Hoofdstuk 8 Hemelmechanica
§8.1 Gravitatie
Het zonnestelsel
Voor de Oude Grieken gold het geocentrisch wereldbeeld: de aarde was het middelpunt van het
heelal. De waargenomen beweging van de zon en de sterren rond de aarde is echter een
schijnbare beweging, want ze is het gevolg van de draaiing van de aarde om haar as. Dit gold tot
en met de 16e eeuw. In de Renaissance moest kennis vooral gebaseerd zijn op onderzoek
experiment (en positie kerk verzwakte). In 1530 publiceerde de Poolse sterrenkundige Copernicus
(1473-1543) het heliocentrisch wereldbeeld:
- de zon is het middelpunt van het heelal
- de aarde en de andere planeten draaien in cirkelbanen rond de zon
- de maan draait in een cirkelbaan om de aarde
- de sterren staat op grote afstand van de zon en zijn in rust t.o.v de zon
Dit model gaf een bevredigende verklaring van de planeetbewegingen.
In het zonnestelsel of planetenstelsel liggen alle planeetbanen ongeveer in hetzelfde vlak. Het
baanvlak van Mercurius toont de grooste afwijking; het maakt een hoek van 7o met het baanvlak
van de aarde. Voor ons zonnestelsel geeft het heliocentrisch model weliswaar een redelijke
beschrijving, maar het is inmiddels duidelijk geworden dat de zon niet het middelpunt van het
heelal is. De planeten Mercurius en Venus die dichter bij de aarde staan, heten binnenplaneten.
Deze zie je altijd in de buurt van de zon. Na de aarde komt Mars. Nog verder ligt de
planetoïdengordel die bestaat uit rotsblokken met een diameter variërend van enkele meters tot
enkele tientallen kilometers. De buitenplaneten - Jupiter, Saturnus, Uranus en Neptunus - staan
verder van de zon dan de planetoïden. BINAS 31 en 32C.
Astronomische eenheid AE = 1,49598 x 1011 m.
De gravitatiewet van Newton
Beroemde valwetten Galilei, eind 16e eeuw:
- de vrije vak is een eenparig versnelde rechtlijnige beweging
- de valversnelling g is voor alle voorwerpen op de zelfde plaats op aarde gelijk
De oorzaak van de valbeweging is de zwaartekracht Fz. Volgende de tweede wet van Newton is
het verband tussen Fz en g: Fz = m x g. Newton wilde ook een natuurkundige verklaring vinden
voor de beweging van de maan om de aarde en van de planeten om de zon. Hij dacht dat de
zwaartekracht van de aarde de maan in haar baan hield.
Naarmate de beginsnelheid van dat voorwerk groter is, komt het verder van de berg op de aarde
terecht. Bij een bepaalde snelheid bereikt een voorwerp de grond niet meer, maar volgt deze de
kromming van het aardoppervlak: het beschrijft dan een baan rond de aarde.
Zo valt de maan tijdens het doorlopen van haar baan voortdurend naar de aarde, maar de
snelheid van de maan is precies zo groot dat de gemiddelde afstand aarde-maan gelijk blijft.
In 1684, Newton publiceerde zijn algemene gravitatiewet:
• Twee voorwerpen met massa oefenen een aantrekkende kracht op elkaar uit: de
gravitatiekracht.
• De gravitatiekracht is gericht langs de verbindingslijn tussen de zwaartepunten van de
voorwerpen
De grootte van de gravitatiekracht kun je berekenen met de formule:
Fg = G x (m1 x m2) / r2.
r is de afstand tussen de zwaartepunten van de voorwerpen in m
G is de gravitatieconstante G = 6,67384 x 10-11 N m2 / kg2.
Twee opmerkingen:
- de twee massa’s m1 en m2 trekken elkaar even sterk aan = gravitatiewisselwerking.
- de gravitatiewet geldt voor alle voorwerpen met massa en geldt overal in het heelal.
De zon, planeten en manen mag je beschouwen als bollen. De afstand r in de gravitatiewet is dan
gelijk aan de afstand tussen de middelpunten van die bollen, want het zwaartepunt van een bol
, valt samen met zijn middelpunt. Met zijn algemene gravitatiewet kon Newton de valwetten van
Galilei verklaren:
- Noem de massa van de aarde M en de aardstraal R. De afstand van een voorwerp op het
aardoppervlak tot het middelpunt van de aarde is dan R = 6,371 x 106 m. Op dat voorwerp werkt
dan een gravitatiekracht: Fg = G x (m x M) / R2.
- Op grotere hoogte is g constant. Als we hetzelfde voorwerp op een hoogte h boven het
aardoppervlak plaatsen, is de afstand van dat voorwerp tot het middelpunt van aarde gelijk aan R
+ h. Voor g vindt je dan g = G x (M) / (R + h)2.
Je ziet dat g afneemt op grotere hoogte. 30B. Tot hoogte van 10 km is g constant. Een vrije val in
dat gebied is dus eenparig versneld.
Het gravitatieveld
Een gravitatieveld is een ruimte waarin een gravitatiekracht op een massa werkt. In een
voldoende klein gebied van die ruimte is de gravitatiekracht in grootte en in richting constant. Dan
is het gravitatieveld homogeen.
De massa van de aarde
Als de valversnelling g en de straal R van de aarde gegeven is, kun je de massa M van de aarde
berekenen. Dan moet je wel weten hoe groot G is.
De valversnelling bij planeten
De valversnelling op het aardoppervlak kun je berekenen met de formule g = G x (m/R2). De
valversnelling heeft op verschillende plaatsen op aarde een andere waarde. Op de noordpool is
de zwaartekracht groter dan op de evenaar. Er zijn twee verklaringen:
- de draaiing van de aarde. Een voorwerp op de evenaar voert een eenparige cirkelbeweging uit
met een omlooptijd van 24 h en een baanstraal die gelijk is aan R. Een deel van de zwaartekracht
levert dan de vereiste middelpunt zoekende kracht. Hierdoor ervaar je op de evenaar een
schijnbaar kleiner zwaartekracht en dus ook een kleinere g. Op de polen speelt dit niet, want een
voorwerp bevindt zich daar precies op de aardas en voert geen cirkelbeweging uit.
- de afplatting van de aarde: de straal is op de polen kleiner. Op de polen is g dus groter.
§8.2 Banen in gravitatieveld
Planeetbanen
Een planeet bewoog voor de zon langs —> 3 weten van Kepler:
1. Planeetbanen zijn ellipsen. Een ellips heeft twee brandpunten F1 en F2 en de zon staat in één
van die twee brandpunten. Op een ellips is de som van de afstanden PF1 + PF2 voor alle
afstanden P gelijk. De halve lange as a en de halve korte as b zijn bepalend voor de vorm van
de ellips. Het punt waar de planeet zich het dichtst bij de zon bevind heet het perihelium en het
punt waar de planeet zich het verst van de zon bevindt heet het aphelium.
2. De baansnelheid van een planeet is niet constant. Max in perihelium, min in aphelium.
3. Planeten die verder van de zon staan, hebben een grotere omlooptijd T. Kepler ontdekte dat a3
en T2 recht evenredig zijn, waarbij a de halve lange as is.
Wetten slechts gebaseerd op waarnemingen. Newton —> natuurkundig en wiskundige verklaring
met algemene gravitatiewet.
Planeetbanen benaderd door cirkelvormige banen
§8.1 Gravitatie
Het zonnestelsel
Voor de Oude Grieken gold het geocentrisch wereldbeeld: de aarde was het middelpunt van het
heelal. De waargenomen beweging van de zon en de sterren rond de aarde is echter een
schijnbare beweging, want ze is het gevolg van de draaiing van de aarde om haar as. Dit gold tot
en met de 16e eeuw. In de Renaissance moest kennis vooral gebaseerd zijn op onderzoek
experiment (en positie kerk verzwakte). In 1530 publiceerde de Poolse sterrenkundige Copernicus
(1473-1543) het heliocentrisch wereldbeeld:
- de zon is het middelpunt van het heelal
- de aarde en de andere planeten draaien in cirkelbanen rond de zon
- de maan draait in een cirkelbaan om de aarde
- de sterren staat op grote afstand van de zon en zijn in rust t.o.v de zon
Dit model gaf een bevredigende verklaring van de planeetbewegingen.
In het zonnestelsel of planetenstelsel liggen alle planeetbanen ongeveer in hetzelfde vlak. Het
baanvlak van Mercurius toont de grooste afwijking; het maakt een hoek van 7o met het baanvlak
van de aarde. Voor ons zonnestelsel geeft het heliocentrisch model weliswaar een redelijke
beschrijving, maar het is inmiddels duidelijk geworden dat de zon niet het middelpunt van het
heelal is. De planeten Mercurius en Venus die dichter bij de aarde staan, heten binnenplaneten.
Deze zie je altijd in de buurt van de zon. Na de aarde komt Mars. Nog verder ligt de
planetoïdengordel die bestaat uit rotsblokken met een diameter variërend van enkele meters tot
enkele tientallen kilometers. De buitenplaneten - Jupiter, Saturnus, Uranus en Neptunus - staan
verder van de zon dan de planetoïden. BINAS 31 en 32C.
Astronomische eenheid AE = 1,49598 x 1011 m.
De gravitatiewet van Newton
Beroemde valwetten Galilei, eind 16e eeuw:
- de vrije vak is een eenparig versnelde rechtlijnige beweging
- de valversnelling g is voor alle voorwerpen op de zelfde plaats op aarde gelijk
De oorzaak van de valbeweging is de zwaartekracht Fz. Volgende de tweede wet van Newton is
het verband tussen Fz en g: Fz = m x g. Newton wilde ook een natuurkundige verklaring vinden
voor de beweging van de maan om de aarde en van de planeten om de zon. Hij dacht dat de
zwaartekracht van de aarde de maan in haar baan hield.
Naarmate de beginsnelheid van dat voorwerk groter is, komt het verder van de berg op de aarde
terecht. Bij een bepaalde snelheid bereikt een voorwerp de grond niet meer, maar volgt deze de
kromming van het aardoppervlak: het beschrijft dan een baan rond de aarde.
Zo valt de maan tijdens het doorlopen van haar baan voortdurend naar de aarde, maar de
snelheid van de maan is precies zo groot dat de gemiddelde afstand aarde-maan gelijk blijft.
In 1684, Newton publiceerde zijn algemene gravitatiewet:
• Twee voorwerpen met massa oefenen een aantrekkende kracht op elkaar uit: de
gravitatiekracht.
• De gravitatiekracht is gericht langs de verbindingslijn tussen de zwaartepunten van de
voorwerpen
De grootte van de gravitatiekracht kun je berekenen met de formule:
Fg = G x (m1 x m2) / r2.
r is de afstand tussen de zwaartepunten van de voorwerpen in m
G is de gravitatieconstante G = 6,67384 x 10-11 N m2 / kg2.
Twee opmerkingen:
- de twee massa’s m1 en m2 trekken elkaar even sterk aan = gravitatiewisselwerking.
- de gravitatiewet geldt voor alle voorwerpen met massa en geldt overal in het heelal.
De zon, planeten en manen mag je beschouwen als bollen. De afstand r in de gravitatiewet is dan
gelijk aan de afstand tussen de middelpunten van die bollen, want het zwaartepunt van een bol
, valt samen met zijn middelpunt. Met zijn algemene gravitatiewet kon Newton de valwetten van
Galilei verklaren:
- Noem de massa van de aarde M en de aardstraal R. De afstand van een voorwerp op het
aardoppervlak tot het middelpunt van de aarde is dan R = 6,371 x 106 m. Op dat voorwerp werkt
dan een gravitatiekracht: Fg = G x (m x M) / R2.
- Op grotere hoogte is g constant. Als we hetzelfde voorwerp op een hoogte h boven het
aardoppervlak plaatsen, is de afstand van dat voorwerp tot het middelpunt van aarde gelijk aan R
+ h. Voor g vindt je dan g = G x (M) / (R + h)2.
Je ziet dat g afneemt op grotere hoogte. 30B. Tot hoogte van 10 km is g constant. Een vrije val in
dat gebied is dus eenparig versneld.
Het gravitatieveld
Een gravitatieveld is een ruimte waarin een gravitatiekracht op een massa werkt. In een
voldoende klein gebied van die ruimte is de gravitatiekracht in grootte en in richting constant. Dan
is het gravitatieveld homogeen.
De massa van de aarde
Als de valversnelling g en de straal R van de aarde gegeven is, kun je de massa M van de aarde
berekenen. Dan moet je wel weten hoe groot G is.
De valversnelling bij planeten
De valversnelling op het aardoppervlak kun je berekenen met de formule g = G x (m/R2). De
valversnelling heeft op verschillende plaatsen op aarde een andere waarde. Op de noordpool is
de zwaartekracht groter dan op de evenaar. Er zijn twee verklaringen:
- de draaiing van de aarde. Een voorwerp op de evenaar voert een eenparige cirkelbeweging uit
met een omlooptijd van 24 h en een baanstraal die gelijk is aan R. Een deel van de zwaartekracht
levert dan de vereiste middelpunt zoekende kracht. Hierdoor ervaar je op de evenaar een
schijnbaar kleiner zwaartekracht en dus ook een kleinere g. Op de polen speelt dit niet, want een
voorwerp bevindt zich daar precies op de aardas en voert geen cirkelbeweging uit.
- de afplatting van de aarde: de straal is op de polen kleiner. Op de polen is g dus groter.
§8.2 Banen in gravitatieveld
Planeetbanen
Een planeet bewoog voor de zon langs —> 3 weten van Kepler:
1. Planeetbanen zijn ellipsen. Een ellips heeft twee brandpunten F1 en F2 en de zon staat in één
van die twee brandpunten. Op een ellips is de som van de afstanden PF1 + PF2 voor alle
afstanden P gelijk. De halve lange as a en de halve korte as b zijn bepalend voor de vorm van
de ellips. Het punt waar de planeet zich het dichtst bij de zon bevind heet het perihelium en het
punt waar de planeet zich het verst van de zon bevindt heet het aphelium.
2. De baansnelheid van een planeet is niet constant. Max in perihelium, min in aphelium.
3. Planeten die verder van de zon staan, hebben een grotere omlooptijd T. Kepler ontdekte dat a3
en T2 recht evenredig zijn, waarbij a de halve lange as is.
Wetten slechts gebaseerd op waarnemingen. Newton —> natuurkundig en wiskundige verklaring
met algemene gravitatiewet.
Planeetbanen benaderd door cirkelvormige banen
