Samenvatting Hele Getallen, Reken-wiskundedidactiek

Samenvatting rekenen: Hele getallen

Hoofdstuk 1

1.1 getallen zie je overal

Getallen helpen je om de wereld te ordenen, te structureren en te organiseren.
Betekenis van getallen= Getallen komen in het dagelijks leven in veel verschillende
situaties en betekenissen.

De betekenis van het getal hangt af van de verschijningsvorm of functie van het
getal getallen worden op verschillende manieren gebruikt

De verschijningsvormen van getallen:

Verschijningsvorm Betekenis
Telgetal of ordinaal getal Het getal geeft de rangorde aan in de
telrij: 1,2,3… of: de eerste, tweede,
derde…
Hoeveelheidsgetal of kardinaal getal Het getal geeft een bepaalde hoeveelheid
aan. Bijvoorbeeld: 5 appels
Meetgetal Het getal hoort bij een meting.
Bijvoorbeeld: van de voordeur tot het
tuinhek is het vier meter, het is buiten 23
graden, de pup weegt 10,5 kg
Naamgetal of nummer Het getal heeft de functie van een naam
of een nummer. Bijvoorbeeld: tramlijn 1,
rugnummer 7 of huisnummer 38
Rekengetal Een getal dat zonder context of grootheid
wordt gebruikt. Bijvoorbeeld: in een
rekenopgave; 36 x 125= 4500 of
5/8 x 400


Er kan ook onderscheid gemaakt worden tussen benoemde en onbenoemde getallen.

Benoemd getal= de grootheid wordt vermeld. Bijvoorbeeld: 3 liter (meetgetal) of 100
kinderen (hoeveelheidsgetal).

Onbenoemd getal= alle getallen waarbij de grootheid niet vermeld is. Bijvoorbeeld:
3+5=8  dit worden kale getallen genoemd.

De getallen waarmee we tellen worden natuurlijke getallen genoemd 1,2,3
enzovoort. Ook 0 is een natuurlijk getal.

 Als natuurlijke getallen met elkaar opgeteld of vermenigvuldigd worden komt hier
een natuurlijk getal uit

Bij aftrekken is dat niet altijd zo: bijvoorbeeld bij de som 15-47, hierbij is de uitkomst een
negatief getal en NIET een natuurlijk getal

 Deze leren kinderen al op de basisschool, bijvoorbeeld bij een meetgetal op de
thermometer (zoals -2 graden celsius)

Ook bij een deelsom met natuurlijke getallen is de uitkomst niet altijd een natuurlijk getal

 Bijvoorbeeld: 5:10= 0,5  de uitkomst hiervan wordt een rationaal getal of
gebroken getal genoemd.


Geheel getal= alle natuurlijke getallen en de negatieve getallen … -3, -2, -1, 0, 1,
2, 3 …  dit wordt ook wel hele getallen genoemd.

,1.2 Ons getalsysteem
Een systeem om getallen te representeren noem je een talstelsel, getalstelsel
of getalsysteem
Ons getalstelsel heet het decimale stelsel: dit betekend tientallig waar de
tien cijfersymbolen/cijfers voor worden gebruikt: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
 Een getal bestaat uit 1 of meer cijfersymbolen het getal 4 bestaat uit het
cijfer 4 en het getal 398 bestaat uit de cijfers 3, 9 en 8
de plaats of positie van een cijfer in het getal bepaald de waarde van het
cijfer dit noem je plaatswaarde en positiewaarde:
 De 3 in 398 is 300 waard
 De 3 in 938 is 30 waard
Deze manier van getallen noteren, waarbij de positie van het cijfer de waarde
ervan bepaald= kenmerkend voor een positioneel talstelsel of positiestelsel
 in ons positionele stelsel neemt het cijfer 0 een belangrijke plaats in
 de 0 zorgt ervoor dat elk cijfer op de juiste positie kan staan  de 0 zorgt
ervoor dat de 7 in 7025 de waarde 7000 krijgt
elke positie in een getal heeft een positiewaarde die correspondeert met een
macht van 10
 bijvoorbeeld: 7025= 7 x 1000 + 0 x 100 + 2 x 10 + 5 x 1

= 7 x 103+ 0 x 102 + 2 x 101+ 5 x 100

1.2.2
Het Egyptische en Romeinse getalsysteem zijn voorbeelden van een additief
systeem waarbij de waarde van het voorgestelde getal bepaald wordt door het
totaal van de symbolen
Het Romeinse getalsysteem:

Romeins Waarde
getal
I 1
V 5
X 10
L 50
C 100
D 500
M 1000
Voorbeelden: 7 wordt weergegeven als: VII  de waarde is de som van de verschillende
symbolen: 5 + 1 + 1 = 7

Bij de romeinen ontbrak een symbool voor 0: in hun systeem was hiervoor geen symbool
nodig. Bij het weergeven van een getal in hun getalsysteem is de volgorde van de
symbolen niet willekeurig.

,De symbolen met de grotere waarden staan links van de symbolen met een kleinere
waarde  van groot naar klein
Er is ook een nieuw-Romeins getalsysteem: waarbij gebruik wordt gemaakt van het
substractief principe: wanneer een symbool met kleinere waarde voor een symbool
met hogere waarde staat, wordt de waarde van het eerste symbool afgetrokken van het
tweede symbool
 voorbeeld: IX = 9 (1 en 10, dus 10 – 1 = 9)
 alleen bij de volgende combinaties:
- I voor V of voor X
- X voor L of voor C
- C voor D of voor M

14 in het Nieuw-Romeins (NR)= XIV (10 + 5 – 1= 14)
14 in het Oud- Romeins (OR)= XIIII (10 + 1 + 1 + 1 + 1 = 14)

 In het Romeinse getalsysteem mogen de cijfers V, L en D maar 1 keer voorkomen
in een getal

Rekenen met Romeinse getallen:
 CLVI + CXII = 156 + 112 = 268= CCLXIIX (NR) of CCLXVIII
 XII x CLVI = 12 x 156= 1872= MDCCCLXXII


1.2.3

Andere talstelsels

Naast ons decimale stelsel komen er ook andere talstelsels voor:

 Computers maken gebruik van het binair (tweetallig) en hexadecimaal
(zestientallig) talstelsel
 Het sexagesimaal (zestigtallig) of Babylonische getalsysteem = de oorsprong
van onze tijd- en hoekmeting

Deze talstelsels onderscheiden zich van het decimale talstelsel, omdat: zij een andere
grondtal ofwel andere basis hebben

 Het binaire talstelsel= tweetallige bundeling slechts twee cijfersymbolen
worden gebruikt  0 en 1
 In het hexadecimale stelsel is de basis 16
 In het octale stelsel is de basis 8
 In het sexagesimale stelsel is de basis 60

Bij deze positiestelsels geldt dat de waarde van een positie een macht is van de basis van
het talstelsel (10, 2, 8, 60).

Als je met meerdere talstelsels tegelijk rekent, dan wordt de basis van het talstelsel erbij
gezet als subscript= de radixnotatie

 Bijvoorbeeld: 3425

 Bij getallen in het tientallig stelsel wordt subscript 10 vaak weggelaten, je kan het
getal op deze manier omrekenen naar het 10 tallig stelsel:
 3425 = 3 x 512 + 4 x 64 + 2 x 8 + 5 x 1
= 3 x 83 + 4 x 82 + 2 x 81 + 5 x 8 0




1.3 Eigenschappen van getallen

, 1.3.1 Deelbaarheid: getal wordt deelbaar genoemd als de deling uitkomt op een heel
getal je houdt geen rest over na de deling

Samengesteld getal: Als een getal deelbaar is door een ander getal dan zichzelf,
ongelijk aan 1

 Samengestelde getallen zijn positieve gehele getallen die GEEN priemgetal zijn
 Het kleinste samengestelde getal is 4

Samengesteld getal= het product van getallen, bijvoorbeeld: 30= 5 x 6 = 10 x 3 = 2 x 3
x 5 dit heet ontbinden in factoren

Deelbaar door 10

 Als een getal eindigt op 0 is het deelbaar door 10
 Kijk naar het bundelingsprincipe: 7860 = 786 tientallen

Deelbaar door 5

 Als een getal eindigt op 0 of 5 is het deelbaar door 5
 Bundelingsprincipe: elke 10 kun je bundelen als 2 groepjes van 5
 = een getal deelbaar door 10  dan ook door 5

Deelbaar door 2

 Het laatste cijfer is een even getal
 Voorbeeld: 24= deelbaar door 2 want even getal

Getallen die deelbaar zijn door 2 zijn even getallen

Getallen die NIET deelbaar zijn door 2 zijn oneven getallen

Deelbaar door 4

 De laatste twee cijfers zijn deelbaar door 4
 Voorbeeld 2024= deelbaar door 4 want laatste twee cijfers: 24: 4 = 6 dus
deelbaar door 4

Deelbaar door 8:

 Een getal is deelbaar door 8 als de laatste 3 cijfers een getal vormen dat deelbaar
is door 8
 Bijvoorbeeld: 634.904  want 8 x 100 is 800 + 8 x 10 = 880 + 8 x 3= 904

Voorbeeld 2: Is het getal 56.272 deelbaar door 8?

 Je kijkt dus naar de laatste drie cijfers. Dat is getal 272.
 Je moet wel handig kunnen splitsen, zo bijvoorbeeld:
 240 : 8 = 30 en 32 : 8 = 4 dus 272 : 8 = 34 rest 0
 - 272 is deelbaar door 8, dus ook 56.272 is deelbaar door 8

Deelbaar door 3

 De som van de cijfers is deelbaar door 3
 Voorbeeld: 111 = deelbaar door 3 want 1 + 1 + 1 = 3, dus deelbaar door 3
 Of 111.111 want 1 + 1 + 1 + 1 +1 +1 = 6 = deelbaar door 3




Deelbaar door 9