Samenvatting MTBII
Leerdoelen
,Hoorcollege 1 (01-11-2024)
T-toetsen en ANOVA
T-toetsen
T-toetsen gebruiken we als we een associa7e willen toetsen waarbij:
- De uitkomst kwan7ta7ef is
- De determinant dichotoom is: 2 groepen
We toetsen hierbij of twee groepen verschillen op een kwan7ta7eve uitkomst.
- Gemiddelde van steekproef, 𝑥̅ , staat model voor popula7eparameter 𝜇
- Standaardafwijking, 𝑠𝑑, staat model voor popula7eparameter 𝜎
- Gemiddelde(n) moet(en) kunnen worden beschouwd als trekking uit een Normale
verdeling
Belangrijke conceptuele gedacht:
- De waarden van 𝑥̅ en 𝑠𝑑 zijn onderling ona.ankelijk van elkaar
- Heb je 𝑥̅ berekend, dan zegt dit dus nog niets over de waarde van 𝑠𝑑
- Vanwege deze dubbele onzekerheid maken we gebruik van de t-verdeling
o Aantal vrijheidsgraden bepaalt in hoeverre t-verdeling lijkt op een z-verdeling
Normale verdelingen
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Hierbij onderscheiden we 3 typen t-toetsen
1. T-toets voor onaMankelijke steekproeven
2. Paired (dependent) samples t-test = Gepaarde t-toets
3. One-sample t-test
Bij t-toetsen wordt gebruik gemaakt van de Student’s t-verdeling
Van z-verdeling naar t-verdeling
Z-verdeling
è Z-verdeling: standaard normale verdeling
- Kunnen we gebruiken als gemiddelde (μ) en varian7e (σ2) van de popula7e bekend
zijn.
- Bij een grote steekproef: varian7e (s2) van de steekproef benadert varian7e van de
popula7e (σ2).
o Volgens de Centrale Limietstelling (CLS)
Student’s T-verdeling
- Houdt rekening met onzekerheid in varian7e bij kleine steekproef.
,T-verdeling
è Volgt de bell-curve en is symmetrisch aan beide kanten, maar heeY langere/dikkere
kanten en een lagere top.
è Hoe groter de steekproef, hoe meer de t-verdeling een normale verdeling volgt en hoe
dichter de waarde bij die van de z-verdeling komen. In theorie zou je dan de z-verdeling
kunnen gebruiken. Maar to be sure alsnog t-verdeling gebruiken.
- T-verdeling en normale verdeling lijken op elkaar è standaardiseren om verschil
tussen uitkomst en verwach7ng uit te drukken in aantal standaardafwijkingen
o Vergelijk:
o T-verdeling is onzeker –> t-verdeling kent meer spreiding dan de z-verdeling
§ Dit is de ‘straf’ voor de onzekerheid over 𝜎
• Houdt er rekening dat de verdeling niet helemaal klopt
è Om te weten wat de steekproef over de popula7e zegt, is het gebruik van de t-verdeling
vereist è om erachter te komen of de sd in de steekproef lijkt op de sd in de popula7e.
Vrijheidsgraden è df (degrees of freedom) en soms weergeven als ‘k’
è De vorm van de t-verdeling wordt bepaald door het aantal vrijheidsgraden.
è Het aantal stukjes informa7e dat nodig is alle relevante informa7e te kunnen
reconstrueren
è Het aantal waarden in een steekproef dat vrij en onaMankelijk mag variëren. Je moet het
aantal vrijheidsgraden meten om de kri7eke t-waarde waartegen we toetsen op te zoeken.
- Kri7eke waarde: minimale t-waarde om H0 te mogen verwerpen
Formule: df = n – 1
- P-waarde zoeken bij de t-verdeling, met behulp van tabel A3 (soort gelijk als p-waarde
zoeken bij de z-verdeling)
o Kijken welke vrijheidsgraden het dichts bij het getal ligt in de tabel, want er is
niet voor elk aantal vrijheidsgraden een regel.
è Hoe kleiner het aantal vrijheidsgraden, hoe dikker de staarten in het figuur.
T-toets voor ona5ankelijke steekproeven è Independent t-toets (assump7es (aannames) )
- Kwan7ta7eve uitkomst (bijv. bloeddruk)
- Dichotome determinant (bijv. interven7e vs. controle)
è De me7ngen in de ene groep zijn onaMankelijk voor de me7ngen in de andere groep.
è Vergelijk twee groepen met elkaar
‘Is het gevonden verschil tussen de gemiddelden van twee groepen in onze steekproef toe te
schrijven aan kans, of bestaat dit verschil waarschijnlijk ook in de popula7e?’
, Assump7es:
- Twee onaMankelijke steekproeven/groepen (bijv. ziek en niet-ziek)
- Varian7es van de twee steekproeven moeten in de popula7e gelijk zijn (bijv. spreiding
in controle en interven7e moet gelijk zijn)
o In SPSS automa7sch Levene’s test om deze assump7e te toetsen
o Wordt er niet voldaan aan de assump7e? Dan ‘aanpassing van Welch’ è dit
laten we SPSS voor ons doen
Voorwaarden aan t-toets
1. Eenheden zijn binnen de twee groepen onderling ona.ankelijk
2. Het gemiddelde van beide groepen is Normaal verdeeld (CLS)
3. Voor de ‘pooled variance t-test’: beide groepen zijn getrokken uit popula7es met
iden7eke spreiding (bestaat wel een oplossing als dit niet het geval is)
4. Wanneer we een 2-steekproef t-toets op verschilscores doen, dan zijn de
verschilscores ona.ankelijk van de meetwaarde op 𝑡 = 0 (analoog gepaarde t-toets)
Toetsingsstructuur
- H0 : de verandering in temperatuur na inspanning is voor topsporters
en recreanten hetzelfde, ofwel: 𝛥 ! = 𝛥"
- Ha : de verandering in temperatuur na inspanning is voor topsporters
en recreanten niet hetzelfde, ofwel: 𝛥 ! ≠ 𝛥"
Check de aannames
1. Eenheden binnen de groep onaMankelijk
2. Kan voor beide groepen 𝑑̅ als trekking uit een Normale verdeling worden
beschouwd?
o Bekijk histogram of Q-Q-plot
3. Beide groepen hebben dezelfde spreiding
o Bepaal varian7es en vergelijk
o Er bestaan twee varianten van de 2-steekproef t-toets
§ Toets voor homogene varian7es – aanname is dat de bemonsterde
popula7es exact dezelfde spreiding hebben
§ Toets voor heterogene varian7es – geen uitgangspunt
• Homogene toets is iets sterker, maar resultaten van beide
varianten verschillen weinig als de steekproefvarian7es weinig
verschillen
4. De verschilscores zijn in beide groepen onaMankelijk van de waarde op t = 0
Levene’s test: om te kijken of de varian7e in beide groepen gelijk is (vergelijke varian7es)
- H0: varian7e is gelijk (niet significant)
o Naar de bovenste rij kijken
- H1: varian7e is niet gelijk (wel significant)
o Naar de onderste rij kijken, om te interpreteren voor de t-test
T-waarde bij independent samples t-test
($̅! &$̅ " )&((! &(" )#
𝑡= )*$
% ! &$
%"
De berekening van 𝑆𝐸 $! &$" (è x moet een x met een streepje erboven zijn (𝑥̄ )) is aMankelijk
van of de varian7es in de twee steekproeven gelijk zijn of niet.
Leerdoelen
,Hoorcollege 1 (01-11-2024)
T-toetsen en ANOVA
T-toetsen
T-toetsen gebruiken we als we een associa7e willen toetsen waarbij:
- De uitkomst kwan7ta7ef is
- De determinant dichotoom is: 2 groepen
We toetsen hierbij of twee groepen verschillen op een kwan7ta7eve uitkomst.
- Gemiddelde van steekproef, 𝑥̅ , staat model voor popula7eparameter 𝜇
- Standaardafwijking, 𝑠𝑑, staat model voor popula7eparameter 𝜎
- Gemiddelde(n) moet(en) kunnen worden beschouwd als trekking uit een Normale
verdeling
Belangrijke conceptuele gedacht:
- De waarden van 𝑥̅ en 𝑠𝑑 zijn onderling ona.ankelijk van elkaar
- Heb je 𝑥̅ berekend, dan zegt dit dus nog niets over de waarde van 𝑠𝑑
- Vanwege deze dubbele onzekerheid maken we gebruik van de t-verdeling
o Aantal vrijheidsgraden bepaalt in hoeverre t-verdeling lijkt op een z-verdeling
Normale verdelingen
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Hierbij onderscheiden we 3 typen t-toetsen
1. T-toets voor onaMankelijke steekproeven
2. Paired (dependent) samples t-test = Gepaarde t-toets
3. One-sample t-test
Bij t-toetsen wordt gebruik gemaakt van de Student’s t-verdeling
Van z-verdeling naar t-verdeling
Z-verdeling
è Z-verdeling: standaard normale verdeling
- Kunnen we gebruiken als gemiddelde (μ) en varian7e (σ2) van de popula7e bekend
zijn.
- Bij een grote steekproef: varian7e (s2) van de steekproef benadert varian7e van de
popula7e (σ2).
o Volgens de Centrale Limietstelling (CLS)
Student’s T-verdeling
- Houdt rekening met onzekerheid in varian7e bij kleine steekproef.
,T-verdeling
è Volgt de bell-curve en is symmetrisch aan beide kanten, maar heeY langere/dikkere
kanten en een lagere top.
è Hoe groter de steekproef, hoe meer de t-verdeling een normale verdeling volgt en hoe
dichter de waarde bij die van de z-verdeling komen. In theorie zou je dan de z-verdeling
kunnen gebruiken. Maar to be sure alsnog t-verdeling gebruiken.
- T-verdeling en normale verdeling lijken op elkaar è standaardiseren om verschil
tussen uitkomst en verwach7ng uit te drukken in aantal standaardafwijkingen
o Vergelijk:
o T-verdeling is onzeker –> t-verdeling kent meer spreiding dan de z-verdeling
§ Dit is de ‘straf’ voor de onzekerheid over 𝜎
• Houdt er rekening dat de verdeling niet helemaal klopt
è Om te weten wat de steekproef over de popula7e zegt, is het gebruik van de t-verdeling
vereist è om erachter te komen of de sd in de steekproef lijkt op de sd in de popula7e.
Vrijheidsgraden è df (degrees of freedom) en soms weergeven als ‘k’
è De vorm van de t-verdeling wordt bepaald door het aantal vrijheidsgraden.
è Het aantal stukjes informa7e dat nodig is alle relevante informa7e te kunnen
reconstrueren
è Het aantal waarden in een steekproef dat vrij en onaMankelijk mag variëren. Je moet het
aantal vrijheidsgraden meten om de kri7eke t-waarde waartegen we toetsen op te zoeken.
- Kri7eke waarde: minimale t-waarde om H0 te mogen verwerpen
Formule: df = n – 1
- P-waarde zoeken bij de t-verdeling, met behulp van tabel A3 (soort gelijk als p-waarde
zoeken bij de z-verdeling)
o Kijken welke vrijheidsgraden het dichts bij het getal ligt in de tabel, want er is
niet voor elk aantal vrijheidsgraden een regel.
è Hoe kleiner het aantal vrijheidsgraden, hoe dikker de staarten in het figuur.
T-toets voor ona5ankelijke steekproeven è Independent t-toets (assump7es (aannames) )
- Kwan7ta7eve uitkomst (bijv. bloeddruk)
- Dichotome determinant (bijv. interven7e vs. controle)
è De me7ngen in de ene groep zijn onaMankelijk voor de me7ngen in de andere groep.
è Vergelijk twee groepen met elkaar
‘Is het gevonden verschil tussen de gemiddelden van twee groepen in onze steekproef toe te
schrijven aan kans, of bestaat dit verschil waarschijnlijk ook in de popula7e?’
, Assump7es:
- Twee onaMankelijke steekproeven/groepen (bijv. ziek en niet-ziek)
- Varian7es van de twee steekproeven moeten in de popula7e gelijk zijn (bijv. spreiding
in controle en interven7e moet gelijk zijn)
o In SPSS automa7sch Levene’s test om deze assump7e te toetsen
o Wordt er niet voldaan aan de assump7e? Dan ‘aanpassing van Welch’ è dit
laten we SPSS voor ons doen
Voorwaarden aan t-toets
1. Eenheden zijn binnen de twee groepen onderling ona.ankelijk
2. Het gemiddelde van beide groepen is Normaal verdeeld (CLS)
3. Voor de ‘pooled variance t-test’: beide groepen zijn getrokken uit popula7es met
iden7eke spreiding (bestaat wel een oplossing als dit niet het geval is)
4. Wanneer we een 2-steekproef t-toets op verschilscores doen, dan zijn de
verschilscores ona.ankelijk van de meetwaarde op 𝑡 = 0 (analoog gepaarde t-toets)
Toetsingsstructuur
- H0 : de verandering in temperatuur na inspanning is voor topsporters
en recreanten hetzelfde, ofwel: 𝛥 ! = 𝛥"
- Ha : de verandering in temperatuur na inspanning is voor topsporters
en recreanten niet hetzelfde, ofwel: 𝛥 ! ≠ 𝛥"
Check de aannames
1. Eenheden binnen de groep onaMankelijk
2. Kan voor beide groepen 𝑑̅ als trekking uit een Normale verdeling worden
beschouwd?
o Bekijk histogram of Q-Q-plot
3. Beide groepen hebben dezelfde spreiding
o Bepaal varian7es en vergelijk
o Er bestaan twee varianten van de 2-steekproef t-toets
§ Toets voor homogene varian7es – aanname is dat de bemonsterde
popula7es exact dezelfde spreiding hebben
§ Toets voor heterogene varian7es – geen uitgangspunt
• Homogene toets is iets sterker, maar resultaten van beide
varianten verschillen weinig als de steekproefvarian7es weinig
verschillen
4. De verschilscores zijn in beide groepen onaMankelijk van de waarde op t = 0
Levene’s test: om te kijken of de varian7e in beide groepen gelijk is (vergelijke varian7es)
- H0: varian7e is gelijk (niet significant)
o Naar de bovenste rij kijken
- H1: varian7e is niet gelijk (wel significant)
o Naar de onderste rij kijken, om te interpreteren voor de t-test
T-waarde bij independent samples t-test
($̅! &$̅ " )&((! &(" )#
𝑡= )*$
% ! &$
%"
De berekening van 𝑆𝐸 $! &$" (è x moet een x met een streepje erboven zijn (𝑥̄ )) is aMankelijk
van of de varian7es in de twee steekproeven gelijk zijn of niet.
