samenvatting wiskunde

Hoofdstuk 3: Vergelijkingen
3.2. Lineaire vergelijking
 Lineaire vergelijking:
=vergelijking waarbij de onbekende voorkomt in de eerste graad
 Vorm: ax + b = 0
−b
 Één oplossing: x 1=
a
 Algemene regels:
 Zowel bij linker als rechterlid mag het zelfde getal worden
opgeteld/afgetrokken worden
 Zowel bij linkerlid als rechterlid mag met hetzelfde getal worden
vermenigvuldigd of door hetzelfde getal gedeeld, uitgezonderd 0!
 Het getal wijzigt van teken bij wisselen van lid bij optelling of
aftrekking en de bewerking verandert bij vermenigvuldiging en
deling
 Indien het antwoord strijdig is voor elke 𝑥∈ℝ, dan wordt de
oplossingsverzameling gezien als ledig en genoteerd als volgt: 𝑉=∅
 indien het antwoord geldig is voor elke 𝑥∈ℝ, dan wordt de
oplossingsverzameling genoteerd als volgt: 𝑉=ℝ




3.3. De vierkantsvergelijking of kwadratische
vergelijking
 vierkantsvergelijking/ kwadratische vergelijking:
=vergelijking waarbij de term met de hoogste graad van de tweede graad
is
 vorm: ax² + bx + c = 0
 discriminant: D = b² - 4ac

Discriminant # oplossingen Oplossing(en)
D>0 2 oplossingen −b+ √ D
V={ ,
2a
−b−√ D
}
2a

D=0 1 dubbele oplossing −b
V={ }
2a

D<0 Geen oplossingen V=∅

 basisregel:
 √ x 2 = |x|
x kan dus zowel positief als negatief zijn

,  Som- en product regel:
 D > 0 en x 1 ≠ x 2
−b
 Som: = x 1+ x2
a
c
 Product: = x 1∗x 2
a

 Ontbinden in factoren:

ax² + bx + c (x + x 1 ¿ (x + x 2 ¿
ax² - bx - c of ax² + bx (x - x 1 ¿ (x + x 2 ¿
-c
ax² - bx + c (x - x 1 ¿ (x - x 2 ¿

 Merkwaardige producten:

(a + b)² a² + 2ab + b²
(a – b)² a² - 2ab + b²
(a + b)² (a – b)² a² - b²
(a + b)³ a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(a – b)³ a³ - 3a²b + 3ab² - b³
(a + b)(a² - 2ab + a³ + b³
b²)
(a – b)(a² + 2ab – a³ - b³
b²)
(a + b + c)² a² + b² + c² + 2ab +
2bc + 2ac




3.4. Bikwadratische vergelijking
 Bikwadratische vergelijking:
 Vorm: a x 4 +b x 2 +c of a x 6 +b x 3+ c
 Herleiden tot vierkantsvergelijking door substitutie: t = x²



3.5. Hogere-graadsvergelijkingen:
 Hogere-graadsvergelijking:
 Vorm V(x) = 0 met V(x) veelterm van graad 3 of hoger
 Linkerlid ontbinden in factoren
 Regel van Horner:
 Verkorte wijze van euclidische staartdeling
 Algemene methode: mogelijkst restterm
 Volgens criterium deelbaarheid: geen restterm
 Functie van hogere graad: T(x)
 Deler: N(x) = x – a
 Quotiënt veelterm: Q(x)
 Restterm: R(x)

,  Noteren: T(x) = (x – a) * Q(x) + R(x)
 Indien restterm nul is, is a een nulpunt van de functie




3.6. Rationale vergelijkingen
 Rationale vergelijking:
T 1 (x ) T 2 ( x )
 Vorm: =
N 1 (x) N 2 ( x)
 Bestaansvoorwaarde: N 2 ( x ) ≠ 0
 Wegwerken noemers zodaning dat we hogere-graadsvergelijking
bekomen




3.7. Irrationale vergelijkingen
 Irrationale vergelijking:
=vergelijking waarbij de onbekende onder een wortelteken staat
 Wegwerken door bede leden tot een bepaalde macht te verheffen
 Bij evenmachtswortel: bestaansvoorwaarde dat alles onder te wortel
groter dan of gelijk aan 0 moet zijn
 √ n n
a=B { A=B als n oneven en A=B n en A ≥ 0 als n even
 Soms kwadrateringsvoorwaarde: alles wat gelijk is aan een
vierkantswortel moet positief zijn




3.8. Eigenschappen ongelijkheden in één
onbekende
 Eigenschap 1:
=worden beide leden van een ongelijkheid met eenzelfde positief getal
vermenigvuldigd of gedeeld wordt een ongelijkheid in de zelfde zin
bekomen
 Eigenschap 2:
=worden beide leden van ongelijkheid met eenzelfde negatief getal
vermenigvuldigd wordt een ongelijkheid in tegengestelde zin bekomen
 Eigenschap 3:
=wordt in beide leden van een ongelijkheid eenzelfde getal opgeteld of
afgetrokken, dan wordt een ongelijkheid in zelfde zin bekomen
 Bijzondere gevallen: