I Lineare Gleichungssysteme
Ein LGS ist ein System aus zwei oder mehreren Gleichungen (kein Quadrat „x 2 ", kein „hoch 3",…).
Die Lösung eines LGS mit n Variablen, die man n-Tupel (Zahlenpaar, Zahlentripel,…) nennt, muss alle Gleichungen des
LGS erfüllen.
Lösungsverfahren:
1 Gleichsetzungs- und 2 Zeichnerisches Verfahren 3 Additionsverfahren
Einsetungsverfahren Beispiel: Die einzelnen Gleichungen
Beispiel: (I)4x + 2y
=
21 -
4x dürfen als Gesamtes addiert
2y =
2 -
441 :
2
werden, um eine Variable zu
(I)4x 2y 2
=
+
2x +1
y
= -
(I) X -
2y = -
2 eliminieren.
(I)4x +
2y
=
2 (I)X
-
2y = -
21 x
Beispiel:
-
(1)ax = -
2 + 24
-
2y
= -
x
-
2) : ( -
2)
(I)4x 2y 2
=
+
y
=
Ex + 1
(I) a in (1) :
(I) X -
2y = -
2
( 2y) 2y 2
=
.
4 -
2 + +
(I) + (I)5x + 0 =
0
y 1
E(0 : 1)3
=
4 =
X =
0
1y
y
= 1 in (1) a in (1) :
X
=
2 + 2 1 0 (II) 0 2y
- -
= =
2
- -
44 =
E(0 1)3 : y
=
1
-
1
4 =
E(0 : 1)3
-
(I)
Stufenform:
Ist ein LGS in Stufenform, so lässt sich durch Rückwärtseinsetzen die Lösung bestimmen.
Beispiel:
Problem:
Exe
+
2xa-X-
Die meisten LGS sind nicht in Stufenform
x2 +
3xz =
0
(II) 2x
z
=
2 Losung: Das Gauß-Verfahren (bei 3 Gleichungen mit 3 Variablen)
.
#
Xz
=
1 1 Die erste Gleichung bleibt unverändert, wenn sie x 1 enthält
in II :
3 0
2 Eliminieren von x1 in der 2. und 3. Gleichung durch Äquivalenzumformungen
x2 + =
X2
= -
3 3 Mithilfe der 2. Gleichung wird in der 3. Gleichung x2 eliminiert
in I :
4 Rückwärtseinsetzen
Xy -
b -
1 = -
1
6
x,
=
Beispiel:
44 E(6i 3 1)}
=
:
-
Rückwärtseinsetzen:
S
+
7X2
-
Xz
=
5 1 .
4 1 .
5-
addieren
-> Stufenform -
addieren in II :
& 27x2 -
6 =
21
1
X2
=
I X1 +
7x2 5 in I :
xz
- -
=
X1 7 5
-
-
+ -
2
=
27X2 3xz - =
21 1 .
32
subtrahieren Xy
= 0
32x2 4X3 24 1 27
- =
.
↳ X =
&(0 : 1 : 2)3
27x2 21
=
3xz
-
=
24
12xz
Xz =
2
Ein LGS ist ein System aus zwei oder mehreren Gleichungen (kein Quadrat „x 2 ", kein „hoch 3",…).
Die Lösung eines LGS mit n Variablen, die man n-Tupel (Zahlenpaar, Zahlentripel,…) nennt, muss alle Gleichungen des
LGS erfüllen.
Lösungsverfahren:
1 Gleichsetzungs- und 2 Zeichnerisches Verfahren 3 Additionsverfahren
Einsetungsverfahren Beispiel: Die einzelnen Gleichungen
Beispiel: (I)4x + 2y
=
21 -
4x dürfen als Gesamtes addiert
2y =
2 -
441 :
2
werden, um eine Variable zu
(I)4x 2y 2
=
+
2x +1
y
= -
(I) X -
2y = -
2 eliminieren.
(I)4x +
2y
=
2 (I)X
-
2y = -
21 x
Beispiel:
-
(1)ax = -
2 + 24
-
2y
= -
x
-
2) : ( -
2)
(I)4x 2y 2
=
+
y
=
Ex + 1
(I) a in (1) :
(I) X -
2y = -
2
( 2y) 2y 2
=
.
4 -
2 + +
(I) + (I)5x + 0 =
0
y 1
E(0 : 1)3
=
4 =
X =
0
1y
y
= 1 in (1) a in (1) :
X
=
2 + 2 1 0 (II) 0 2y
- -
= =
2
- -
44 =
E(0 1)3 : y
=
1
-
1
4 =
E(0 : 1)3
-
(I)
Stufenform:
Ist ein LGS in Stufenform, so lässt sich durch Rückwärtseinsetzen die Lösung bestimmen.
Beispiel:
Problem:
Exe
+
2xa-X-
Die meisten LGS sind nicht in Stufenform
x2 +
3xz =
0
(II) 2x
z
=
2 Losung: Das Gauß-Verfahren (bei 3 Gleichungen mit 3 Variablen)
.
#
Xz
=
1 1 Die erste Gleichung bleibt unverändert, wenn sie x 1 enthält
in II :
3 0
2 Eliminieren von x1 in der 2. und 3. Gleichung durch Äquivalenzumformungen
x2 + =
X2
= -
3 3 Mithilfe der 2. Gleichung wird in der 3. Gleichung x2 eliminiert
in I :
4 Rückwärtseinsetzen
Xy -
b -
1 = -
1
6
x,
=
Beispiel:
44 E(6i 3 1)}
=
:
-
Rückwärtseinsetzen:
S
+
7X2
-
Xz
=
5 1 .
4 1 .
5-
addieren
-> Stufenform -
addieren in II :
& 27x2 -
6 =
21
1
X2
=
I X1 +
7x2 5 in I :
xz
- -
=
X1 7 5
-
-
+ -
2
=
27X2 3xz - =
21 1 .
32
subtrahieren Xy
= 0
32x2 4X3 24 1 27
- =
.
↳ X =
&(0 : 1 : 2)3
27x2 21
=
3xz
-
=
24
12xz
Xz =
2
