Financial and Actuarial Calculus Hoorcollege
Week 1:
Interest:
Rente of interest = dit kan:
o Zowel: (A) te ontvangen interest op spaartegoeden, bijvoorbeeld van de bank.
o Als: (B) te betalen interest op leningen (hypotheek, studielening) aan de bank.
Per definitie geldt: (A) < (B), anders zouden er geen banken zijn.
Je hebt verschillende soorten interest:
o Nominale interest.
o Effectieve interest.
o Samengestelde interest.
o Enkelvoudige interest.
In het boek wordt vaak perunage gebruikt -> interest (in %) wordt vaak uitgedrukt in perunage (i): i=0,02 bij 2%
interest.
Interest kan over hele looptijd vast zijn (denk aan rentevaste periode bij hypotheek). Maar ook per jaar
verschillend zijn (bij hypotheken dan vaak lagere interest).
Waardebepalingen:
Contante waarde (CW) = waarde per heden (dus nu):
o Van een kapitaal.
o Van een reeks van betaling:
- Prenumerando -> hierbij is de betaling steeds op de eerste dag van de periode.
- Postnumerando -> hierbij is de betaling steeds op de laatste dag van de periode.
Slotwaarde (SW) = waarde aan het eind van een periode (dus bij einde):
o Van een kapitaal.
o Van een reeks van betalingen.
- Prenumerando -> hierbij is de betaling steeds op de eerste dag van de periode.
- Postnumerando -> hierbij is de betaling steeds op de laatste dag van de periode.
Annuïteit = contante waarde van een regelmatige rij betalingen, dus die betaling is elke periode hetzelfde.
Je hebt bijvoorbeeld een hypotheek die je in 30 jaar moet aflossen, hierbij los je een stukje af en je betaalt een
rentevergoeding. Je schuld neemt dan een klein beetje af. Als je nu zegt dat je elk jaar hetzelfde bedrag betaald
-> annuïteit, dan betaal je in het begin voornamelijk interest (je lost nog niet zo veel af) en je laatste betaling is
bijna volledig je schuldrest.
Hierbij heb je een prenumerando annuïteit en een postnumerando annuïteit. Een bijzondere vorm is de
annuïtaire hypotheek.
1
,Vormen interest:
Samengestelde interest =
Bijvoorbeeld student Jan die leent €5.000 aan kapitaal (K) voor aanschaf auto. Jan betaalt vaste
interestvergoeding van 5% per jaar. Jan lost tussentijds niet af van zijn lening.
Het totaal aan interestvergoeding bedraagt na 10 jaar €3.144. Dat is meer dan 60% van het geleende bedrag.
We veronderstellen dat de interest op continu basis wordt bijgeschreven, dus elke dag een beetje interest erbij.
Na 5 jaar en 6 maanden bedraagt het kapitaal dan
We spreken in dit geval van samengestelde interest. Immers, Jan lost niets af waardoor de schuld steeds groter
wordt en hij interest over interest moet betalen.
Enkelvoudige interest =
Hierbij kunnen we hetzelfde voorbeeld nemen. Dus stel dat Jan de schuld niet wil doen oplopen en elk jaar wel
de nieuwe interest kan betalen. De schuld neemt in dat geval niet toe en we spreken van enkelvoudige interest.
De berekening gaat dan als volgt:
Jan heeft €2.500 (=10*250) betaald aan interest waardoor de schuld niet is opgelopen. De restschuld blijft
hierbij €5.000.
Nominale interest = ook wel schijnbare interest genoemd.
Stel bijvoorbeeld dat kapitaal €100 is begin van het jaar. Als de effectieve interest 2% per kwartaal bedraagt dan
(volgens het principe van samengestelde interest) groeit het bedrag aan tot 108,24. Je denkt hierbij dat de
nominale interest, schijnbaar, dus 8% is. Dit is alleen niet zo omdat de effectieve interest 8,24% is:
Als 8% de nominale interest is bij een persoonlijke lening bij kwartaal bijschrijvingen, dan betaal je effectief dus
8,24%. In dat geval wordt interest enkelvoudig weergegeven, terwijl het wel degelijk samengesteld wordt
toegepast.
Er is een verband tussen nominale interest (p) en effectieve interest (r), (bij betalingstermijn per kwartaal).
Voorbeeld: 2% per kwartaal, €100 kapitaal. We hebben eerder gezien dat nominaal 8% is -> p = 0,08.
2
,Je kan de r dus berekenen door gebruik te maken van de p.
De interest kan uiteraard ook per periode variëren -> stel interestvergoeding van een bank bedraagt in een
zeker jaar 4% over het eerste half jaar, en 3% over het tweede half. Dan:
Nominale interest op jaarbasis bedraagt 8% voor het eerste half jaar en 6% voor het tweede half jaar. De
effectieve interest bedraagt dan (1,04*1,03-1) = 7,12%.
Variërende interest = deze heeft het tekentje . Je berekent deze door:
Voorbeeld: interest bedraagt voor Jan eerste 5 jaar 5% en volgende 5 jaar 8% per jaar.
Voor Jan betekent dit concreet:
Zou je dit samengesteld doen dan:
Jan zou €4.376 aan samengestelde interest moeten betalen.
Zou je dit enkelvoudig doen dan:
Jan zou €3.250 totaal aan enkelvoudige interest moeten betalen indien hij jaarlijks de interest betaalt.
Merk notabene op dat een hogere interestvergoeding komt door:
- Inflatie.
- Langere duur: kortlopende leningen kennen meestal een lagere interestvergoeding dan langerlopende
leningen.
- Debiteurenrisico (kans dat Jan na 10 jaar niet aan zijn verplichtingen kan voldoen is groter dan de
eerste 5 jaar, mits Jan wel is gescreend).
Slotwaarde en Contante waarde:
Contante waarde (CW) = waarde aan het begin van de periode.
Slotwaarde (SW) = waarde aan het einde van de periode.
Uit de slotwaarde is eenvoudig de contante waarde te berekenen en omgekeerd ->
De regel van 72:
Je kan met een vuistregel zien wanneer een kapitaal verdubbeld. Dit wordt gedaan door gebruik te maken van
de regel van 72. Elke 72/i jaar verdubbelt het kapitaal bij samengestelde interest. Voorbeeld:
3
, Reeksen:
We gebruiken even 3 voorbeelden van personen om de reeksen uit te leggen.
Rentenier = heeft nu (CW) een groot bedrag op spaarrekening staan en kan van de interest leven (reeks
uitkeringen) -> daarom heet deze uitkering oorspronkelijk ook wel “rente”.
Sparen voor grote aankoop = nu elk jaar bedrag sparen (reeks spaarbedragen) om later in één keer
bijvoorbeeld een huis te kopen (SW).
Pensionado = spaart nu elk jaar een bedrag (reeks betalingen) om later jaarlijks pensioen (ook: reeks
uitkeringen) te ontvangen.
Er zijn twee soorten reeksen, de rekenkundige reeks en de meetkundige reeks.
Rekenkundige reeks = bijvoorbeeld het totaal aantal ogen van een dobbelsteen -> 1+2+3+4+5+6.
Ook de reeks aan interestbedragen bij enkelvoudige interest vormen een rekenkundige reeks.
Meetkundige reeks = bijvoorbeeld bij samengestelde interest. De meest voorkomende vorm van
interestbepaling is de rentenier -> een 25-jarige zojuist afgestudeerde man ontvangt jaarlijks €100.000
gedurende de rest van zijn leven.
Je wil voor deze berekening allereerst weten ‘hoelang’. De levensverwachting (komen we later op) van hem is
relatief hoog omdat hij (student) uit de hogere sociaaleconomische klasse komt -> hogere levensverwachting.
Hij leeft naar verwachting nog zo’n 55 jaar, dus tot zijn 80ste. (zijn vrouwelijke medestudent heeft nog 4 jaar
langer in het vooruitzicht). In totaal ontvangt hij derhalve €5.500.000.
Maar wat is deze reeks uitkeringen nu waard (CW), en waard op de verwachte overlijdensdatum (SW)?
Stel hij zou zijn eerst uitkering op zijn 25ste hebben, zijn tweede uitkering op zijn 26ste hebben, en zijn laatste
uitkering op zijn 79ste hebben, dan spreken we over een prenumerando uitkering.
In dit geval krijgt hij zijn eerste op zijn 26 ste en zijn laatste op zijn 80ste, dus hebben we het hier over een
postnumerando uitkering.
Wat is het nu waard (CW)?
Stel interest is 3% effectief per jaar. En stel bovendien dat de uitkering aan het einde van het jaar plaatsvinden
-> postnumerando.
Hoeveel moet hij nu hebben om bij 3% interest deze rij uitkering te kunnen inkopen (CW)?
De eerste uitkering na 1 jaar (einde van het jaar) is nu waard ->
De tweede uitkering na 2 jaar is nu waard ->
De 55ste uitkering (hij is dan 79 jaar en 364 dagen en heeft 1 dag om het nog uit te geven...) ->
! Wat vaak nog gebeurt is dat er wordt gezegd dat je de uitkering alleen krijgt als je dan nog leeft, oftewel er
wordt rekening gehouden met de kans dat je in dat jaar nog leeft (houden we nu geen rekening mee in de
berekening). De berekening zou je in dat geval elke keer ook nog vermenigvuldigen met de kans dat iemand dan
nog leeft.
4
Week 1:
Interest:
Rente of interest = dit kan:
o Zowel: (A) te ontvangen interest op spaartegoeden, bijvoorbeeld van de bank.
o Als: (B) te betalen interest op leningen (hypotheek, studielening) aan de bank.
Per definitie geldt: (A) < (B), anders zouden er geen banken zijn.
Je hebt verschillende soorten interest:
o Nominale interest.
o Effectieve interest.
o Samengestelde interest.
o Enkelvoudige interest.
In het boek wordt vaak perunage gebruikt -> interest (in %) wordt vaak uitgedrukt in perunage (i): i=0,02 bij 2%
interest.
Interest kan over hele looptijd vast zijn (denk aan rentevaste periode bij hypotheek). Maar ook per jaar
verschillend zijn (bij hypotheken dan vaak lagere interest).
Waardebepalingen:
Contante waarde (CW) = waarde per heden (dus nu):
o Van een kapitaal.
o Van een reeks van betaling:
- Prenumerando -> hierbij is de betaling steeds op de eerste dag van de periode.
- Postnumerando -> hierbij is de betaling steeds op de laatste dag van de periode.
Slotwaarde (SW) = waarde aan het eind van een periode (dus bij einde):
o Van een kapitaal.
o Van een reeks van betalingen.
- Prenumerando -> hierbij is de betaling steeds op de eerste dag van de periode.
- Postnumerando -> hierbij is de betaling steeds op de laatste dag van de periode.
Annuïteit = contante waarde van een regelmatige rij betalingen, dus die betaling is elke periode hetzelfde.
Je hebt bijvoorbeeld een hypotheek die je in 30 jaar moet aflossen, hierbij los je een stukje af en je betaalt een
rentevergoeding. Je schuld neemt dan een klein beetje af. Als je nu zegt dat je elk jaar hetzelfde bedrag betaald
-> annuïteit, dan betaal je in het begin voornamelijk interest (je lost nog niet zo veel af) en je laatste betaling is
bijna volledig je schuldrest.
Hierbij heb je een prenumerando annuïteit en een postnumerando annuïteit. Een bijzondere vorm is de
annuïtaire hypotheek.
1
,Vormen interest:
Samengestelde interest =
Bijvoorbeeld student Jan die leent €5.000 aan kapitaal (K) voor aanschaf auto. Jan betaalt vaste
interestvergoeding van 5% per jaar. Jan lost tussentijds niet af van zijn lening.
Het totaal aan interestvergoeding bedraagt na 10 jaar €3.144. Dat is meer dan 60% van het geleende bedrag.
We veronderstellen dat de interest op continu basis wordt bijgeschreven, dus elke dag een beetje interest erbij.
Na 5 jaar en 6 maanden bedraagt het kapitaal dan
We spreken in dit geval van samengestelde interest. Immers, Jan lost niets af waardoor de schuld steeds groter
wordt en hij interest over interest moet betalen.
Enkelvoudige interest =
Hierbij kunnen we hetzelfde voorbeeld nemen. Dus stel dat Jan de schuld niet wil doen oplopen en elk jaar wel
de nieuwe interest kan betalen. De schuld neemt in dat geval niet toe en we spreken van enkelvoudige interest.
De berekening gaat dan als volgt:
Jan heeft €2.500 (=10*250) betaald aan interest waardoor de schuld niet is opgelopen. De restschuld blijft
hierbij €5.000.
Nominale interest = ook wel schijnbare interest genoemd.
Stel bijvoorbeeld dat kapitaal €100 is begin van het jaar. Als de effectieve interest 2% per kwartaal bedraagt dan
(volgens het principe van samengestelde interest) groeit het bedrag aan tot 108,24. Je denkt hierbij dat de
nominale interest, schijnbaar, dus 8% is. Dit is alleen niet zo omdat de effectieve interest 8,24% is:
Als 8% de nominale interest is bij een persoonlijke lening bij kwartaal bijschrijvingen, dan betaal je effectief dus
8,24%. In dat geval wordt interest enkelvoudig weergegeven, terwijl het wel degelijk samengesteld wordt
toegepast.
Er is een verband tussen nominale interest (p) en effectieve interest (r), (bij betalingstermijn per kwartaal).
Voorbeeld: 2% per kwartaal, €100 kapitaal. We hebben eerder gezien dat nominaal 8% is -> p = 0,08.
2
,Je kan de r dus berekenen door gebruik te maken van de p.
De interest kan uiteraard ook per periode variëren -> stel interestvergoeding van een bank bedraagt in een
zeker jaar 4% over het eerste half jaar, en 3% over het tweede half. Dan:
Nominale interest op jaarbasis bedraagt 8% voor het eerste half jaar en 6% voor het tweede half jaar. De
effectieve interest bedraagt dan (1,04*1,03-1) = 7,12%.
Variërende interest = deze heeft het tekentje . Je berekent deze door:
Voorbeeld: interest bedraagt voor Jan eerste 5 jaar 5% en volgende 5 jaar 8% per jaar.
Voor Jan betekent dit concreet:
Zou je dit samengesteld doen dan:
Jan zou €4.376 aan samengestelde interest moeten betalen.
Zou je dit enkelvoudig doen dan:
Jan zou €3.250 totaal aan enkelvoudige interest moeten betalen indien hij jaarlijks de interest betaalt.
Merk notabene op dat een hogere interestvergoeding komt door:
- Inflatie.
- Langere duur: kortlopende leningen kennen meestal een lagere interestvergoeding dan langerlopende
leningen.
- Debiteurenrisico (kans dat Jan na 10 jaar niet aan zijn verplichtingen kan voldoen is groter dan de
eerste 5 jaar, mits Jan wel is gescreend).
Slotwaarde en Contante waarde:
Contante waarde (CW) = waarde aan het begin van de periode.
Slotwaarde (SW) = waarde aan het einde van de periode.
Uit de slotwaarde is eenvoudig de contante waarde te berekenen en omgekeerd ->
De regel van 72:
Je kan met een vuistregel zien wanneer een kapitaal verdubbeld. Dit wordt gedaan door gebruik te maken van
de regel van 72. Elke 72/i jaar verdubbelt het kapitaal bij samengestelde interest. Voorbeeld:
3
, Reeksen:
We gebruiken even 3 voorbeelden van personen om de reeksen uit te leggen.
Rentenier = heeft nu (CW) een groot bedrag op spaarrekening staan en kan van de interest leven (reeks
uitkeringen) -> daarom heet deze uitkering oorspronkelijk ook wel “rente”.
Sparen voor grote aankoop = nu elk jaar bedrag sparen (reeks spaarbedragen) om later in één keer
bijvoorbeeld een huis te kopen (SW).
Pensionado = spaart nu elk jaar een bedrag (reeks betalingen) om later jaarlijks pensioen (ook: reeks
uitkeringen) te ontvangen.
Er zijn twee soorten reeksen, de rekenkundige reeks en de meetkundige reeks.
Rekenkundige reeks = bijvoorbeeld het totaal aantal ogen van een dobbelsteen -> 1+2+3+4+5+6.
Ook de reeks aan interestbedragen bij enkelvoudige interest vormen een rekenkundige reeks.
Meetkundige reeks = bijvoorbeeld bij samengestelde interest. De meest voorkomende vorm van
interestbepaling is de rentenier -> een 25-jarige zojuist afgestudeerde man ontvangt jaarlijks €100.000
gedurende de rest van zijn leven.
Je wil voor deze berekening allereerst weten ‘hoelang’. De levensverwachting (komen we later op) van hem is
relatief hoog omdat hij (student) uit de hogere sociaaleconomische klasse komt -> hogere levensverwachting.
Hij leeft naar verwachting nog zo’n 55 jaar, dus tot zijn 80ste. (zijn vrouwelijke medestudent heeft nog 4 jaar
langer in het vooruitzicht). In totaal ontvangt hij derhalve €5.500.000.
Maar wat is deze reeks uitkeringen nu waard (CW), en waard op de verwachte overlijdensdatum (SW)?
Stel hij zou zijn eerst uitkering op zijn 25ste hebben, zijn tweede uitkering op zijn 26ste hebben, en zijn laatste
uitkering op zijn 79ste hebben, dan spreken we over een prenumerando uitkering.
In dit geval krijgt hij zijn eerste op zijn 26 ste en zijn laatste op zijn 80ste, dus hebben we het hier over een
postnumerando uitkering.
Wat is het nu waard (CW)?
Stel interest is 3% effectief per jaar. En stel bovendien dat de uitkering aan het einde van het jaar plaatsvinden
-> postnumerando.
Hoeveel moet hij nu hebben om bij 3% interest deze rij uitkering te kunnen inkopen (CW)?
De eerste uitkering na 1 jaar (einde van het jaar) is nu waard ->
De tweede uitkering na 2 jaar is nu waard ->
De 55ste uitkering (hij is dan 79 jaar en 364 dagen en heeft 1 dag om het nog uit te geven...) ->
! Wat vaak nog gebeurt is dat er wordt gezegd dat je de uitkering alleen krijgt als je dan nog leeft, oftewel er
wordt rekening gehouden met de kans dat je in dat jaar nog leeft (houden we nu geen rekening mee in de
berekening). De berekening zou je in dat geval elke keer ook nog vermenigvuldigen met de kans dat iemand dan
nog leeft.
4
