Samenvatting Lineaire Algebra tentamen
Dimensie v/d matrix = aantal vectoren in de basis / aantal rijen
Oplossen:
Zet vectoren in matrix
Reduceer de matrix naar het aantal niet nul rijen
Weet de basis v/d matrix uit en kijk uit hoeveel vectoren de basis bestaat
Rang v/d matrix = aantal spilelementen in gereduceerde matrix bepalen met
pivot
Oplossen:
Reduceer de matrix naar echelonvorm
Kijk naar het aantal spilelementen v/d kolommen
Een n×n-matrix is inverteerbaar als rang(A) = n
Lineaire Transformatie: T : R n → R m is een lineaire transformatie als:
1. T ( u+ v )=T ( u ) +T ( v )
2. T ( cu )=cT ( u )
Oplossen:
Vul V = ( v 1 , v 2 , … , v n) en U =( u1 ,u 2 , … , un ) in
Beide eigenschappen uittesten
Voldoet? = lineaire combinatie. Anders niet
Standaard matrix representatie van lineaire transformatie: A =
[ ]
¿ ¿ ¿
T ( e 1 ) T ( e 2) T ( e3 )
¿ ¿ ¿
Oplossen:
Als T ( e1 ), T ( e2 ) , ... gegeven zijn -> in formule zetten
T ( e 1 )=T ( 1,0,0,0 ) = Alle x 1 v/d transformatie
T ( e 2 )=T ( 0,1,0,0 ) = Alle x 2 v/d transformatie
Rotatie door θ tegen wijzerzin:
[ cosθ
sinθ
−sinθ
cosθ ]
Oplossen:
Matrix opschrijven
Waarden invullen bij cos ( x ) en sin ( x )
, Uitrekenen
Oppervlakte parallellogram/driehoek
1 ⃗
A= || b × c⃗||
2
Oplossen:
Langste vector nooit gebruiken
Kies een oorsprong vector (0)
Bepaal a⃗ en b⃗ door a⃗ =0−⃗ ⃗
v 2, b=0−⃗
v3
b x c = det, dit met eerste rij i^ , ^j, k^ .
Bepaal vector uit de determinant ( V d )
|⃗
Vd|
Volume parallellepipedum/blok
V = √det ( A T A )
Oplossen:
Maak van vectoren een matrix (A)
Bepaal det ( A )
Zeg de eigenschap det ( A ) =det ( AT )
Doe det ( A ) ⋅ det ( AT ) en neem de wortel
Determinanten van n × n matrices bepalen
Oplossen:
2x2-matrix ad−bc
3x3-matrix = a(...) – b(...) + c(...)
Grotere matrices:
o Herleid steeds alles behalve zodat er maar 1 spil staat (rijtrapvorm
met boven A matrix)
o Bij wisselen van rijen komt er een (-) voor de det.
o Rijen delen door een getal (x) = (x) det.
o Vermenigvuldig wat voor de det. staat met alle spilelementen
o Dit is de determinant
Inverse van matrices bepalen
Dimensie v/d matrix = aantal vectoren in de basis / aantal rijen
Oplossen:
Zet vectoren in matrix
Reduceer de matrix naar het aantal niet nul rijen
Weet de basis v/d matrix uit en kijk uit hoeveel vectoren de basis bestaat
Rang v/d matrix = aantal spilelementen in gereduceerde matrix bepalen met
pivot
Oplossen:
Reduceer de matrix naar echelonvorm
Kijk naar het aantal spilelementen v/d kolommen
Een n×n-matrix is inverteerbaar als rang(A) = n
Lineaire Transformatie: T : R n → R m is een lineaire transformatie als:
1. T ( u+ v )=T ( u ) +T ( v )
2. T ( cu )=cT ( u )
Oplossen:
Vul V = ( v 1 , v 2 , … , v n) en U =( u1 ,u 2 , … , un ) in
Beide eigenschappen uittesten
Voldoet? = lineaire combinatie. Anders niet
Standaard matrix representatie van lineaire transformatie: A =
[ ]
¿ ¿ ¿
T ( e 1 ) T ( e 2) T ( e3 )
¿ ¿ ¿
Oplossen:
Als T ( e1 ), T ( e2 ) , ... gegeven zijn -> in formule zetten
T ( e 1 )=T ( 1,0,0,0 ) = Alle x 1 v/d transformatie
T ( e 2 )=T ( 0,1,0,0 ) = Alle x 2 v/d transformatie
Rotatie door θ tegen wijzerzin:
[ cosθ
sinθ
−sinθ
cosθ ]
Oplossen:
Matrix opschrijven
Waarden invullen bij cos ( x ) en sin ( x )
, Uitrekenen
Oppervlakte parallellogram/driehoek
1 ⃗
A= || b × c⃗||
2
Oplossen:
Langste vector nooit gebruiken
Kies een oorsprong vector (0)
Bepaal a⃗ en b⃗ door a⃗ =0−⃗ ⃗
v 2, b=0−⃗
v3
b x c = det, dit met eerste rij i^ , ^j, k^ .
Bepaal vector uit de determinant ( V d )
|⃗
Vd|
Volume parallellepipedum/blok
V = √det ( A T A )
Oplossen:
Maak van vectoren een matrix (A)
Bepaal det ( A )
Zeg de eigenschap det ( A ) =det ( AT )
Doe det ( A ) ⋅ det ( AT ) en neem de wortel
Determinanten van n × n matrices bepalen
Oplossen:
2x2-matrix ad−bc
3x3-matrix = a(...) – b(...) + c(...)
Grotere matrices:
o Herleid steeds alles behalve zodat er maar 1 spil staat (rijtrapvorm
met boven A matrix)
o Bij wisselen van rijen komt er een (-) voor de det.
o Rijen delen door een getal (x) = (x) det.
o Vermenigvuldig wat voor de det. staat met alle spilelementen
o Dit is de determinant
Inverse van matrices bepalen
