cos(0) = 1 = cos (x) + sin (x) s2 + c2 = 1
sin2 (x) + cos 2 (x) = 1 2cos2 (x) = 1 + cos(2x)
• } ⇔ {
cos(2x) = cos2 (x) − sin2 (x) 2sin2 (x) = 1 − cos(2x)
5. Gemiddelde
maak voor berekeningen van meerdere waardes vanuit 1 waarde eerst een formule
Bereken de gemiddelde snelheid op 2 sec. na tijdstip x. Vanuit bijv. s(t) = 3t + 4t2:
s(2+x) − s(2) 3(2+x) + 4(2+x)2 −(3 · 2 + 4 · 22 )
vgem = (2+x) − 2
= x
= 4x + 19
6. Limiet
1
werk toe naar de standaardlimiet lim = 0 door:
x→ ± ∞ x
• bij lim delen door de variabele met de grootste macht
x→ ± ∞
5x2 +6x−12 5+6/x−12/x2 5
lim 4x2 +3
= lim 4+3/x2
=4
x→∞ x→∞
• substitutie
1 1
lim e1/x : Stel u = x ⇔ x = u dan 1
lim eu = lim eu = 0
x→ 0− → 0− u→ −∞
u
• wortel in de teller te vermenigvuldigen met het tegengestelde
(√x + 1 + 2) · (√x + 1 − 2) = x – 3
2/8 © Peter Zomerdijk
