Rekenen/wiskunde didactiek kennisbasis
Samenvatting ‘Wiskunde in de praktijk’
Deel 1
Hele getallen
H1 – tellen en getallen
Kunnen tellen is een belangrijke vaardigheid om te leren rekenen. Tellen is
de basis voor het leren rekenen.
Het kennismaken met tellen en getallen gebeurt al vanaf de vroegste
kinderjaren. Tellen is een vaardigheid die veel geoefend moet worden.
1.1 – synchroon tellen
Bij het leren tellen van voorwerpen moeten kinderen leren dat ze steeds
één voorwerp moeten aanwijzen en daarbij tegelijkertijd één telwoord
moeten noemen. Dit heet synchroon tellen. Dit kan perfect geoefend
worden tijdens het spelen van spelletjes; door de interactie in het spel
corrigeren kinderen elkaar spelenderwijs.
Op het moment dat kinderen nog niet tegelijkertijd iets kunnen aanwijzen
en het telwoord hierbij kunnen benoemen, spreek je van asynchroon
tellen. Het nog niet zo goed kennen van de telrij (vaak bij de getallen
tussen 10 en 20 bij jonge kinderen kan hierbij een grote rol spelen).
Het inzicht dat je synchroon moet tellen is een kerninzicht dat kinderen
moeten ontwikkelen om later een aantal objecten goed te kunnen tellen.
Als je voorwerpen wilt tellen, moet je elk voorwerp precies één keer
aanwijzen.
1.2 – resultatief tellen
Om een hoeveelheid te tellen is naast het synchroon tellen ook
noodzakelijk dat je begrijpt dat het telwoord bij het laatste getelde object
het aantal van de hele verzameling weergeeft: resultatief tellen.
Bij het aftellen of nummeren worden getallen gebruikt. De getallen die
worden opgenoemd tijdens het tellen, hebben een ordinale of
ordeningsfunctie. Dat wil zeggen dat het om een volgorde gaat. Op het
moment dat het laatste telwoord wordt gezegd, moeten kinderen beseffen
dat het niet meer om de ordinale functie gaat, maar om de kardinale of
hoeveelheidsfunctie.
Resultatief tellen heeft een kardinaal aspect. Wanneer kinderen begrijpen
dat de ordinale- en de kardinale functie samen komen, kan het kind
resultatief tellen: de (nodige) hoeveelheid weten door te tellen.
Als het erom gaat te tellen hoeveel er van iets zijn, dan moet een kind
allereerst de telwoorden kennen en synchroon kunnen tellen. Het kind
moet ook begrijpen dat het laatste telwoord de hoeveelheid aangeeft.
Op het moment dat kinderen kleine hoeveelheden herkennen –
bijvoorbeeld zes ogen op een dobbelsteen – is er nog niet direct sprake
van resultatief tellen, maar is er sprake van globale perceptie.
,Bij het resultatief tellen zijn twee functies van getallen belangrijk:
1. Hoeveelheidsgetal: het gaat om de hoeveelheid of kardinale functie.
2. Telgetal: het gaat om de volgorde of ordinale functie, de getallen
waarmee je telt. Bijvoorbeeld: bladzijde 5 of huisnummer 37 (heb je
het over volgorde).
Getallen kunnen nog drie andere functies hebben, namelijk:
3. Meetgetal: het gaat om een getal met een maat erachter.
Bijvoorbeeld: 7 meter, 3 kilogram of 2 jaar (leeftijd).
4. Naamgetal: het gaat om een getal dat als het ware een naam
aangeeft. Bijvoorbeeld: bus 15 of johannesstraat 2 (heb je het over
een adres).
5. Rekengetal: het gaat om een (abstract) getal om mee te rekenen.
Bijvoorbeeld: 5 + 3 = 8.
1.3 – representeren van getallen
Getallen worden met cijfersymbolen 0 t/m 9 geschreven. Jonge kinderen
kunnen getallen ook uitbeelden met andere symbolen, zoals streepjes,
stippen, dobbelsteenpatronen of met hun vingers.
Kinderen kunnen getallen op veel verschillende manieren laten zien. Het is
juist goed om kinderen zelf actief naar verschillende mogelijkheden te
laten zoeken. Bij het getal ‘vier’ kunnen kinderen denken aan:
Vier vingers;
Vier stippen op de dobbelsteen;
Het cijfer 4, zoals dat bijvoorbeeld op de kalender staat;
Vier fiches op een rijtje;
Een groepje van vier poppen of knuffels.
Een getal is een abstractie. Volwassenen zijn gewend om een getal aan te
geven met een cijfersymbool. Kinderen moeten dat nog leren. Voordat zij
vertrouwd zijn met de cijfers, kunnen ze hoeveelheden ook op andere
manieren representeren of uitbeelden.
De getallen t/m 10 worden vaak in de juiste volgorde opgehangen in de
kleutergroep, al dan niet met stippenpatronen erbij, zodat kinderen er
vertrouwd mee raken.
1.4 – leerlijn tellen en getallen
Leren tellen begint niet op school. Jonge kinderen kunnen voordat ze naar
groep 1 gaan al tellen en hoeveelheden herkennen. Een peuter die zegt
dat ze drie auto’s heeft gekregen voor haar verjaardag, zal de auto’s
misschien nog niet kunnen tellen, maar ziet in één oogopslag dat het drie
autootjes zijn.
Kinderen leren de telwoorden door volwassenen te imiteren. Volwassenen
tellen vaak van alles met hun kinderen: borden en bestek, sokken, blokjes,
traptreden, etc. Zonder dat zij het zich bewust zijn, oefenen jonge
kinderen de telwoorden.
Op school wordt de telrij verder geoefend. Het ritmisch opzeggen van de
telrij, zonder besef van wat de telwoorden betekenen, noemen we
akoestisch tellen.
, De getallen van de telrij 1,2,3 enzovoort heten natuurlijke getallen. De
natuurlijke getallen en de negatieve gehele getallen heten samen de
gehele getallen.
Het één voor één de getallen in volgorde opzeggen en gelijk en in
hetzelfde tempo objecten aanwijzen, heet synchroon tellen.
We spreken van objectgebonden tellen als kinderen het aantal voorwerpen
tellen, zonder dat het voor het kind duidelijk is waarom er geteld moet
worden.
Kinderen leren de verschillende functies van getallen kennen door er in het
dagelijks leven en in rijke leersituaties op school mee in aanraking te
komen. Een mooi voorbeeld is het ‘winkeltje spelen’ in de onderbouw.
Naarmate kinderen vaker objecten tellen – vooral ook objecten die in een
vaste structuur liggen, zoals de stippen in een dobbelsteenpatroon –
ontwikkelen kinderen getalbeelden. Een getalbeeld is een mentale
voorstelling van een getal. Bij het getal ‘vijf’ kunnen kinderen als ‘plaatje
in hun hoofd’ hebben: het dobbelsteenpatroon, een hele hand met vijf
vingers, een rijtje van vijf eieren in een eierdoos of de vijf rode kralen op
de bovenste stang van het rekenrek. In alle gevallen helpt de structuur.
Wie wil weten hoeveel objecten er zijn, hoeft die niet altijd één voor één te
tellen. Je kunt bijvoorbeeld gebruik maken van getalbeelden. Het tellen op
de manier waarbij niet alle voorwerpen meer één voor één geteld worden,
heet verkort tellen.
Verkort tellen wordt gestimuleerd en gemakkelijk gemaakt door een
structuur in het te tellen materiaal. Het tellen met sprongen (2,5 of 10) is
een vorm van verkort tellen en is een voorbereiding op het leren
vermenigvuldigen.
H2 – tientallig stelsel
2.1 – tientallige bundeling
Het kunnen opzeggen van de telrij geeft nog niet de garantie dat de
kinderen doorzien hoe getallen zijn opgebouwd. Als je als leerling die
structuur wel doorziet, weet je: als de juf vier sprongen van 10 maakt en
twee van 1, komt ze uit bij 42.
Bij het tellen van grote hoeveelheden is het efficiënt om te bundelen, om
groepjes te maken. Het bundelen in groepjes van tien (of honderd bij grote
getallen) is het handigst, omdat dit precies aansluit bij ons tientallige
getalsysteem.
De opbouw van onze getallen is tientallig, dat wil zeggen dat we grotere
hoeveelheden bundelen in tientallen, honderdtallen, duizendtallen, enz.
Het bundelen van tien leidt tot een tientallig of decimaal talstelsel.
2.2 – positiewaarde
Samenvatting ‘Wiskunde in de praktijk’
Deel 1
Hele getallen
H1 – tellen en getallen
Kunnen tellen is een belangrijke vaardigheid om te leren rekenen. Tellen is
de basis voor het leren rekenen.
Het kennismaken met tellen en getallen gebeurt al vanaf de vroegste
kinderjaren. Tellen is een vaardigheid die veel geoefend moet worden.
1.1 – synchroon tellen
Bij het leren tellen van voorwerpen moeten kinderen leren dat ze steeds
één voorwerp moeten aanwijzen en daarbij tegelijkertijd één telwoord
moeten noemen. Dit heet synchroon tellen. Dit kan perfect geoefend
worden tijdens het spelen van spelletjes; door de interactie in het spel
corrigeren kinderen elkaar spelenderwijs.
Op het moment dat kinderen nog niet tegelijkertijd iets kunnen aanwijzen
en het telwoord hierbij kunnen benoemen, spreek je van asynchroon
tellen. Het nog niet zo goed kennen van de telrij (vaak bij de getallen
tussen 10 en 20 bij jonge kinderen kan hierbij een grote rol spelen).
Het inzicht dat je synchroon moet tellen is een kerninzicht dat kinderen
moeten ontwikkelen om later een aantal objecten goed te kunnen tellen.
Als je voorwerpen wilt tellen, moet je elk voorwerp precies één keer
aanwijzen.
1.2 – resultatief tellen
Om een hoeveelheid te tellen is naast het synchroon tellen ook
noodzakelijk dat je begrijpt dat het telwoord bij het laatste getelde object
het aantal van de hele verzameling weergeeft: resultatief tellen.
Bij het aftellen of nummeren worden getallen gebruikt. De getallen die
worden opgenoemd tijdens het tellen, hebben een ordinale of
ordeningsfunctie. Dat wil zeggen dat het om een volgorde gaat. Op het
moment dat het laatste telwoord wordt gezegd, moeten kinderen beseffen
dat het niet meer om de ordinale functie gaat, maar om de kardinale of
hoeveelheidsfunctie.
Resultatief tellen heeft een kardinaal aspect. Wanneer kinderen begrijpen
dat de ordinale- en de kardinale functie samen komen, kan het kind
resultatief tellen: de (nodige) hoeveelheid weten door te tellen.
Als het erom gaat te tellen hoeveel er van iets zijn, dan moet een kind
allereerst de telwoorden kennen en synchroon kunnen tellen. Het kind
moet ook begrijpen dat het laatste telwoord de hoeveelheid aangeeft.
Op het moment dat kinderen kleine hoeveelheden herkennen –
bijvoorbeeld zes ogen op een dobbelsteen – is er nog niet direct sprake
van resultatief tellen, maar is er sprake van globale perceptie.
,Bij het resultatief tellen zijn twee functies van getallen belangrijk:
1. Hoeveelheidsgetal: het gaat om de hoeveelheid of kardinale functie.
2. Telgetal: het gaat om de volgorde of ordinale functie, de getallen
waarmee je telt. Bijvoorbeeld: bladzijde 5 of huisnummer 37 (heb je
het over volgorde).
Getallen kunnen nog drie andere functies hebben, namelijk:
3. Meetgetal: het gaat om een getal met een maat erachter.
Bijvoorbeeld: 7 meter, 3 kilogram of 2 jaar (leeftijd).
4. Naamgetal: het gaat om een getal dat als het ware een naam
aangeeft. Bijvoorbeeld: bus 15 of johannesstraat 2 (heb je het over
een adres).
5. Rekengetal: het gaat om een (abstract) getal om mee te rekenen.
Bijvoorbeeld: 5 + 3 = 8.
1.3 – representeren van getallen
Getallen worden met cijfersymbolen 0 t/m 9 geschreven. Jonge kinderen
kunnen getallen ook uitbeelden met andere symbolen, zoals streepjes,
stippen, dobbelsteenpatronen of met hun vingers.
Kinderen kunnen getallen op veel verschillende manieren laten zien. Het is
juist goed om kinderen zelf actief naar verschillende mogelijkheden te
laten zoeken. Bij het getal ‘vier’ kunnen kinderen denken aan:
Vier vingers;
Vier stippen op de dobbelsteen;
Het cijfer 4, zoals dat bijvoorbeeld op de kalender staat;
Vier fiches op een rijtje;
Een groepje van vier poppen of knuffels.
Een getal is een abstractie. Volwassenen zijn gewend om een getal aan te
geven met een cijfersymbool. Kinderen moeten dat nog leren. Voordat zij
vertrouwd zijn met de cijfers, kunnen ze hoeveelheden ook op andere
manieren representeren of uitbeelden.
De getallen t/m 10 worden vaak in de juiste volgorde opgehangen in de
kleutergroep, al dan niet met stippenpatronen erbij, zodat kinderen er
vertrouwd mee raken.
1.4 – leerlijn tellen en getallen
Leren tellen begint niet op school. Jonge kinderen kunnen voordat ze naar
groep 1 gaan al tellen en hoeveelheden herkennen. Een peuter die zegt
dat ze drie auto’s heeft gekregen voor haar verjaardag, zal de auto’s
misschien nog niet kunnen tellen, maar ziet in één oogopslag dat het drie
autootjes zijn.
Kinderen leren de telwoorden door volwassenen te imiteren. Volwassenen
tellen vaak van alles met hun kinderen: borden en bestek, sokken, blokjes,
traptreden, etc. Zonder dat zij het zich bewust zijn, oefenen jonge
kinderen de telwoorden.
Op school wordt de telrij verder geoefend. Het ritmisch opzeggen van de
telrij, zonder besef van wat de telwoorden betekenen, noemen we
akoestisch tellen.
, De getallen van de telrij 1,2,3 enzovoort heten natuurlijke getallen. De
natuurlijke getallen en de negatieve gehele getallen heten samen de
gehele getallen.
Het één voor één de getallen in volgorde opzeggen en gelijk en in
hetzelfde tempo objecten aanwijzen, heet synchroon tellen.
We spreken van objectgebonden tellen als kinderen het aantal voorwerpen
tellen, zonder dat het voor het kind duidelijk is waarom er geteld moet
worden.
Kinderen leren de verschillende functies van getallen kennen door er in het
dagelijks leven en in rijke leersituaties op school mee in aanraking te
komen. Een mooi voorbeeld is het ‘winkeltje spelen’ in de onderbouw.
Naarmate kinderen vaker objecten tellen – vooral ook objecten die in een
vaste structuur liggen, zoals de stippen in een dobbelsteenpatroon –
ontwikkelen kinderen getalbeelden. Een getalbeeld is een mentale
voorstelling van een getal. Bij het getal ‘vijf’ kunnen kinderen als ‘plaatje
in hun hoofd’ hebben: het dobbelsteenpatroon, een hele hand met vijf
vingers, een rijtje van vijf eieren in een eierdoos of de vijf rode kralen op
de bovenste stang van het rekenrek. In alle gevallen helpt de structuur.
Wie wil weten hoeveel objecten er zijn, hoeft die niet altijd één voor één te
tellen. Je kunt bijvoorbeeld gebruik maken van getalbeelden. Het tellen op
de manier waarbij niet alle voorwerpen meer één voor één geteld worden,
heet verkort tellen.
Verkort tellen wordt gestimuleerd en gemakkelijk gemaakt door een
structuur in het te tellen materiaal. Het tellen met sprongen (2,5 of 10) is
een vorm van verkort tellen en is een voorbereiding op het leren
vermenigvuldigen.
H2 – tientallig stelsel
2.1 – tientallige bundeling
Het kunnen opzeggen van de telrij geeft nog niet de garantie dat de
kinderen doorzien hoe getallen zijn opgebouwd. Als je als leerling die
structuur wel doorziet, weet je: als de juf vier sprongen van 10 maakt en
twee van 1, komt ze uit bij 42.
Bij het tellen van grote hoeveelheden is het efficiënt om te bundelen, om
groepjes te maken. Het bundelen in groepjes van tien (of honderd bij grote
getallen) is het handigst, omdat dit precies aansluit bij ons tientallige
getalsysteem.
De opbouw van onze getallen is tientallig, dat wil zeggen dat we grotere
hoeveelheden bundelen in tientallen, honderdtallen, duizendtallen, enz.
Het bundelen van tien leidt tot een tientallig of decimaal talstelsel.
2.2 – positiewaarde
