~
Sinus Quad .
Funktionen
-4-
X
Allgemeine Form :
-y
= a + + b+ +
(y(0(c)
z
I * in it i
Scheitelpunkt Form :
S s
= 2 .
sin (z( + + 2π)) +
2
E I
y
= :
2
ab S(b(c)
y
=
a .
sin(b .
(+ +
f)) + b
Nullpunkt Form :
a = 2 Amplitude
NST, (a)0)
= (t -
a)(x b)
NSTy (bI 0)
-
2 y
b =
Periodenfaktor
:
↑ 4 Periodenl
nge S
teiguns
Vie als
St)
-
i =
C Verschiebung >a
im
-7
d =
arcsin (m) ) sin (m)
d = 2
Ruhelage
Kurrendiskussion pq-Reyel
0 .
Ableitungen Symmetrie Verhalten e
72=
-
Eta
, ,
(x) (Y)
1
. Definitions- /Wertebereich
Binomische Formel
2 .
Sy =
) f(0)
( + b) = a + 2ab + b
3 .
NST = f(x) = 0
(a -
b) = a - 2ab + b
4
. Extrempunkte => F'cx = O
f"(x) = 0 )
= HP (a + b)(a b) -
= an + h
-
f"(x) 0 => TP
5 .
Wendepunkte => F " (x) =O Trigometrie
f' (7) + 0
D
· sir (2) = it =
C
(6 .
Sattelpunkte) = ) f'(x) = 0
f"(t) = 0 G AGA cos(d) :
"P =
F"(x) = 0
I If AG
tar (2) =
in
(7 . Ortsburren (3)
8
. I kizze Pythagoras
=
a b 3
a
+ = im Dreiec mit 5
E
,Modellierung ganzrationalen Funktionen
bade R = Koeffizienten
bac ..
"
Banart :
Fax = a +
n t [ = > Grad der Funktion
Punkte A ,
B ,
C
,
D gegeben BSP.:
=
) n = Anzahl Infos -1 = ) n = 3 -
7 = 2 f(x) = a +
=
+ bx + 1
= ) für jeden Punkt x
und y in f(t) einsetzen
)
=
A(2(4)4 = a2 + 2b +
4 = 4a + 2b +
)
= für jeden Punkt Koeffizienten bestimmen
B(3(4)4 =
a3 + 3b +
=> erweiterte Koeffizientenmatrix aufschreiben =
9a + 3b + (
=>
diagonalisierte Ergebnismatrix (rref([])
oder
GauB) (1415) 5 =
94" + 4b + s
= 16a + 4b +
=
) Koeffizienten ablesen ~ fas notieren C b Ery
1S
214
= mi =
() Eine Lösung (normal
G) keine Lösung
= Tref (m) =
(00
=
)u = 2 -b =
E1c = 7
(E) 000 0
Hembliche Lösungen f(x) = 2x -
37 + 7
Trassierung Kurvenschauen
1 + t
T
Funktionen mit Parameter ke IR
X
> Sprungfrei f(t) =
g(t)
X
Verändern Aussehen von Funktionen
1
T t
Normale Kurvendiskusion ,
aber :
X 7
Knickfrei f( + ) =
g'(x)
T
Welche Werte darf k (nicht) annehmen ?
1x
E
- Fallunterscheidung bei 2 .
B .
Extrempunkten
#
+
S Krümmungsruckfrei f"(x) =
g"(x) notwendig
"
Alle Ableitungen sollen Sprungfrei sein .
, Ortskurven : [P( k(2k) -
. t-Koordinate
1 nach k umformen x = -
k = k = -
x
(Y-Koordinate von
2
. Term für k in Y-Koordinate einsetzen = 2k = 2(x)
abhängig machen y
3
. Vereinfachen y
= 2 +
Stetigkeit Differenzierbarkeit
Ein Graph ist stetig ,
wenn er keine Ein Graph ist differenzierbar
,
wenn er an jeder Stelle
Sprung aufreist ableitbar ist , das heißt keinen Knick aufweist
1
f(a) - &
Der Graph ist nicht An Stelle b nicht
f(b)-
stetig ↓ ifferenzierbar
8
" >
b
I >
Lim (fan) =im (fca) so
=
Lim (f(a) = (f'ca
Von Links und rechts den selben Funktions-Ableitung/Steigung von Links und rechts den gleichen
wert Wert
Gans Algorithmus
Durch geschickten Multiplizieren und Subtrahieren von Zeilen kann zuerst die Obere Dreiecks-
form hergestellt werden und folgend durch Einsetzen die diagonalisierte Ergebnissmatrix .
1 :
4274 I : 4274
II : 9374 II' : 0 70 -
E
III : 76475 III": 0077
Tipp :
I : 4274 I : 100 Wenn möglich zeilen
Il = 411-960-6 -
5 -
20 1 .
(7) II' : 070 - so vereinfachen das ,
S
Ill =
111-410 -
4 -
3 - 7 1 .
( 7) III" : 8 077 ↓ in erste Zahl 7 ist
I : 4274
II' : 06520 Höhere Ableitungsregeln
III' : 04377
Produktregel : f(x) = uc) .
r() = F = u . v + von
I : 4274
(Quotientenregel (4)
u(t)
II : 06520 : F(x) =
v(r)
= f((x) =
III" =
211' 311100
- 77
Kettenregel :
f(x) =
ur(e) = fa = a'(r) ·
v
Sinus Quad .
Funktionen
-4-
X
Allgemeine Form :
-y
= a + + b+ +
(y(0(c)
z
I * in it i
Scheitelpunkt Form :
S s
= 2 .
sin (z( + + 2π)) +
2
E I
y
= :
2
ab S(b(c)
y
=
a .
sin(b .
(+ +
f)) + b
Nullpunkt Form :
a = 2 Amplitude
NST, (a)0)
= (t -
a)(x b)
NSTy (bI 0)
-
2 y
b =
Periodenfaktor
:
↑ 4 Periodenl
nge S
teiguns
Vie als
St)
-
i =
C Verschiebung >a
im
-7
d =
arcsin (m) ) sin (m)
d = 2
Ruhelage
Kurrendiskussion pq-Reyel
0 .
Ableitungen Symmetrie Verhalten e
72=
-
Eta
, ,
(x) (Y)
1
. Definitions- /Wertebereich
Binomische Formel
2 .
Sy =
) f(0)
( + b) = a + 2ab + b
3 .
NST = f(x) = 0
(a -
b) = a - 2ab + b
4
. Extrempunkte => F'cx = O
f"(x) = 0 )
= HP (a + b)(a b) -
= an + h
-
f"(x) 0 => TP
5 .
Wendepunkte => F " (x) =O Trigometrie
f' (7) + 0
D
· sir (2) = it =
C
(6 .
Sattelpunkte) = ) f'(x) = 0
f"(t) = 0 G AGA cos(d) :
"P =
F"(x) = 0
I If AG
tar (2) =
in
(7 . Ortsburren (3)
8
. I kizze Pythagoras
=
a b 3
a
+ = im Dreiec mit 5
E
,Modellierung ganzrationalen Funktionen
bade R = Koeffizienten
bac ..
"
Banart :
Fax = a +
n t [ = > Grad der Funktion
Punkte A ,
B ,
C
,
D gegeben BSP.:
=
) n = Anzahl Infos -1 = ) n = 3 -
7 = 2 f(x) = a +
=
+ bx + 1
= ) für jeden Punkt x
und y in f(t) einsetzen
)
=
A(2(4)4 = a2 + 2b +
4 = 4a + 2b +
)
= für jeden Punkt Koeffizienten bestimmen
B(3(4)4 =
a3 + 3b +
=> erweiterte Koeffizientenmatrix aufschreiben =
9a + 3b + (
=>
diagonalisierte Ergebnismatrix (rref([])
oder
GauB) (1415) 5 =
94" + 4b + s
= 16a + 4b +
=
) Koeffizienten ablesen ~ fas notieren C b Ery
1S
214
= mi =
() Eine Lösung (normal
G) keine Lösung
= Tref (m) =
(00
=
)u = 2 -b =
E1c = 7
(E) 000 0
Hembliche Lösungen f(x) = 2x -
37 + 7
Trassierung Kurvenschauen
1 + t
T
Funktionen mit Parameter ke IR
X
> Sprungfrei f(t) =
g(t)
X
Verändern Aussehen von Funktionen
1
T t
Normale Kurvendiskusion ,
aber :
X 7
Knickfrei f( + ) =
g'(x)
T
Welche Werte darf k (nicht) annehmen ?
1x
E
- Fallunterscheidung bei 2 .
B .
Extrempunkten
#
+
S Krümmungsruckfrei f"(x) =
g"(x) notwendig
"
Alle Ableitungen sollen Sprungfrei sein .
, Ortskurven : [P( k(2k) -
. t-Koordinate
1 nach k umformen x = -
k = k = -
x
(Y-Koordinate von
2
. Term für k in Y-Koordinate einsetzen = 2k = 2(x)
abhängig machen y
3
. Vereinfachen y
= 2 +
Stetigkeit Differenzierbarkeit
Ein Graph ist stetig ,
wenn er keine Ein Graph ist differenzierbar
,
wenn er an jeder Stelle
Sprung aufreist ableitbar ist , das heißt keinen Knick aufweist
1
f(a) - &
Der Graph ist nicht An Stelle b nicht
f(b)-
stetig ↓ ifferenzierbar
8
" >
b
I >
Lim (fan) =im (fca) so
=
Lim (f(a) = (f'ca
Von Links und rechts den selben Funktions-Ableitung/Steigung von Links und rechts den gleichen
wert Wert
Gans Algorithmus
Durch geschickten Multiplizieren und Subtrahieren von Zeilen kann zuerst die Obere Dreiecks-
form hergestellt werden und folgend durch Einsetzen die diagonalisierte Ergebnissmatrix .
1 :
4274 I : 4274
II : 9374 II' : 0 70 -
E
III : 76475 III": 0077
Tipp :
I : 4274 I : 100 Wenn möglich zeilen
Il = 411-960-6 -
5 -
20 1 .
(7) II' : 070 - so vereinfachen das ,
S
Ill =
111-410 -
4 -
3 - 7 1 .
( 7) III" : 8 077 ↓ in erste Zahl 7 ist
I : 4274
II' : 06520 Höhere Ableitungsregeln
III' : 04377
Produktregel : f(x) = uc) .
r() = F = u . v + von
I : 4274
(Quotientenregel (4)
u(t)
II : 06520 : F(x) =
v(r)
= f((x) =
III" =
211' 311100
- 77
Kettenregel :
f(x) =
ur(e) = fa = a'(r) ·
v
