Universiteit van Amsterdam
Faculteit Economie en Bedrijfskunde
Afdeling Economie en Econometrie
IQM – Introduction Quantitative Methods 7 januari 2015 19:00 – 21:30
Boek en grafische/algebraïsche/financiële calculator mogen niet gebruikt worden.
U mag geen boek of aantekeningen gebruiken. Alleen het toegevoegde formuleblad is toegestaan.
Bij elke opgave staat aangegeven hoeveel punten er verdiend kunnen worden. Het totaal aantal punten is 100.
Antwoorden zonder berekening en/of toelichting worden niet gehonoreerd.
Vanaf de volgende werkdag zijn de uitwerkingen te raadplegen via BlackBoard.
De uitslag wordt uiterlijk na 15 werkdagen bekend gemaakt.
De datum en tijd voor de inzage wordt spoedig bekend gemaakt op BlackBoard.
1a. (5)
Vereenvoudig zo ver mogelijk en
schrijf de macht van 𝑎𝑎 met een wortelteken:
6 ∙ 4√𝑎𝑎
𝑎𝑎
2
𝑎𝑎√𝑎𝑎
4
6 ∙ √𝑎𝑎
𝑎𝑎 6 ∙ 4√𝑎𝑎 𝑎𝑎√𝑎𝑎 1 1 1 1 3 4
= ∙ = 3 ∙ 4√𝑎𝑎 ∙ √𝑎𝑎 = 3 ∙ 𝑎𝑎4 ∙ 𝑎𝑎2 = 3 ∙ 𝑎𝑎4+2 = 3 ∙ 𝑎𝑎4 = 3 ∙ �𝑎𝑎3
2 𝑎𝑎 2
𝑎𝑎√𝑎𝑎
1b. (5)
Gegeven zijn de functies:
𝑡𝑡(𝑥𝑥) = log(4 − 𝑥𝑥 2 ) en 𝑛𝑛(𝑥𝑥) = 1 − 𝑥𝑥.
𝑡𝑡(𝑥𝑥)
Bepaal het domein van de functie 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑛𝑛(𝑥𝑥).
Voor 𝑡𝑡(𝑥𝑥) moet gelden: 4 − 𝑥𝑥 2 > 0 ⟹ 𝑥𝑥 2 < 4 ⟹ −2 < 𝑥𝑥 < 2
Voor 𝑛𝑛(𝑥𝑥) in de noemer moet gelden: 𝑛𝑛(𝑥𝑥) ≠ 0 ⟹ 1 − 𝑥𝑥 ≠ 0 ⟹ 𝑥𝑥 ≠ 1
Dus domein: −2 < 𝑥𝑥 < 2 ∧ 𝑥𝑥 ≠ 1
2a. (5)
Los het stelsel van vergelijkingen op:
8 ∙ 𝑎𝑎 + 5 ∙ 𝑏𝑏 = 0
�
3 ∙ 𝑎𝑎 + 3 ∙ 𝑏𝑏 = 9
8 ∙ 𝑎𝑎 + 5 ∙ 𝑏𝑏 = 0 8 ∙ 𝑎𝑎 + 5 ∙ 𝑏𝑏 = 0 8 ∙ 𝑎𝑎 + 5 ∙ 𝑏𝑏 = 0
� ⟹ � ⟹ � ⟹ 3 ∙ 𝑎𝑎 = −15 ⟹ 𝑎𝑎 = −5 ⟹ 𝑏𝑏 = 8
3 ∙ 𝑎𝑎 + 3 ∙ 𝑏𝑏 = 9 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 = 3 5 ∙ 𝑎𝑎 + 5 ∙ 𝑏𝑏 = 15
1
, 2b. (6)
Bepaal het functievoorschrift voor
de lijn door de punten (–1, –3) en (4, –1)
Lijn: 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎 ⋅ 𝑥𝑥 + 𝑏𝑏
Δ𝑦𝑦 −1−(−3) 2
Richtingscoëfficiënt 𝑎𝑎 = = =
Δ𝑥𝑥 4−(−1) 5
2 2 3 13
Punt (–1, –3) ligt dus op 𝑦𝑦 = ⋅ 𝑥𝑥 + 𝑏𝑏 dus −3 = ⋅ −1 + 𝑏𝑏 ⟹ 𝑏𝑏 = −2 = −
5 5 5 5
2 13
Lijn: 𝑦𝑦 = ⋅ 𝑥𝑥 −
5 5
3a. (6)
Los de ongelijkheid op:
2𝑥𝑥 + 3 < −3𝑥𝑥 − 2 < −𝑥𝑥 + 2
Dit zijn twee ongelijkheden; drie lijnen.
Eerst de linkerongelijkheid:
2𝑥𝑥 + 3 < −3𝑥𝑥 − 2 ⟹ 5𝑥𝑥 < −5 ⟹ 𝑥𝑥 < −1
Eerst de rechterongelijkheid:
−3𝑥𝑥 − 2 < −𝑥𝑥 + 2 ⟹ −2𝑥𝑥 < 4 ⟹ 𝑥𝑥 > −2
De ongelijkheid geldt dus voor −2 < 𝑥𝑥 < −1
3b. (7)
Los de ongelijkheid op:
𝑥𝑥 + 5 > (𝑥𝑥 − 15)2
Wanneer ligt de lijn boven de parabool?
𝑥𝑥 + 5 = (𝑥𝑥 − 15)2 ⟹ 𝑥𝑥 + 5 = 𝑥𝑥 2 − 30𝑥𝑥 + 225
⟹ 𝑥𝑥 2 − 31𝑥𝑥 + 220 = 0
⟹ (𝑥𝑥 − 11)(𝑥𝑥 − 20) = 0
⟹ 𝑥𝑥 = 11 ∨ 𝑥𝑥 = 20
Het gaat hier om een dalparabool, dus de lijn ligt boven de parabool voor 11 < 𝑥𝑥 < 20
4a. (6)
Los de vergelijking op:
1 𝑥𝑥
�9� = 272𝑥𝑥+4
2
Faculteit Economie en Bedrijfskunde
Afdeling Economie en Econometrie
IQM – Introduction Quantitative Methods 7 januari 2015 19:00 – 21:30
Boek en grafische/algebraïsche/financiële calculator mogen niet gebruikt worden.
U mag geen boek of aantekeningen gebruiken. Alleen het toegevoegde formuleblad is toegestaan.
Bij elke opgave staat aangegeven hoeveel punten er verdiend kunnen worden. Het totaal aantal punten is 100.
Antwoorden zonder berekening en/of toelichting worden niet gehonoreerd.
Vanaf de volgende werkdag zijn de uitwerkingen te raadplegen via BlackBoard.
De uitslag wordt uiterlijk na 15 werkdagen bekend gemaakt.
De datum en tijd voor de inzage wordt spoedig bekend gemaakt op BlackBoard.
1a. (5)
Vereenvoudig zo ver mogelijk en
schrijf de macht van 𝑎𝑎 met een wortelteken:
6 ∙ 4√𝑎𝑎
𝑎𝑎
2
𝑎𝑎√𝑎𝑎
4
6 ∙ √𝑎𝑎
𝑎𝑎 6 ∙ 4√𝑎𝑎 𝑎𝑎√𝑎𝑎 1 1 1 1 3 4
= ∙ = 3 ∙ 4√𝑎𝑎 ∙ √𝑎𝑎 = 3 ∙ 𝑎𝑎4 ∙ 𝑎𝑎2 = 3 ∙ 𝑎𝑎4+2 = 3 ∙ 𝑎𝑎4 = 3 ∙ �𝑎𝑎3
2 𝑎𝑎 2
𝑎𝑎√𝑎𝑎
1b. (5)
Gegeven zijn de functies:
𝑡𝑡(𝑥𝑥) = log(4 − 𝑥𝑥 2 ) en 𝑛𝑛(𝑥𝑥) = 1 − 𝑥𝑥.
𝑡𝑡(𝑥𝑥)
Bepaal het domein van de functie 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑛𝑛(𝑥𝑥).
Voor 𝑡𝑡(𝑥𝑥) moet gelden: 4 − 𝑥𝑥 2 > 0 ⟹ 𝑥𝑥 2 < 4 ⟹ −2 < 𝑥𝑥 < 2
Voor 𝑛𝑛(𝑥𝑥) in de noemer moet gelden: 𝑛𝑛(𝑥𝑥) ≠ 0 ⟹ 1 − 𝑥𝑥 ≠ 0 ⟹ 𝑥𝑥 ≠ 1
Dus domein: −2 < 𝑥𝑥 < 2 ∧ 𝑥𝑥 ≠ 1
2a. (5)
Los het stelsel van vergelijkingen op:
8 ∙ 𝑎𝑎 + 5 ∙ 𝑏𝑏 = 0
�
3 ∙ 𝑎𝑎 + 3 ∙ 𝑏𝑏 = 9
8 ∙ 𝑎𝑎 + 5 ∙ 𝑏𝑏 = 0 8 ∙ 𝑎𝑎 + 5 ∙ 𝑏𝑏 = 0 8 ∙ 𝑎𝑎 + 5 ∙ 𝑏𝑏 = 0
� ⟹ � ⟹ � ⟹ 3 ∙ 𝑎𝑎 = −15 ⟹ 𝑎𝑎 = −5 ⟹ 𝑏𝑏 = 8
3 ∙ 𝑎𝑎 + 3 ∙ 𝑏𝑏 = 9 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 = 3 5 ∙ 𝑎𝑎 + 5 ∙ 𝑏𝑏 = 15
1
, 2b. (6)
Bepaal het functievoorschrift voor
de lijn door de punten (–1, –3) en (4, –1)
Lijn: 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎 ⋅ 𝑥𝑥 + 𝑏𝑏
Δ𝑦𝑦 −1−(−3) 2
Richtingscoëfficiënt 𝑎𝑎 = = =
Δ𝑥𝑥 4−(−1) 5
2 2 3 13
Punt (–1, –3) ligt dus op 𝑦𝑦 = ⋅ 𝑥𝑥 + 𝑏𝑏 dus −3 = ⋅ −1 + 𝑏𝑏 ⟹ 𝑏𝑏 = −2 = −
5 5 5 5
2 13
Lijn: 𝑦𝑦 = ⋅ 𝑥𝑥 −
5 5
3a. (6)
Los de ongelijkheid op:
2𝑥𝑥 + 3 < −3𝑥𝑥 − 2 < −𝑥𝑥 + 2
Dit zijn twee ongelijkheden; drie lijnen.
Eerst de linkerongelijkheid:
2𝑥𝑥 + 3 < −3𝑥𝑥 − 2 ⟹ 5𝑥𝑥 < −5 ⟹ 𝑥𝑥 < −1
Eerst de rechterongelijkheid:
−3𝑥𝑥 − 2 < −𝑥𝑥 + 2 ⟹ −2𝑥𝑥 < 4 ⟹ 𝑥𝑥 > −2
De ongelijkheid geldt dus voor −2 < 𝑥𝑥 < −1
3b. (7)
Los de ongelijkheid op:
𝑥𝑥 + 5 > (𝑥𝑥 − 15)2
Wanneer ligt de lijn boven de parabool?
𝑥𝑥 + 5 = (𝑥𝑥 − 15)2 ⟹ 𝑥𝑥 + 5 = 𝑥𝑥 2 − 30𝑥𝑥 + 225
⟹ 𝑥𝑥 2 − 31𝑥𝑥 + 220 = 0
⟹ (𝑥𝑥 − 11)(𝑥𝑥 − 20) = 0
⟹ 𝑥𝑥 = 11 ∨ 𝑥𝑥 = 20
Het gaat hier om een dalparabool, dus de lijn ligt boven de parabool voor 11 < 𝑥𝑥 < 20
4a. (6)
Los de vergelijking op:
1 𝑥𝑥
�9� = 272𝑥𝑥+4
2
