Hoofdstuk 1 - Lineaire en kwadratische vormen
1.1 - Lineaire verbanden
Lineaire vergelijkingen oplossen
Lineaire vergelijking = 𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑎𝑥 + 𝑏
1. Werk eerst de haakjes en de breuken weg. (breuken werk je weg door beide kanten
van de vergelijking keer een cijfer te doen wat beide breuken een heel getal maakt)
2. Herleid beide delen (zo kort mogelijk maken, niet meerdere x-en aan 1 kant hebben)
3. Zorg dat het resultaat 𝑥 = 𝑛 is, zonder getal voor de x en zonder x aan de kant van n
Lineair verband en richtingcooficient
Bij de formule 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 is y een lineaire functie van x, b de y-coordinaat van het snijpunt
met de y-as en a de richtingscooficient.
De richtingscofficient is gelijk aan de afstand die je omhoog gaat als je 1 waarde naar rechts
beweegt. Als dit getal negatief is, gaat de grafiek omlaag.
De formule van een lijn opstellen
1. Uit de tekst: de beginstand is b, de verandering is a.
2. Uit een figuur: a en b aflezen
3. Als er 1 punt (x,y) en a gegeven is: x, y en a zijn gegeven. Door de formule in te
vullen kan je b berekenen
Als het kruisingspunt tussen 2 lijnen wordt gevraagd, betekent dat dat de y en de x gelijk zijn.
Sinds 𝑦 = 𝑦, 𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑎𝑥 + 𝑏. Vul in en los op. De resulterende x vul je in een van de 2
formules in (welke maakt niet uit) om de y van het kruisingspunt te krijgen.
1.2 - Een lijn door twee gegeven punten
De formule van een lijn door twee gegeven punten
𝑦𝐵−𝑦𝐴
𝑎= 𝑥𝐵−𝑥𝐴
waarbij A en B punten zijn, en 𝑦𝐵, 𝑦𝐴, 𝑥𝐵 en 𝑥𝐴 de x en y coordinaten zijn van de
∆𝑦
punten. Dit kan ook als 𝑎 = ∆𝑥
genoteerd worden, waarbij ∆ staat voor verschil.
Lineaire formules bij praktische situaties
X en y kunnen door andere letters vervangen worden in bepaalde situaties. Y is een lineaire
functie van x, dus als r een lineaire functie is van s vervang je y met r en x met s in de
formules.
1.3 - De vergelijking ax + by = c
Lineaire vergelijkingen met twee variabelen
ax + by = c heeft 2 variabelen omdat de x en de y aan dezelfde kant staan
, Y vrijmaken: Je doet -ax aan beide kanten, en dan deel je beide kanten door b. Hierdoor krijg
−𝑎𝑥+𝑐
je 𝑦 = 𝑏
𝑐 𝑐
Oplossen zonder y vrij te maken: Je beslist 2 punten, het makkelijkse is ( 𝑎 , 0) en (0, 𝑏
). Als
je x of y 0 maakt, vervalt dat gedeelte helemaal. Dan krijg je 𝑎𝑥 + 0 = 𝑐 of 0 + 𝑏𝑦 = 𝑐. om
dit om te rekenen naar 𝑥 = 𝑛 of 𝑦 = 𝑛 doe je beide kanten gedeelt door a.
Een expliciete formule = een formule waarbij x en y aan andere kanten staan
Een impliciete formule = een formule waarbij x en y aan dezelfde kant staan
𝐴 ∈ 𝑙 betekent dat A op lijn l ligt.
Als 2 lijnen met deze vorm evenwijdig zijn, zijn a en b hetzelfde. Door coordinaten in te
vullen kan je nog c berekenen.
1.4 - Stelsels vergelijkingen
Stelsels vergelijkingen oplossen door te elimineren
Voorbeeld:
3𝑥 + 𝑦 = 15 Om deze formules op te lossen trek je ze van elkaar af. Hierdoor werk
𝑥+𝑦=7 je y volledig weg, en je krijgt 2𝑥 = 8 en dus 𝑥 = 4. Om y te krijgen kan
je de x in een van de 2 formules invullen (welke maakt niet uit).
Het antwoord op de stelling is een set coordinaten (x,y) die het snijpunt van de 2 lijnen
aangeven.
Elimineren door optellen en aftrekken
Voorbeeld:
3𝑥 − 4𝑦 = 7 Alleen optellen of aftrekken werkt geen variabelen weg. Bij deze
2𝑥 + 3𝑦 = 16 formule kan je de bovenste · 2 doen en de onderste · 3.
3𝑥 − 4𝑦 = 7 |2| 6𝑥 − 8𝑦 = 14
2𝑥 + 3𝑦 = 16|3| geeft 6𝑥 + 9𝑦 = 48
−
𝑦 = − 34
Hier kan je wel een variabele wegwerken door ze van elkaar af te trekken.
Elimineren door substitutie
Voorbeeld:
2𝑥 + 3𝑦 = 12 Bij deze vergelijking kan je de y in 2𝑥 + 3𝑦 = 12 substitueren met
𝑦 = 4𝑥 − 10 4𝑥 − 10. Dan krijg je 2𝑥 + 3(4𝑥 − 10) = 12. Dit kan je ook weer
oplossen tot 𝑥 = 𝑛. Vul de x in om y te krijgen.
1.5 - Kwadratische verbanden
Tweedegraadsvergelijkingen
2
(een tweedegraatsvergelijking is 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 met 𝑎 ≠ 0)
Twee termen:
2
- 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 = 0.
1.1 - Lineaire verbanden
Lineaire vergelijkingen oplossen
Lineaire vergelijking = 𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑎𝑥 + 𝑏
1. Werk eerst de haakjes en de breuken weg. (breuken werk je weg door beide kanten
van de vergelijking keer een cijfer te doen wat beide breuken een heel getal maakt)
2. Herleid beide delen (zo kort mogelijk maken, niet meerdere x-en aan 1 kant hebben)
3. Zorg dat het resultaat 𝑥 = 𝑛 is, zonder getal voor de x en zonder x aan de kant van n
Lineair verband en richtingcooficient
Bij de formule 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 is y een lineaire functie van x, b de y-coordinaat van het snijpunt
met de y-as en a de richtingscooficient.
De richtingscofficient is gelijk aan de afstand die je omhoog gaat als je 1 waarde naar rechts
beweegt. Als dit getal negatief is, gaat de grafiek omlaag.
De formule van een lijn opstellen
1. Uit de tekst: de beginstand is b, de verandering is a.
2. Uit een figuur: a en b aflezen
3. Als er 1 punt (x,y) en a gegeven is: x, y en a zijn gegeven. Door de formule in te
vullen kan je b berekenen
Als het kruisingspunt tussen 2 lijnen wordt gevraagd, betekent dat dat de y en de x gelijk zijn.
Sinds 𝑦 = 𝑦, 𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑎𝑥 + 𝑏. Vul in en los op. De resulterende x vul je in een van de 2
formules in (welke maakt niet uit) om de y van het kruisingspunt te krijgen.
1.2 - Een lijn door twee gegeven punten
De formule van een lijn door twee gegeven punten
𝑦𝐵−𝑦𝐴
𝑎= 𝑥𝐵−𝑥𝐴
waarbij A en B punten zijn, en 𝑦𝐵, 𝑦𝐴, 𝑥𝐵 en 𝑥𝐴 de x en y coordinaten zijn van de
∆𝑦
punten. Dit kan ook als 𝑎 = ∆𝑥
genoteerd worden, waarbij ∆ staat voor verschil.
Lineaire formules bij praktische situaties
X en y kunnen door andere letters vervangen worden in bepaalde situaties. Y is een lineaire
functie van x, dus als r een lineaire functie is van s vervang je y met r en x met s in de
formules.
1.3 - De vergelijking ax + by = c
Lineaire vergelijkingen met twee variabelen
ax + by = c heeft 2 variabelen omdat de x en de y aan dezelfde kant staan
, Y vrijmaken: Je doet -ax aan beide kanten, en dan deel je beide kanten door b. Hierdoor krijg
−𝑎𝑥+𝑐
je 𝑦 = 𝑏
𝑐 𝑐
Oplossen zonder y vrij te maken: Je beslist 2 punten, het makkelijkse is ( 𝑎 , 0) en (0, 𝑏
). Als
je x of y 0 maakt, vervalt dat gedeelte helemaal. Dan krijg je 𝑎𝑥 + 0 = 𝑐 of 0 + 𝑏𝑦 = 𝑐. om
dit om te rekenen naar 𝑥 = 𝑛 of 𝑦 = 𝑛 doe je beide kanten gedeelt door a.
Een expliciete formule = een formule waarbij x en y aan andere kanten staan
Een impliciete formule = een formule waarbij x en y aan dezelfde kant staan
𝐴 ∈ 𝑙 betekent dat A op lijn l ligt.
Als 2 lijnen met deze vorm evenwijdig zijn, zijn a en b hetzelfde. Door coordinaten in te
vullen kan je nog c berekenen.
1.4 - Stelsels vergelijkingen
Stelsels vergelijkingen oplossen door te elimineren
Voorbeeld:
3𝑥 + 𝑦 = 15 Om deze formules op te lossen trek je ze van elkaar af. Hierdoor werk
𝑥+𝑦=7 je y volledig weg, en je krijgt 2𝑥 = 8 en dus 𝑥 = 4. Om y te krijgen kan
je de x in een van de 2 formules invullen (welke maakt niet uit).
Het antwoord op de stelling is een set coordinaten (x,y) die het snijpunt van de 2 lijnen
aangeven.
Elimineren door optellen en aftrekken
Voorbeeld:
3𝑥 − 4𝑦 = 7 Alleen optellen of aftrekken werkt geen variabelen weg. Bij deze
2𝑥 + 3𝑦 = 16 formule kan je de bovenste · 2 doen en de onderste · 3.
3𝑥 − 4𝑦 = 7 |2| 6𝑥 − 8𝑦 = 14
2𝑥 + 3𝑦 = 16|3| geeft 6𝑥 + 9𝑦 = 48
−
𝑦 = − 34
Hier kan je wel een variabele wegwerken door ze van elkaar af te trekken.
Elimineren door substitutie
Voorbeeld:
2𝑥 + 3𝑦 = 12 Bij deze vergelijking kan je de y in 2𝑥 + 3𝑦 = 12 substitueren met
𝑦 = 4𝑥 − 10 4𝑥 − 10. Dan krijg je 2𝑥 + 3(4𝑥 − 10) = 12. Dit kan je ook weer
oplossen tot 𝑥 = 𝑛. Vul de x in om y te krijgen.
1.5 - Kwadratische verbanden
Tweedegraadsvergelijkingen
2
(een tweedegraatsvergelijking is 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 met 𝑎 ≠ 0)
Twee termen:
2
- 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 = 0.
