samenvatting meten, meetkunde en verbanden 3e druk 2022 marc van zanten 9789006432688
,samenvatting meten, meetkunde en verbanden 3e druk 2022 marc van zanten 9789006432688
, samenvatting meten, meetkunde en verbanden 3e druk 2022 marc van zanten 9789006432688
1. Samenhang meten en meetkunde
Bij meten gaat het om het getalsmatig greep krijgen op “eigenschappen” van de wereld, zoals
lengte, oppervlakte, inhoud, gewicht en tijdsduur. Dergelijke eigenschappen heten grootheden. Een
grootheid wordt afgepast met een maat. Maateenheid is een getal. Meetinstrumenten worden
ingezet voor meten.
Bij meetkunde draait het om het verklaren en beschrijven van de ons omringende ruimte
(plattegronden, routes, richtingen en eigenschappen van vormen en figuren). Tevens projecties,
schaduwen, symmetrieen, patronen en twee- en driedimensionale weergaven van de werkelijkheid.
Meetkunde is ruimtelijke oriëntatie in wiskundige zin.
De vraag, wat de inhoud is van een doos, valt onder meten: het gaat om het kwantificeren van de
eigenschap inhoud. Een kwantiteit is een hoeveelheid en kwantificeren betekent: ergens een getal
aan toekennen. Als kinderen vervolgens – in gedachten – de doos vullen met kubieke centimeters,
zijn ze ruimtelijk aan het redeneren. Ze verrichten een meetkundige (denk)handeling om de
meetvraag te beantwoorden. Meten en meetkunde raken elkaar ook: dat een bepaalde inhoud
(meten), bijvoorbeeld een liter, verschillende ruimtelijke vormen (meetkunde) aan kan nemen.
De vorm die een inhoud aanneemt kan de leerlingen op het verkeerde been zetten met vergelijken.
Een oppervlakte van 1 cm² kan verschillende (meetkundige) vormen in een plat vlak hebben. Een
meetkundige activiteit als het omvormen van figuren kan worden toegepast bij het meten van
oppervlaktes. Ook het werken met vlakvullingen ligt op het snijvlak van meten en meetkunde: een
bepaalde oppervlakte wordt volgelegd met meetkundige vormen. De oppervlakte wordt dan
berekent door de oppervlakte te berekenen van de meetkundige vormen. Oppervlakte van ongelijke
stukken kun je uitrekenen door omvormen. De kortste route op een A4’tje vindt je door de
afstanden te kopiëren in een nieuw vel aan het oppervlakte vast.
In de stelling van Pythagoras komen meten en meetkunde samen De stelling beschrijft de vaste
relatie tussen de lengtes van de drie zijden van een rechthoekige driehoek: a2 +b2=c2 . Het
inzicht dat het kwadraat van een getal voorgesteld kan worden als de oppervlakte van een vierkant
met zijde x, is nodig om de relatie tussen getallen en meetkunde te begrijpen. De stelling van
Pythagoras werkt ook andersom. Dat wil zeggen: als je drie getallen a, b, en c hebt waarvoor geldt
dat
2 2 2
a +b =c , dan is de driehoek met zijden van a, b en c lang, een rechthoekige driehoek.
De zogeheten Egyptische driehoek met zijden 3, 4 en 5 waarin de stelling van Pythagoras geldt is niet
uniek. Er bestaan oneindig veel van deze drietallen. Een manier om een deelverzameling hiervan te
vinden is het bestuderen van onderstaand rijtje en er dan een verband in trachten te ontdekken. Het
linker rijtje laat zien hoe je steeds 3 getallen kunt vinden, die in het rechter rijtje Pythagoreïsch
blijken te zijn.
4 + 5 = 3² 4² + 3² = 5²
12 + 13 = 5² 12² + 5² = 13²
24 + 25 = 7² 24² + 7² = 25²
40 + 41 = 9² 40² + 9² = 41²
60 + 61 = 11² 60² + 11² = 61²
De gulden snede is een verhouding die sinds de zeventiende eeuw staat voor een schoonheidsideaal:
de mooiste verhouding die bestaat. Ook hierin gaat het om meten en meetkunde: in allerlei figuren
zijn afmetingen volgens deze verhouding terug te vinden. Een veelgebruikte benadering van de
gulden snede is 0,618 en wordt aangeduid met ϕ.
Het onderwijs in meten en meetkunde verschaft kinderen het wiskunde gereedschap om hun
dagelijkse leefwereld te kunnen begrijpen en beschrijven. Met behulp van een liniaal of maatbeker
krijgen kinderen greep op grootheden lengte, inhoud etc. Beheersen van de wiskundetaal die van
, samenvatting meten, meetkunde en verbanden 3e druk 2022 marc van zanten 9789006432688
pas komt in het dagelijkse leven. Een andere overeenkomst tussen meten en meetkunde is dat het
onderwijs zich in beide domeinen kenmerkt door redeneren en het ontwikkelen van een
onderzoekende houding (wiskundige attitude). Het levert ook ene belangrijke bijdrage aan de
ontwikkeling van gecijferdheid. Het begrijpen van de wereld in meetkundige termen is een aspect
van gecijferdheid.
Verschil tussen meten en meetkunde op de basisschool. Bij meten gaat het meestal om andere
(mentale) handelingen dan bij meetkundeactiviteiten. Bij meetactiviteiten gaat het om het leren
meten met een passende maat en zijn kinderen vooral aan het doen (uitvoeren van metingen,
aflezen van meetinstrumenten), kennen (de maten uit het metriek stelsel) en begrijpen (optreden
van meetfouten, maatverfijning en kiezen van de juiste maat). Bij meetkundeactiviteiten gaat het
vooral om het onderzoeken ruimtelijke relaties en het beredeneren hiervan; kinderen zijn bezig met
waarnemen, beschouwen, stellen en beantwoorden van de “waarom – vraag”, gericht op verklaren.
Het heeft meerwaarde om meten en meetkunde niet geïsoleerd, maar juist geïntegreerd aan bod te
laten komen. Activiteiten rondom construeren (bouwen) en representeren (afbeelden van de
werkelijkheid, zoals op een plattegrond of bouwtekening) vallen binnen meetkunde. Andere
activiteiten waarin meten en meetkunde beide aan bod komen, liggen op het gebied van
plattegronden, landkaarten en routes: coördinaten, windrichtingen en het bepalen van locaties
behoren tot het domein meetkunde; afstanden en oppervlaktes horen bij het domein meten.
Lokaliseren of plaatsbepaling op de aarde, meetkunde. Tijdmeting, meten.
Reken – wiskundige activiteiten schoenenwinkel in de klas: klein, groot, grootte, maat, soort, kleur
en tijdsbesef/jaargetijde. Ruimtelijk inrichten, verpakken/juiste doos, prijzen, tellen, geld bekijken,
cijfersymbolen herkennen benoemen en gebruiken. Klok, openingstijden, voeten meten, patronen
op de zolen.
Gecijferdheid houdt ook in dat je de samenhang tussen verschillende reken-wiskundedomeinen
weet te benutten. Bijvoorbeeld, getalsmatig als ruimtelijk verschillende (redeneer)stappen zetten om
de vragen te kunnen beantwoorden.
2. Meten
Meetgetallen zeggen iets over grootheden als gewicht, inhoud, temperatuur en snelheid. Bij elke
grootheid bestaan verschillende maten of maateenheden (kortweg: eenheden), die afhankelijk van
de situatie worden gebruikt. In het dagelijks leven gebruik je veel meetreferenties, bijvoorbeeld 50
km max snelheid vinnen de bebouwde kom. Bij bepaalde maten kun je je iets concreets voorstellen,
bijvoorbeeld een flinke stap bij een meter, een pak sap bij een liter en een pak suiker bij een
kilogram. Dit zijn voorbeelden van referentiematen.
Bij sommige meetinstrumenten is het afpassen van een maat goed zichtbaar. Andere
meetinstrumenten liggen in het verlengde van afpassen met een maat: rolmaat aaneenschakeling
van meters. Het afpassen is naar de achtergrond verdwenen bij digitale weegschaal, waarbij de
werking van het meetinstrument zelf niet zichtbaar is en je direct het meetresultaat afleest. De niet
rechtstreeks zichtbare grootheden als gewicht en temperatuur kunnen met meetinstrumenten
‘zichtbaar” worden gemaakt. Omdat je de een grootheid meet om een andere grootheid te bepalen,
wordt dit indirect meten genoemd. De grootheid temperatuur kan via een kwikthermometer
zichtbaar worden gemaakt. Een hogere temperatuur levert daarin een grotere uitslag op, doordat
3
Meten en meetkunde
,samenvatting meten, meetkunde en verbanden 3e druk 2022 marc van zanten 9789006432688
, samenvatting meten, meetkunde en verbanden 3e druk 2022 marc van zanten 9789006432688
1. Samenhang meten en meetkunde
Bij meten gaat het om het getalsmatig greep krijgen op “eigenschappen” van de wereld, zoals
lengte, oppervlakte, inhoud, gewicht en tijdsduur. Dergelijke eigenschappen heten grootheden. Een
grootheid wordt afgepast met een maat. Maateenheid is een getal. Meetinstrumenten worden
ingezet voor meten.
Bij meetkunde draait het om het verklaren en beschrijven van de ons omringende ruimte
(plattegronden, routes, richtingen en eigenschappen van vormen en figuren). Tevens projecties,
schaduwen, symmetrieen, patronen en twee- en driedimensionale weergaven van de werkelijkheid.
Meetkunde is ruimtelijke oriëntatie in wiskundige zin.
De vraag, wat de inhoud is van een doos, valt onder meten: het gaat om het kwantificeren van de
eigenschap inhoud. Een kwantiteit is een hoeveelheid en kwantificeren betekent: ergens een getal
aan toekennen. Als kinderen vervolgens – in gedachten – de doos vullen met kubieke centimeters,
zijn ze ruimtelijk aan het redeneren. Ze verrichten een meetkundige (denk)handeling om de
meetvraag te beantwoorden. Meten en meetkunde raken elkaar ook: dat een bepaalde inhoud
(meten), bijvoorbeeld een liter, verschillende ruimtelijke vormen (meetkunde) aan kan nemen.
De vorm die een inhoud aanneemt kan de leerlingen op het verkeerde been zetten met vergelijken.
Een oppervlakte van 1 cm² kan verschillende (meetkundige) vormen in een plat vlak hebben. Een
meetkundige activiteit als het omvormen van figuren kan worden toegepast bij het meten van
oppervlaktes. Ook het werken met vlakvullingen ligt op het snijvlak van meten en meetkunde: een
bepaalde oppervlakte wordt volgelegd met meetkundige vormen. De oppervlakte wordt dan
berekent door de oppervlakte te berekenen van de meetkundige vormen. Oppervlakte van ongelijke
stukken kun je uitrekenen door omvormen. De kortste route op een A4’tje vindt je door de
afstanden te kopiëren in een nieuw vel aan het oppervlakte vast.
In de stelling van Pythagoras komen meten en meetkunde samen De stelling beschrijft de vaste
relatie tussen de lengtes van de drie zijden van een rechthoekige driehoek: a2 +b2=c2 . Het
inzicht dat het kwadraat van een getal voorgesteld kan worden als de oppervlakte van een vierkant
met zijde x, is nodig om de relatie tussen getallen en meetkunde te begrijpen. De stelling van
Pythagoras werkt ook andersom. Dat wil zeggen: als je drie getallen a, b, en c hebt waarvoor geldt
dat
2 2 2
a +b =c , dan is de driehoek met zijden van a, b en c lang, een rechthoekige driehoek.
De zogeheten Egyptische driehoek met zijden 3, 4 en 5 waarin de stelling van Pythagoras geldt is niet
uniek. Er bestaan oneindig veel van deze drietallen. Een manier om een deelverzameling hiervan te
vinden is het bestuderen van onderstaand rijtje en er dan een verband in trachten te ontdekken. Het
linker rijtje laat zien hoe je steeds 3 getallen kunt vinden, die in het rechter rijtje Pythagoreïsch
blijken te zijn.
4 + 5 = 3² 4² + 3² = 5²
12 + 13 = 5² 12² + 5² = 13²
24 + 25 = 7² 24² + 7² = 25²
40 + 41 = 9² 40² + 9² = 41²
60 + 61 = 11² 60² + 11² = 61²
De gulden snede is een verhouding die sinds de zeventiende eeuw staat voor een schoonheidsideaal:
de mooiste verhouding die bestaat. Ook hierin gaat het om meten en meetkunde: in allerlei figuren
zijn afmetingen volgens deze verhouding terug te vinden. Een veelgebruikte benadering van de
gulden snede is 0,618 en wordt aangeduid met ϕ.
Het onderwijs in meten en meetkunde verschaft kinderen het wiskunde gereedschap om hun
dagelijkse leefwereld te kunnen begrijpen en beschrijven. Met behulp van een liniaal of maatbeker
krijgen kinderen greep op grootheden lengte, inhoud etc. Beheersen van de wiskundetaal die van
, samenvatting meten, meetkunde en verbanden 3e druk 2022 marc van zanten 9789006432688
pas komt in het dagelijkse leven. Een andere overeenkomst tussen meten en meetkunde is dat het
onderwijs zich in beide domeinen kenmerkt door redeneren en het ontwikkelen van een
onderzoekende houding (wiskundige attitude). Het levert ook ene belangrijke bijdrage aan de
ontwikkeling van gecijferdheid. Het begrijpen van de wereld in meetkundige termen is een aspect
van gecijferdheid.
Verschil tussen meten en meetkunde op de basisschool. Bij meten gaat het meestal om andere
(mentale) handelingen dan bij meetkundeactiviteiten. Bij meetactiviteiten gaat het om het leren
meten met een passende maat en zijn kinderen vooral aan het doen (uitvoeren van metingen,
aflezen van meetinstrumenten), kennen (de maten uit het metriek stelsel) en begrijpen (optreden
van meetfouten, maatverfijning en kiezen van de juiste maat). Bij meetkundeactiviteiten gaat het
vooral om het onderzoeken ruimtelijke relaties en het beredeneren hiervan; kinderen zijn bezig met
waarnemen, beschouwen, stellen en beantwoorden van de “waarom – vraag”, gericht op verklaren.
Het heeft meerwaarde om meten en meetkunde niet geïsoleerd, maar juist geïntegreerd aan bod te
laten komen. Activiteiten rondom construeren (bouwen) en representeren (afbeelden van de
werkelijkheid, zoals op een plattegrond of bouwtekening) vallen binnen meetkunde. Andere
activiteiten waarin meten en meetkunde beide aan bod komen, liggen op het gebied van
plattegronden, landkaarten en routes: coördinaten, windrichtingen en het bepalen van locaties
behoren tot het domein meetkunde; afstanden en oppervlaktes horen bij het domein meten.
Lokaliseren of plaatsbepaling op de aarde, meetkunde. Tijdmeting, meten.
Reken – wiskundige activiteiten schoenenwinkel in de klas: klein, groot, grootte, maat, soort, kleur
en tijdsbesef/jaargetijde. Ruimtelijk inrichten, verpakken/juiste doos, prijzen, tellen, geld bekijken,
cijfersymbolen herkennen benoemen en gebruiken. Klok, openingstijden, voeten meten, patronen
op de zolen.
Gecijferdheid houdt ook in dat je de samenhang tussen verschillende reken-wiskundedomeinen
weet te benutten. Bijvoorbeeld, getalsmatig als ruimtelijk verschillende (redeneer)stappen zetten om
de vragen te kunnen beantwoorden.
2. Meten
Meetgetallen zeggen iets over grootheden als gewicht, inhoud, temperatuur en snelheid. Bij elke
grootheid bestaan verschillende maten of maateenheden (kortweg: eenheden), die afhankelijk van
de situatie worden gebruikt. In het dagelijks leven gebruik je veel meetreferenties, bijvoorbeeld 50
km max snelheid vinnen de bebouwde kom. Bij bepaalde maten kun je je iets concreets voorstellen,
bijvoorbeeld een flinke stap bij een meter, een pak sap bij een liter en een pak suiker bij een
kilogram. Dit zijn voorbeelden van referentiematen.
Bij sommige meetinstrumenten is het afpassen van een maat goed zichtbaar. Andere
meetinstrumenten liggen in het verlengde van afpassen met een maat: rolmaat aaneenschakeling
van meters. Het afpassen is naar de achtergrond verdwenen bij digitale weegschaal, waarbij de
werking van het meetinstrument zelf niet zichtbaar is en je direct het meetresultaat afleest. De niet
rechtstreeks zichtbare grootheden als gewicht en temperatuur kunnen met meetinstrumenten
‘zichtbaar” worden gemaakt. Omdat je de een grootheid meet om een andere grootheid te bepalen,
wordt dit indirect meten genoemd. De grootheid temperatuur kan via een kwikthermometer
zichtbaar worden gemaakt. Een hogere temperatuur levert daarin een grotere uitslag op, doordat
3
Meten en meetkunde
