Samenvatting boek:
Breuken, procenten, kommagetallen en verhoudingen.
Hoofdstuk 1: Verhoudingen.
Verhoudingen: verhoudingen komen overal voor in het leven, bv 1 op de 4
leerlingen houdt van skaten. Het is een soort overkoepelend begrip voor breuken, procenten,
kommagetallen en verhoudingen.
Verhoudingstabel: een belangrijk hulpmiddel bij verhoudingen. Het is handig als de leerlingen
begrijpen hoe een verhoudingstabel werkt. Voorbeeld:
- Met een verhoudingstabel kun je gemakkelijk bepaalde sommen uitrekenen. Dit kun je dan op
verschillende manieren doen zoals: kruislings vermenigvuldigen.
- Wanneer je wilt weten hoelang iemand over 1km doet ( zie tabel hierboven).
Dan doe je 5 min x 1 km : 10 km = 0,5 min. (kruislings vermenigvuldigen)
Of: 5 min x 25 km : 10 km = 12,5 min.
- ook geld: doe je de afstand keer 10 dan moet de tijd ook 10 x zo lang worden. ( boven keer a moet
je onder het getal ook keer a doen. Deel je onder/boven door b dan deel je boven/onder ook door b.
- Ze leren redeneren met getalrelaties die ze kennen en betekenis hebben. Verdubbelen mag dus,
maar niet met hetzelfde getal optellen.
Meet / verhoudingsgetallen:
- Naamgetal: rugnummer wijst naar bepaalde atleet
- Telgetal: volgorde van aankomst word vastgesteld.
- Aantalgetal: groepje bestaat uit bepaalde hoeveelheid lopers
- Meetgetal: afstand van lopen lengtemaat dus hoe ver, hoe groot
- Rekengetal: regels en eigenschappen van getallen.
Meten:
Hoe vaak past iets erin? Meten geeft de verhoudingen aan.
Freudental: veel meet en verhoudingsgetallen komen in het dagelijks leven voor. Essentieel is het zien
van verbanden tussen procenten, breuken, kommagetallen en verhoudingen.
Benoemd / onbenoemd:
- Eerst komen de benoemde getallen in de context: 4 snoepjes… kind verteld dat het 4 snoepjes zijn
dus verteld alleen een getal omdat het over iets anders gaat.
- Later denken ze niet meer aan objecten maar gelijk aan de getalrelaties: 4x+2….
Dit lukt echter pas als de leerlingen zich voldoende hebben georiënteerd en snappen wat ze doen.
- Door het opbouwen van een relatienetwerk leren ze de stap te maken naar onbenoemde getallen
(zonder context).
- Het is niet noodzakelijk dat leerlingen rekenen vanuit rekenprocedures, want dit mag ook met
specifieke rekenrelaties die ze al kennen.
Dus: benoemd= 4… snoepjes. Onbenoemd: 4 x 4.. je benoemt het getal niet.
, Ongestandaardiseerd: getallen die zich niet makkelijk laten vergelijken: breuken en verhoudingen.
Bv ¼ of 1/8 enz dit is lastig te vergelijken met een ander getal.
Gestandaardiseerd: getallen die zich makkelijk laten vergelijken: kommagetallen en procenten.
Bv 25% en 1,25 kan je makkelijk vergelijken met een ander getal
Mechanisch: regels oefenen met weinig tot geen inbreng van kinderen. Dit is soort tegenovergestelde
van realistisch rekenen waarbij kinderen met realistische sommen bezig zijn.
Hoofdstuk 2: Samenhang.
- Modellen ondersteunen de kennis van getalrelaties.
Verhoudingen: lineair / evenredig verband: als het ene getal met een bepaalde factor wordt
vergroot, gebeurt dat bij het andere getal ook. (Breuken, procenten, kommagetallen)
- Prijs en gewicht, - Benzinegebruik, - Ingrediënten
Ontstaan van breuken,procenten en kommagetallen:
- Breuken: eerst waren er alleen stambreuken: 1 zoveelste deel (1/4 en 1/6). Het werd een
zelfstandige maat, deze werd later uitgebreid door de stambreuken op te vatten als telbare objecten.
- Procenten: door het uitrekenen van belasting: op elke 300 dukaten moet je 5 dukaten inleveren.
Het was moeilijk te vergelijken, dus hebben ze de getallen door 100 gedeeld en in procenten
uitgedrukt.
- Kommagetallen: door de komst van moderne media zijn breuken omgezet naar kommagetallen. Het
voordeel is dat je met deze getallen kunt rekenen, dat kan bij procenten niet.
Standaardiseren:
Breuken leiden tot kommagetallen. Verhoudingen leiden tot procenten.
Kommagetallen en procenten vergelijken zich makkelijker met elkaar dan breuken en verhoudingen.
Door snel over te kunnen stappen naar een andere vorm zie je de samenhang.
Didactiek.
De context geeft de betekenis weer van de som en helpt leerlingen te kiezen voor een juiste vorm.
Daarna nemen modellen dat werk over. De strook en dubbele getallenlijn maken de relaties tussen
verschillende vormen expliciet. Je kunt de strook verdelen in stukjes en zo een relatienetwerk
verbreden. Je ziet dat 3/9 groter is dan 3/10. Als de context van de breuk verandert in een zelfstandig
getal, verandert de functie van de strook. Hij laat nu zien hoe je getalsmatig heb geredeneerd.
Relatienetwerk.
De leerlingen moeten zoveel mogelijk getalrelaties kennen zodat het redeneren via globaal of
stattend rekenen mogelijk wordt.
Breuken, procenten, kommagetallen en verhoudingen.
Hoofdstuk 1: Verhoudingen.
Verhoudingen: verhoudingen komen overal voor in het leven, bv 1 op de 4
leerlingen houdt van skaten. Het is een soort overkoepelend begrip voor breuken, procenten,
kommagetallen en verhoudingen.
Verhoudingstabel: een belangrijk hulpmiddel bij verhoudingen. Het is handig als de leerlingen
begrijpen hoe een verhoudingstabel werkt. Voorbeeld:
- Met een verhoudingstabel kun je gemakkelijk bepaalde sommen uitrekenen. Dit kun je dan op
verschillende manieren doen zoals: kruislings vermenigvuldigen.
- Wanneer je wilt weten hoelang iemand over 1km doet ( zie tabel hierboven).
Dan doe je 5 min x 1 km : 10 km = 0,5 min. (kruislings vermenigvuldigen)
Of: 5 min x 25 km : 10 km = 12,5 min.
- ook geld: doe je de afstand keer 10 dan moet de tijd ook 10 x zo lang worden. ( boven keer a moet
je onder het getal ook keer a doen. Deel je onder/boven door b dan deel je boven/onder ook door b.
- Ze leren redeneren met getalrelaties die ze kennen en betekenis hebben. Verdubbelen mag dus,
maar niet met hetzelfde getal optellen.
Meet / verhoudingsgetallen:
- Naamgetal: rugnummer wijst naar bepaalde atleet
- Telgetal: volgorde van aankomst word vastgesteld.
- Aantalgetal: groepje bestaat uit bepaalde hoeveelheid lopers
- Meetgetal: afstand van lopen lengtemaat dus hoe ver, hoe groot
- Rekengetal: regels en eigenschappen van getallen.
Meten:
Hoe vaak past iets erin? Meten geeft de verhoudingen aan.
Freudental: veel meet en verhoudingsgetallen komen in het dagelijks leven voor. Essentieel is het zien
van verbanden tussen procenten, breuken, kommagetallen en verhoudingen.
Benoemd / onbenoemd:
- Eerst komen de benoemde getallen in de context: 4 snoepjes… kind verteld dat het 4 snoepjes zijn
dus verteld alleen een getal omdat het over iets anders gaat.
- Later denken ze niet meer aan objecten maar gelijk aan de getalrelaties: 4x+2….
Dit lukt echter pas als de leerlingen zich voldoende hebben georiënteerd en snappen wat ze doen.
- Door het opbouwen van een relatienetwerk leren ze de stap te maken naar onbenoemde getallen
(zonder context).
- Het is niet noodzakelijk dat leerlingen rekenen vanuit rekenprocedures, want dit mag ook met
specifieke rekenrelaties die ze al kennen.
Dus: benoemd= 4… snoepjes. Onbenoemd: 4 x 4.. je benoemt het getal niet.
, Ongestandaardiseerd: getallen die zich niet makkelijk laten vergelijken: breuken en verhoudingen.
Bv ¼ of 1/8 enz dit is lastig te vergelijken met een ander getal.
Gestandaardiseerd: getallen die zich makkelijk laten vergelijken: kommagetallen en procenten.
Bv 25% en 1,25 kan je makkelijk vergelijken met een ander getal
Mechanisch: regels oefenen met weinig tot geen inbreng van kinderen. Dit is soort tegenovergestelde
van realistisch rekenen waarbij kinderen met realistische sommen bezig zijn.
Hoofdstuk 2: Samenhang.
- Modellen ondersteunen de kennis van getalrelaties.
Verhoudingen: lineair / evenredig verband: als het ene getal met een bepaalde factor wordt
vergroot, gebeurt dat bij het andere getal ook. (Breuken, procenten, kommagetallen)
- Prijs en gewicht, - Benzinegebruik, - Ingrediënten
Ontstaan van breuken,procenten en kommagetallen:
- Breuken: eerst waren er alleen stambreuken: 1 zoveelste deel (1/4 en 1/6). Het werd een
zelfstandige maat, deze werd later uitgebreid door de stambreuken op te vatten als telbare objecten.
- Procenten: door het uitrekenen van belasting: op elke 300 dukaten moet je 5 dukaten inleveren.
Het was moeilijk te vergelijken, dus hebben ze de getallen door 100 gedeeld en in procenten
uitgedrukt.
- Kommagetallen: door de komst van moderne media zijn breuken omgezet naar kommagetallen. Het
voordeel is dat je met deze getallen kunt rekenen, dat kan bij procenten niet.
Standaardiseren:
Breuken leiden tot kommagetallen. Verhoudingen leiden tot procenten.
Kommagetallen en procenten vergelijken zich makkelijker met elkaar dan breuken en verhoudingen.
Door snel over te kunnen stappen naar een andere vorm zie je de samenhang.
Didactiek.
De context geeft de betekenis weer van de som en helpt leerlingen te kiezen voor een juiste vorm.
Daarna nemen modellen dat werk over. De strook en dubbele getallenlijn maken de relaties tussen
verschillende vormen expliciet. Je kunt de strook verdelen in stukjes en zo een relatienetwerk
verbreden. Je ziet dat 3/9 groter is dan 3/10. Als de context van de breuk verandert in een zelfstandig
getal, verandert de functie van de strook. Hij laat nu zien hoe je getalsmatig heb geredeneerd.
Relatienetwerk.
De leerlingen moeten zoveel mogelijk getalrelaties kennen zodat het redeneren via globaal of
stattend rekenen mogelijk wordt.
