Rekenen-Wiskunde samenvatting (semester 1)
Rekenen met verhoudingen op de basisschool
Hoofdstuk 3) Breuken
Paragraaf 3.1) Hoe rijk is jouw rekenkennis?
De rekenkennis van een leraar gaat verder van kennis van ‘hoe je iets uitrekent’. Je moet je
kunnen verplaatsen in het denken van kinderen en kinderen rekenen vaan anders dan je zelf
zou doen. Leerlingen gebruiken verschillende aanpakken en je moet jouw begeleiding
daarop afstemmen. Er zijn verschillende niveaus van probleem oplossen:
- Concrete niveau; het materiaal echt gebruiken (bijv. echte flessen gebruiken voor
inhoud)
- Schematische niveau; de situatie natekenen, dit niveau is herkenbaar aan modellen
(bijv. flessen tekenen en lijntjes voor tot hoever ze gevuld zijn). Bij een oplossing op
schematisch niveau wort het concrete handelen vertaald naar een tekening op
papier. Wanneer die tekening abstract wordt en inzetbaar in meerdere situaties,
spreekt men van een model (bijv. verhoudingstabel). Modellen vormen een brug
tussen concrete en formele niveau.
- Formele niveau; rekenen met kale rekengetallen zonder visuele ondersteuning.
De drie niveaus van probleemoplossen vormen de basis voor iedere leerlijn. Een leerlijn
beschrijft de manier waarop het wiskundig inzicht van kinderen zich kan ontwikkelen, en de
opbouw in opgaven die zo’n ontwikkeling stimuleren. In elke leerlijn begint het met
contextopgaven en concreet materiaal of tekeningen van situaties. Bij de leerlijn breuken
zijn vooral de strook, cirkel en de getallenlijn belangrijk m.b.t het schematische niveau.
Paragraaf 3.2) Hoeveel moeten kinderen van breuken weten?
In het dagelijks leven worden voornamelijk kommagetallen en procenten gebruikt i.p.v.
breuken. Toch geloven we dat breuken erg belangrijk zijn. Het eerste argument is dat
mensen vaak in breukentermen rekenen en redeneren, ook als er niet expliciet om breuken
gevraagd wordt (bijv. 72% van 600 is ongeveer ‘driekwart’, de helft is 300 + 150 (kwart)).
Breuken geven betekenis aan procenten en kommagetallen. Het tweede argument is van
didactische aard: begrip van breuken vormt het fundament voor het begrijpen van
verhoudingen, kommagetallen en procenten. Het moderne reken-wiskundeonderwijs werkt
vanuit situaties waar kinderen in het dagelijks leven tegenaan lopen (hoeveel deel van de
taart krijgt elke leerling, de deur is 2 keer zo groot als de stoel etc.). Als we breuken
overslaan voordat we kommagetallen en procenten introduceren, komen we direct met een
standaardisering.
Het argument om breuken aan de orde te stellen is dus dat begrip van breuken hete
fundament vormt voor het rekenen met procenten en kommagetallen. Wat kinderen precies
moeten weten en kunnen is niet zo eenvoudig te formuleren, want het gaat vooral om het
niveau waarop ze iets moeten weten of kunnen. Er zijn verschillende niveaus en dat moeten
we respecteren en we moeten kiezen voor doelen op verschillende niveaus. Breuken spelen
in het dagelijks leven geen grote rol. Op zich zouden we daarom kunnen eisen dat de lln. aan
het eind van de basisschool met vrij eenvoudige breuken moeten kunnen reken, en dat
vooral binnen contextsituaties. Maar hiermee doen we de leerlingen die de stap kunnen
maken naar het redeneren met breuken zonder context te kort. Lln. die op die manier
, kunnen kijken naar breuken moeten we activiteiten en opgaven bieden op een abstracter,
formeler niveau. Voor een groot deel van de lln. kunnen we volstaan met lagere eisen:
rekenen met eenvoudige breuken en gekoppeld aan een concrete context. Bij breuken is het
belangrijk dat de leerkracht steeds de nadruk legt op de betekenis van breuken. Een aantal
tips hiervoor: raak zelf vertrouwd met breuken, haal voorkennis op, laat lln. zelf ontdekken
wat breuken zijn, geef lln. een actieve rol, gebruik ondersteunende denkmodellen (cirkel,
getallenlijn etc.), besteed tijd aan relatienetwerk, stimuleer uitrekenpapier.
Paragraaf 3.3) Wat zijn breuken?
Een breuk is een getal at te schrijven is als de deling van twee hele getallen. Als een getal
geschreven kan worden als het quotiënt van hele getallen spreekt men in de wiskunde van
een rationeel getal. Hele getallen zijn ook rationele getallen, denk aan 6 als 6/1 en 12/2 etc.
Een irrationaal getal is een getal met oneindig veel cijfers achter de komma, die zichzelf niet
herhalen (zoals Pi = 3,1415926358….). Voor het onderwijs is het belangrijk dat we aansluiten
bij situaties uit het dagelijks leven die aanleiding geven tot breuken. Er zijn 2 situaties:
1) Verdeelsituaties; bieden een natuurlijke ingang voor het ontwikkelen van breuken.
De breuken duiken bij verdelen op verschillende manieren op:
- Als 3 personen een pizza verdelen, krijgt ieders 1/3 deel van de pizza
- Er kan een rest overblijven, waarbij iedereen nog recht houdt op een deel daarvan;
bij 7 mandarijnen verdelen met 3 krijgt iedereen 2 1/3 mandarijn.
- ‘eerlijk verdelen’ leidt vanuit een deling tot een breuk; bij 3 pannenkoeken met zijn
vieren krijgt ieders 3: 4 = 3/4e pannenkoek
2) Meetsituaties; meten biedt ook een natuurlijke context voor het ontwikkelen van
breuken. De notatie 2/3e heeft hierbij een dubbele betekenis:
- 2/3e weerspiegelt een handeling; het staat voor ‘2 stukjes van 1/3e’, waarbij die 1/3e
de maat is
- 2/3e staat voor de verhouding ‘2 staat tot 3’, de relatie tussen deel en geheel
Uiteindelijk moeten kinderen ook kennis ontwikkelen die los staat van concrete situaties. Als
het goed is kunnen kinderen zelf situaties bedenken die ‘bewijzen’ dat het klopt en die
redenering ondersteuning met een tekening, bijv. een cirkel. De kennis die kinderen
ontwikkelen over de relaties tussen verschillende soorten breuken noemen we een
relatienetwerk. Het is erg goed om het relatienetwerk te ontwikkelen vanuit
contextsituaties, dus vanuit situaties met benoemde breuken.
Paragraaf 3.4) Verkennen van breuken
Het is belangrijk dat leerlingen in het begin steeds blijven redeneren vanuit de gegeven
context. Binnen een contextsituatie kunnen breuken verschillende verschijningsvormen
hebbe. Ze zijn altijd het zoveelste deel van iets, het gaat om deel-geheelrelaties:
Deel van 1 ding: 3/4e van de benzinetank is nog vol, 3/4e van de taart is op
Deel van een verzameling: ¾ van de leerlingen heeft donker haar
Deel van een hoeveelheid: er zit nog ¾ van 40 L in de tank, ¾ van de 20 kinderen uit
de klas
Deel van een maat: ¾ kilometer, ¾ uur
Breuken zijn verhoudingsgetallen, wat met zich meebrengt dat het voor iedereen duidelijk
moet zijn om welke verhouding het gaat. het is belangrijk dat we in het begin werken met
benoemde breuken. Dat wil zeggen dat leerlingen bij elke breuk opschrijven waar de breuk
betrekking op heeft (bijv. ¾ pizza = ½ pizza + ¼ pizza). Door het onderzoeken van
Rekenen met verhoudingen op de basisschool
Hoofdstuk 3) Breuken
Paragraaf 3.1) Hoe rijk is jouw rekenkennis?
De rekenkennis van een leraar gaat verder van kennis van ‘hoe je iets uitrekent’. Je moet je
kunnen verplaatsen in het denken van kinderen en kinderen rekenen vaan anders dan je zelf
zou doen. Leerlingen gebruiken verschillende aanpakken en je moet jouw begeleiding
daarop afstemmen. Er zijn verschillende niveaus van probleem oplossen:
- Concrete niveau; het materiaal echt gebruiken (bijv. echte flessen gebruiken voor
inhoud)
- Schematische niveau; de situatie natekenen, dit niveau is herkenbaar aan modellen
(bijv. flessen tekenen en lijntjes voor tot hoever ze gevuld zijn). Bij een oplossing op
schematisch niveau wort het concrete handelen vertaald naar een tekening op
papier. Wanneer die tekening abstract wordt en inzetbaar in meerdere situaties,
spreekt men van een model (bijv. verhoudingstabel). Modellen vormen een brug
tussen concrete en formele niveau.
- Formele niveau; rekenen met kale rekengetallen zonder visuele ondersteuning.
De drie niveaus van probleemoplossen vormen de basis voor iedere leerlijn. Een leerlijn
beschrijft de manier waarop het wiskundig inzicht van kinderen zich kan ontwikkelen, en de
opbouw in opgaven die zo’n ontwikkeling stimuleren. In elke leerlijn begint het met
contextopgaven en concreet materiaal of tekeningen van situaties. Bij de leerlijn breuken
zijn vooral de strook, cirkel en de getallenlijn belangrijk m.b.t het schematische niveau.
Paragraaf 3.2) Hoeveel moeten kinderen van breuken weten?
In het dagelijks leven worden voornamelijk kommagetallen en procenten gebruikt i.p.v.
breuken. Toch geloven we dat breuken erg belangrijk zijn. Het eerste argument is dat
mensen vaak in breukentermen rekenen en redeneren, ook als er niet expliciet om breuken
gevraagd wordt (bijv. 72% van 600 is ongeveer ‘driekwart’, de helft is 300 + 150 (kwart)).
Breuken geven betekenis aan procenten en kommagetallen. Het tweede argument is van
didactische aard: begrip van breuken vormt het fundament voor het begrijpen van
verhoudingen, kommagetallen en procenten. Het moderne reken-wiskundeonderwijs werkt
vanuit situaties waar kinderen in het dagelijks leven tegenaan lopen (hoeveel deel van de
taart krijgt elke leerling, de deur is 2 keer zo groot als de stoel etc.). Als we breuken
overslaan voordat we kommagetallen en procenten introduceren, komen we direct met een
standaardisering.
Het argument om breuken aan de orde te stellen is dus dat begrip van breuken hete
fundament vormt voor het rekenen met procenten en kommagetallen. Wat kinderen precies
moeten weten en kunnen is niet zo eenvoudig te formuleren, want het gaat vooral om het
niveau waarop ze iets moeten weten of kunnen. Er zijn verschillende niveaus en dat moeten
we respecteren en we moeten kiezen voor doelen op verschillende niveaus. Breuken spelen
in het dagelijks leven geen grote rol. Op zich zouden we daarom kunnen eisen dat de lln. aan
het eind van de basisschool met vrij eenvoudige breuken moeten kunnen reken, en dat
vooral binnen contextsituaties. Maar hiermee doen we de leerlingen die de stap kunnen
maken naar het redeneren met breuken zonder context te kort. Lln. die op die manier
, kunnen kijken naar breuken moeten we activiteiten en opgaven bieden op een abstracter,
formeler niveau. Voor een groot deel van de lln. kunnen we volstaan met lagere eisen:
rekenen met eenvoudige breuken en gekoppeld aan een concrete context. Bij breuken is het
belangrijk dat de leerkracht steeds de nadruk legt op de betekenis van breuken. Een aantal
tips hiervoor: raak zelf vertrouwd met breuken, haal voorkennis op, laat lln. zelf ontdekken
wat breuken zijn, geef lln. een actieve rol, gebruik ondersteunende denkmodellen (cirkel,
getallenlijn etc.), besteed tijd aan relatienetwerk, stimuleer uitrekenpapier.
Paragraaf 3.3) Wat zijn breuken?
Een breuk is een getal at te schrijven is als de deling van twee hele getallen. Als een getal
geschreven kan worden als het quotiënt van hele getallen spreekt men in de wiskunde van
een rationeel getal. Hele getallen zijn ook rationele getallen, denk aan 6 als 6/1 en 12/2 etc.
Een irrationaal getal is een getal met oneindig veel cijfers achter de komma, die zichzelf niet
herhalen (zoals Pi = 3,1415926358….). Voor het onderwijs is het belangrijk dat we aansluiten
bij situaties uit het dagelijks leven die aanleiding geven tot breuken. Er zijn 2 situaties:
1) Verdeelsituaties; bieden een natuurlijke ingang voor het ontwikkelen van breuken.
De breuken duiken bij verdelen op verschillende manieren op:
- Als 3 personen een pizza verdelen, krijgt ieders 1/3 deel van de pizza
- Er kan een rest overblijven, waarbij iedereen nog recht houdt op een deel daarvan;
bij 7 mandarijnen verdelen met 3 krijgt iedereen 2 1/3 mandarijn.
- ‘eerlijk verdelen’ leidt vanuit een deling tot een breuk; bij 3 pannenkoeken met zijn
vieren krijgt ieders 3: 4 = 3/4e pannenkoek
2) Meetsituaties; meten biedt ook een natuurlijke context voor het ontwikkelen van
breuken. De notatie 2/3e heeft hierbij een dubbele betekenis:
- 2/3e weerspiegelt een handeling; het staat voor ‘2 stukjes van 1/3e’, waarbij die 1/3e
de maat is
- 2/3e staat voor de verhouding ‘2 staat tot 3’, de relatie tussen deel en geheel
Uiteindelijk moeten kinderen ook kennis ontwikkelen die los staat van concrete situaties. Als
het goed is kunnen kinderen zelf situaties bedenken die ‘bewijzen’ dat het klopt en die
redenering ondersteuning met een tekening, bijv. een cirkel. De kennis die kinderen
ontwikkelen over de relaties tussen verschillende soorten breuken noemen we een
relatienetwerk. Het is erg goed om het relatienetwerk te ontwikkelen vanuit
contextsituaties, dus vanuit situaties met benoemde breuken.
Paragraaf 3.4) Verkennen van breuken
Het is belangrijk dat leerlingen in het begin steeds blijven redeneren vanuit de gegeven
context. Binnen een contextsituatie kunnen breuken verschillende verschijningsvormen
hebbe. Ze zijn altijd het zoveelste deel van iets, het gaat om deel-geheelrelaties:
Deel van 1 ding: 3/4e van de benzinetank is nog vol, 3/4e van de taart is op
Deel van een verzameling: ¾ van de leerlingen heeft donker haar
Deel van een hoeveelheid: er zit nog ¾ van 40 L in de tank, ¾ van de 20 kinderen uit
de klas
Deel van een maat: ¾ kilometer, ¾ uur
Breuken zijn verhoudingsgetallen, wat met zich meebrengt dat het voor iedereen duidelijk
moet zijn om welke verhouding het gaat. het is belangrijk dat we in het begin werken met
benoemde breuken. Dat wil zeggen dat leerlingen bij elke breuk opschrijven waar de breuk
betrekking op heeft (bijv. ¾ pizza = ½ pizza + ¼ pizza). Door het onderzoeken van
