H14 Mechanica in samenhang
§14.1 Samenhang bij bewegingen
Steilheid en afgeleide
(v,t)-diagram: versnelling bepalen met steilheid d.m.v. raaklijn. Gemiddelde versnelling: steilheid
verbindingskoorde —> a = Δv / Δt.
Momentane versnelling bepalen: Δt (en daarmee Δv) oneindig klein nemen: ‘de limiet van Δt
nadert naar nul’: dt. Δv —> dv. Versnelling a = dv / dt. De versnelling is de afgeleide van de
snelheid. a = v’. De momentane versnelling bepalen: steilheid raaklijn (v,t)-diagram.
Gemiddelde snelheid uit een (x,t)-diagram: v = Δx / Δt toepassen op een verbindingskoorde van
het (x,t)-diagram. Momentane snelheid v = dx / dt. v = x’. Momentane snelheid: steilheid raaklijn
(x,t)-diagram.
a = v’ = x’’
Oppervlakte en primitieve
Oppervlakte onder (v,t)-grafiek = verplaatsing. Oppervlakte onder (a,t)-grafiek is gemiddelde
snelheid.
Bij het bepalen van de steilheid van de grafiek deel je de eenheid van de grootheid op de y-as
door die op de x-as. Bij het bepalen van de oppervlakte vermenigvuldig je deze eenheden.
x —> v —> a = differentiëren
a —> v —> x = primitieveren.
De plaats is dus de primitieve van de snelheid, de snelheid is de primitieve van de versnelling.
Bij de primitieve moet je de integratieconstante toevoegen. Natuurkundige betekenis:
beginwaarde van de grootheid.
Oppervlakte onder (v,t)-grafiek weet je verplaatsing in tijdsinterval. Maar je weet niet de plaats op
een bepaald tijdstip. Je moet één plaats weten op een bepaald tijdstip.
Eenvoudige bewegingen
Stilstand
Voorwerp bevindt zich op een
bepaalde plek, bijvoorbeeld x= 7,5
m.
v = x’ = 0.
a = v’ = 0.
Geen snelheid, geen versnelling.
Eenparige beweging
v (t) = constant = v0.
x (t) = v0t + c = v0t + x0
c = beginpositie x0, vind je door t
= 0 s.
a = v’ = 0. Geen versnelling.
Eenparige versnelde beweging
a = constante = a0.
v = a0t + constante = a0t + v0.
x = 1/2 a0t2 + v0t + x0.
Voor vrije val geldt a = g = 9,81 m/
s^2.
, De harmonische trilling
Harmonische trilling: een periodieke beweging waarbij de uitwijking sinusvormig verloopt als
functie van de tijd:
u (t) = A sin ((2π / T) x t), amplitude A en T is trillingstijd.
Uitwijkingsfunctie is een plaatsfunctie. v = u’. Snelheid maximaal, uitwijking nul (in
evenwichtsstand). De versnelling is daar nul. a = v’ = u’’. De versnelling is het grootste als de
uitwijking het grootst is. De versnelling is tegengesteld gericht aan de uitwijking. De versnelling in
het bovenste omkeerpunt heeft de grootste negatieve waarde en is dus omlaag gericht.
Bij een trillend voorwerp.
Fv = - C x u (1)
F = m x a = m x u’’ (2)
Combineren (1) en (2) —> - C x u = m x u’’ —> u’’ = - (C / m) x u
u’’ = - k x u
In de natuurkunde moet je onderscheid maken russen formules die altijd geldig zijn (universeel)
en formules die slechts in bepaalde situaties gelden.
Voor realistische bewegingen zijn er zelden analytische bewegingsfuncties. Gegevens van zo’n
beweging kun je meten of met een model benaderen.
§14.2 Krachten in wisselwerking
Heel- en deelsystemen
In de natuurkunde splits je een systeem (het heelsysteem) in deelsystemen. Daarna bekijk je de
krachten die op elk deelsysteem afzonderlijk werken.
Wisselwerking
Het principe van wisselwerking: als voorwerp A op voorwerp B een kracht uitoefent, dan oefent
voorwerp B een even grote tegengesteld gerichte kracht op B uit.
§14.1 Samenhang bij bewegingen
Steilheid en afgeleide
(v,t)-diagram: versnelling bepalen met steilheid d.m.v. raaklijn. Gemiddelde versnelling: steilheid
verbindingskoorde —> a = Δv / Δt.
Momentane versnelling bepalen: Δt (en daarmee Δv) oneindig klein nemen: ‘de limiet van Δt
nadert naar nul’: dt. Δv —> dv. Versnelling a = dv / dt. De versnelling is de afgeleide van de
snelheid. a = v’. De momentane versnelling bepalen: steilheid raaklijn (v,t)-diagram.
Gemiddelde snelheid uit een (x,t)-diagram: v = Δx / Δt toepassen op een verbindingskoorde van
het (x,t)-diagram. Momentane snelheid v = dx / dt. v = x’. Momentane snelheid: steilheid raaklijn
(x,t)-diagram.
a = v’ = x’’
Oppervlakte en primitieve
Oppervlakte onder (v,t)-grafiek = verplaatsing. Oppervlakte onder (a,t)-grafiek is gemiddelde
snelheid.
Bij het bepalen van de steilheid van de grafiek deel je de eenheid van de grootheid op de y-as
door die op de x-as. Bij het bepalen van de oppervlakte vermenigvuldig je deze eenheden.
x —> v —> a = differentiëren
a —> v —> x = primitieveren.
De plaats is dus de primitieve van de snelheid, de snelheid is de primitieve van de versnelling.
Bij de primitieve moet je de integratieconstante toevoegen. Natuurkundige betekenis:
beginwaarde van de grootheid.
Oppervlakte onder (v,t)-grafiek weet je verplaatsing in tijdsinterval. Maar je weet niet de plaats op
een bepaald tijdstip. Je moet één plaats weten op een bepaald tijdstip.
Eenvoudige bewegingen
Stilstand
Voorwerp bevindt zich op een
bepaalde plek, bijvoorbeeld x= 7,5
m.
v = x’ = 0.
a = v’ = 0.
Geen snelheid, geen versnelling.
Eenparige beweging
v (t) = constant = v0.
x (t) = v0t + c = v0t + x0
c = beginpositie x0, vind je door t
= 0 s.
a = v’ = 0. Geen versnelling.
Eenparige versnelde beweging
a = constante = a0.
v = a0t + constante = a0t + v0.
x = 1/2 a0t2 + v0t + x0.
Voor vrije val geldt a = g = 9,81 m/
s^2.
, De harmonische trilling
Harmonische trilling: een periodieke beweging waarbij de uitwijking sinusvormig verloopt als
functie van de tijd:
u (t) = A sin ((2π / T) x t), amplitude A en T is trillingstijd.
Uitwijkingsfunctie is een plaatsfunctie. v = u’. Snelheid maximaal, uitwijking nul (in
evenwichtsstand). De versnelling is daar nul. a = v’ = u’’. De versnelling is het grootste als de
uitwijking het grootst is. De versnelling is tegengesteld gericht aan de uitwijking. De versnelling in
het bovenste omkeerpunt heeft de grootste negatieve waarde en is dus omlaag gericht.
Bij een trillend voorwerp.
Fv = - C x u (1)
F = m x a = m x u’’ (2)
Combineren (1) en (2) —> - C x u = m x u’’ —> u’’ = - (C / m) x u
u’’ = - k x u
In de natuurkunde moet je onderscheid maken russen formules die altijd geldig zijn (universeel)
en formules die slechts in bepaalde situaties gelden.
Voor realistische bewegingen zijn er zelden analytische bewegingsfuncties. Gegevens van zo’n
beweging kun je meten of met een model benaderen.
§14.2 Krachten in wisselwerking
Heel- en deelsystemen
In de natuurkunde splits je een systeem (het heelsysteem) in deelsystemen. Daarna bekijk je de
krachten die op elk deelsysteem afzonderlijk werken.
Wisselwerking
Het principe van wisselwerking: als voorwerp A op voorwerp B een kracht uitoefent, dan oefent
voorwerp B een even grote tegengesteld gerichte kracht op B uit.
