Samenvatting Wiskunde 2: Wiskunde = Wijs periode 2 getallenkennis en bewerkingen

DEEL 1: didactiek
1. Didactische krachtlijnen
 Betekenisvolle situaties
 CSA-model
 Handelingsniveaus v Galperin
 Inzichtelijke aanpak
 Correct wiskundig verwoorden
 Automatiseren & memoriseren
 Inductief werken
 Gebruik v verhoudingstabellen


Betekenisvolle situaties
 Lln komen constant in contact met situaties die ze kunnen wiskundig kunnen doorgronden
 Lkr moet zorgen dat lln verband leren zien tss wiskunde & realiteit
 Gebruik wiskundig denkproces
1. Stel essentiële elementen & relaties vo uit situatie
2. Stel wiskundig model op waar die elementen & relaties inzitten op passende wijze
3. Pas binnen model wiskundige technieken toe om tot resultaten te komen
4. Controleer & interpreteer de resultaten op ≠ manieren
 Lkr zet steeds betekenisvolle situatie centraal zodat lln link tss situatie & wiskunde beter
kunnen inzien
 Gebruikt betekenisvolle situaties
- Om inzicht te krijgen in begrip
- Bij inoefenen v leerstof
- Bij afsluiten v les om leerstof toe te passen op realistische situaties
 Aandachtspunten
- Centraal stellen v relatie tss situatie & realiteit
- Ontdekken v praktisch & maatschappelijk nut
- Betrekken v betekenisvolle situaties verhoogt motivatie


CSA-model
 Wiskunde = zeer abstract
 In lessen moeten we lln tot die abstractie brengen
 Vo ied een proces
 Gebruik hulpmiddelen -> CSA-model
 Concreet – schematisch – abstract
Concreet
 Lln leren motorisch handelen met materiaal dat ze kunnen manipuleren
 Didactisch, alledaags, keuze materiaal
 Bv pizza
 Materiaal


1

,Schematisch
 Lln leren do gebruik v schematische voorstellingen
 Opbouw
1. Afbeelding v werkelijkheid bv 10 noten tekenen op bord
2. Afbeelding die in de plaats komt v werkelijkheid bv 10 kruisjes ipv noten tekenen
3. Afbeelding v gestructureerde materiaal
4. Tabellen
5. Getallenlijnen
6. Figuren bv vierhoek is ook schema
 tekenen
Abstract
 Leren gebruiken v symbolen & formeel rekenen zonder materiaal of schema’s
 Voer leergesprekken ov ≠ oplossingswijze waar lln nieuwe manieren leren om probleem aan
te pakken
 Vb: 2/6
 Verwoorden
Aandachtpunten
 Gebruik CSA bij aanbrengen nieuwe inhoud
 Ni ied doorloopt fase op zelfde tempo
 DUS diff
 Concreet & schematisch blijft noodzakelijk tot inzicht is verworven
 Lkr moet nagaan of elke lln alle niveaus heeft bereikt
 Als lln kan verwoorden wat doet -> geen schema meer moeten maken
 Als merkt dat lln ni kan verwoorden -> vraag om stappen te tekenen of met materiaal te
leggen
 Zo ontdekken op welk niveau lln vastloopt


Handelingsniveau v Galperin
 Geeft antwoord op vraag: hoe ontstaan
mentale handelingen
 Hij zegt volgens trappen v 4
handelingsniveaus
Materiaal handelen
 Doen & verwoorden
 Gebruiken materiaal
 Verwoorden wat ze doen
Perceptueel
 Kijken & verwoorden
 Handelen met waarnemingen
 Verwoorden wat ze zien




2

,Verbaal
 Verwoorden
 Verwoorden luidop hoe ze redeneren zonder gebruik v materiaal of voorstellingen
Mentaal
 Denkwerk
 Doen denkwerk in hoofd zonder materiaal of voorstellingen


Inzichtelijke aanpak
 Regels niet als feiten of trucjes aanleren
 Word snel vergeten
 Lln weten niet hoe je eraan komt
 Lln weten niet wnr je ze mag gebruiken
 Trucjes kan je niet in alle nieuwe situaties gebruiken
 Lln moeten betekenis v begrip begrijpen & met deelhandelingen kunnen redeneren
 Lkr moet nieuwe begrippen
 Kaderen in leerlijnen -> do herhaling activeer je voorkennis waardoor nieuwe kennis
sneller w verbonden
 Inzichtelijk opbouwen -> CSA model & handelingsniveaus


Belang v correct wiskundig verwoorden
 Verwoording is brug tss gebruik v materiaal en werken zonder
 Lkr moet vaste verwoording gebruiken bij automatiseren v oplossingsmethoden
 Lkr moet zorgen vo overgang tss spreektaal & vaktaal
 Lln moeten vaktaal regelmatig gebruiken -> niet vermijden omdat abstract is
 !! Lkr moet terminologie juist gebruiken in vraagstellingen & instructies !!


Automatiseren & memoriseren




 Inzichtelijke aanbreng
 Materiaal gebruiken
 Verwoorden
 Tussenstappen opschrijven
 Veel oefenen
 Steeds vlotter w in rekenen
 Lkr houd rekening met verschil in tempo v automatisering
 Verhoog motivatie do variëren in werkvorm -> geen wedstrijd want tempo verschil
 Parate kennis
 Do veel oefenen
 Tempo opdrijven tot je niet meer moet nadenken ov welke strategie je gebruikt



3

,Inductief & deductief werken
Inductief
 Vertrek uit voorbeelden om patronen & wetmatigheden
te ontdekken
 Vanuit patronen & wetmatigheden proberen begrippen, regels & principes te omschrijven
 Die begrippen,… proberen plaatsen in nieuwe contexten
 Als lkr juiste voorbeelden kiezen
 Alle variaties binnen regel moeten aan bod komen & gekend zijn
 Vermijd uitzonderingen die niet gekend moeten zijn
 LEES VB P 217
Deductief
 Vertrekt uit regel -> gaat hierop oefeningen maken
 Geeft regel als wetmatigheid -> probeert do veel oefenen gekend te krijgen
 Je legt op een foutieve manier de basis
 Kans veel groter dat lln regel foutief toepassen of vergeten
 Zo veel meer regels moeten kennen -> vo elke situatie andere regel


Extra: gebruik v verhoudingstabellen
 Benoem grootheden & eenheden
 Noteer herleidingen op rekenwerk makkelijker te maken
 Zorg dat verhoudingen gelijk blijven
 Werk chronologisch
 Gebruik geen percentage -> zorgt vo verwarring
 Zorg vo geleidelijke opbouw v tabellen -> zo krijgen lln inzicht in opbouw
 Geef eerst lege tabel met ingevulde titels om te werken naar blanco tabellen

De meetleerlijn (ppt)
Fase 1 kwalitatief meten
• kleuters & eerste graad
• vergelijken & ordenen zonder maateenheid
• aandacht vo verwoorden
• uiteindelijk grootheden kennen & onderscheiden
• kleuters hebben nog geen conservatiebegrip
= inzicht dat bepaalde handelingen niets veranderen aan bv lengte -> opgerold touw blijft
even lang als je het uitrolt
• pas als inzicht er is kunnen ze grootheden met elkaar vergelijken
• enkelvoudige grootheden (lengte) zijn makkelijker dan samengestelde grootheden
(oppervlakte)
Voorwerpen kwalitatief vergelijken
 lln 2 voorwerpen vergelijken volgens bepaalde grootheid
 zonder meetinstrumenten of getallen
bv: elkaars grootte meten do rug tegen rug te staan en zegge wie grootst is zonder te
zeggen hoeveel
 lln moeten zelf strategieën ontdekken om eigenschappen te vergelijken

4

,  geef veel aandacht aan correct verwoorden!!
Rangschikken obv een kwalitatieve vergelijking
 lln zetten zonder meten meer dan 2 voorwerpen op een volgorde bv gewicht
 ze ontdekken dat makkelijker gaat als hulpmiddelen gebruiken
samenstellen en optellen v gelijksoortige grootheden
 het besef dat een grootheid samengesteld kan zijn uit verschillende grootheden is een
tussenstap op weg naar echt meten
 je drukt uit in getallen -> 3 keer het touwtje
Fase 2a kwantitatieve fase
 meten met natuurlijke maateenheden
 grootte van iets word uitgedrukt met een getal & maateenheid
 maateenheid w willekeurig gekozen bv voeten
 kan meetinstrument ook baseren op natuurlijke maateenheid bv stokjes
 let goed op verwoording: 4 voeten lang
 belangrijk: laat lln eerst schatten hoeveel voeten ze denken
 deze stap vaak overgeslagen maar cruciaal vo ontw v maatbesef
 sluit aan biij leefwereld, historische ontwikkeling (voet, zak), dagelijkse praktijk
Fase 2b kwantitatieve fase
 meten met standaardmaateenheden
 lln stellen vast dat je andere uitkomst krijgt als je andere maateenheid gebruikt
 drm nood aan vaste maateenheid die altijd & overal zelfde is = standaardmaateenheid
 bij aanleren genoeg visueel materiaal gebruiken -> moeten aanwezig zijn in leefwereld
-> anders oefening samen maken
 lln moeten maateenheden goed kunnen voorstellen om goede schattingen te maken
 do veel meetactiviteiten stellen ze vast dat 1 standaardmaateenheid ni genoeg is
 om nauwkeurig te kunnen meten is kleinere maateenheid nodig
 herleiding tabellen pas zinvol als ze inzicht hebben in verband tss verschillende
maateenheden
 bij aanbrengen:
 veel concreet materiaal & schematische voorstellingen
 veel herhaling
 lange visuele voorstellingen


Deel 2: getallenkennis
1. Functies van getallen
 Getal als hoeveelheid
 Getal als rangorde
 Getal als verhouding
 Getal als code




5

, Getal als hoeveelheid
 Lln moeten eerst leren sorteren/classificeren vo ze hoeveelheid kunnen begrijpen
 Meest abstracte aspect is ‘aantal’
 Hierbij worden eigenschappen weg gelaten
 Enkel ‘hoeveel het er zijn’ is belangrijk
 Lln moeten ‘één-op-één- relatie’ leggen tussen voorwerpen en getallen
 Tellen wordt steeds verkort
 Telt verder van een hoeveelheid die je met 1 blik kan zien OF van als aantal al weet
 Synchroon tellen = tellen gebeurt gelijk met aanwijzen of kijken naar voorwerpen
 Resultatief tellen = bij tellen wordt koppeling gemaakt tss getelde en hoeveelheid
 Subitizing = getalbeelden waar je in 1 blik kan zien hoeveel het er zijn
 Conservatie: goede beheersing v hoeveelheidsaspect als lln besef heeft dat als hoeveelheid
verder uit elkaar ligt of verdeeld -> er nog steeds even veel zijn

Getal als rangorde
 Voorbereidende oefening = seriëren
= rangschikken volgens bepaalde criteria & patronen
 Kwalitatief vergelijken
 Om getallen als rangorde te begrijpen moet lln telrij kunnen opzeggen in juiste volgorde &
synchroon kunnen tellen
 Lln moet (on)bepaalde rangtelwoorden kunnen gebruiken
 Bepaald = eerste, tweede, derde
 Onbepaald = laatste, voorlaatste, vooraan, achteraan

Getal als code
 Lln komen al van jongs af aan in contact met ‘codes’
 Moet duidelijk maken dat codes niks te maken hebben met rangordeµ

Getal als verhouding
 Verhouding = deel tov groter geheel
 Maatgetal = getal dat verhouding uitdrukt tss wat gemeten w en gebruikte maateenheid
 W altijd een maateenheid bij geschreven bv meter, liter, kilogram
 Context bepaald functie van getal
 Als twijfelt ov code of rangorde -> kijken naar zinnige uitkomst
 Werkvormen om functies v getallen op motiverende & zinvolle manier te oefenen:
 Codes onderzoeken:
- Organisatie: map met bladen per 2 lln
- Materiaal: A1, A2, A3, A4,… bladen met daarop elke code van het soort blad (grootte)
- Verloop:
-> Als je in papierwinkel vraagt om A4 papier begrijpt de winkelier je meteen. Vo hem
heeft A4 een betekenis. Welke functie heeft de 4? (code)
-> Onderzoek betekenis v de cijfers. Waarin verschilt A3 v A4? Moet je de bladen altijd
meten voor je weet welke nummer je krijgt?
-> Verpakking onderzoeken op alle functies:
- Organisatie: 1 verpakking per 2 lln



6