IQM tentamen 2017-1-11

Tentamen IQM 11-01-2017


1a. Vereenvoudig tot één breuk:
2 4
+
𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 𝑎𝑎
Uitwerking:
2 4 2𝑎𝑎 4(𝑎𝑎 − 𝑏𝑏)
+ = +
𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 𝑎𝑎 𝑎𝑎(𝑎𝑎 − 𝑏𝑏) 𝑎𝑎(𝑎𝑎 − 𝑏𝑏)
2𝑎𝑎 + 4𝑎𝑎 − 4𝑏𝑏
=
𝑎𝑎(𝑎𝑎 − 𝑏𝑏)
6𝑎𝑎 − 4𝑏𝑏
=
𝑎𝑎(𝑎𝑎 − 𝑏𝑏)


1b. Vereenvoudig tot één breuk:
9
√𝑥𝑥 ∙ �𝑦𝑦 6
3 6
√𝑥𝑥 ∙ �𝑦𝑦 4
Uitwerking:
1 9 3 3
9
√𝑥𝑥 ∙ �𝑦𝑦 6 𝑥𝑥 2 ∙ 𝑦𝑦 6 𝑥𝑥 6 ∙ 𝑦𝑦 2 1
6
3 6
= 1 6 = 2 3 = 𝑥𝑥 6 = √𝑥𝑥
√𝑥𝑥 ∙ �𝑦𝑦 4 𝑥𝑥 3 ∙ 𝑦𝑦 4 𝑥𝑥 6 ∙ 𝑦𝑦 2


2a. Lijn l gaat door het punt (0, 8) en staat loodrecht op lijn m met de vergelijking 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 + 3. Bepaal
het snijpunt van de lijnen l en m.
Uitwerking:
𝑚𝑚: 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 + 3
⟹ 2 is de richtingscoëfficiënt van lijn m
1
⟹ − is de richtingscoëfficiënt van lijn l
2
1
⟹ 𝑙𝑙: 𝑦𝑦 = − 2 𝑥𝑥 + 𝑏𝑏

Lijn l gaat door (0, 8) dus 𝑏𝑏 = 8
Snijpunt van l en m :
1 1
− 𝑥𝑥 + 8 = 2𝑥𝑥 + 3 ⟹ 5 = 22 ∙ 𝑥𝑥 ⟹ 𝑥𝑥 = 2 ⟹ 𝑦𝑦 = 2 ∙ 2 + 3 = 7 ⟹ snijpunt (2, 7)
2


2b. De parabool p met vergelijking 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎 𝑥𝑥 2 + 𝑏𝑏 𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 gaat door de punten (0, 6), (1, 0) en (2, –2).
Bepaal de coëfficiënten a, b en c.
Uitwerking:
Punten (x, y) invullen in 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎 𝑥𝑥 2 + 𝑏𝑏 𝑥𝑥 + 𝑐𝑐:

6 = 𝑎𝑎 ∙ 02 + 𝑏𝑏 ∙ 0 + 𝑐𝑐 6= 𝑐𝑐 𝑐𝑐=6 0 = 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 + 6 [1] −6 = 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏
� 0 = 𝑎𝑎 ∙ 12 + 𝑏𝑏 ∙ 1 + 𝑐𝑐 ⟹ � 0 = 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 ���� � �1��� �
−2 = 4𝑎𝑎 + 2𝑏𝑏 + 6 [2] ∙[2] −4 = 2𝑎𝑎 + 𝑏𝑏
−2 = 𝑎𝑎 ∙ 22 + 𝑏𝑏 ∙ 2 + 𝑐𝑐 −2 = 4𝑎𝑎 + 2𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 2
2 = 𝑎𝑎
⟹ 𝑎𝑎 = 2 ⟹ 0 = 2 + 𝑏𝑏 + 6 ⟹ 𝑏𝑏 = −8
Dus parabool p: 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 2 − 8𝑥𝑥 + 6

, 3a. Los op:
𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 − 4 < 𝑥𝑥 + 6 < 5
Uitwerking:
• Eerst de linkerongelijkheid: dalparabool onder een schuine lijn 𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 − 4 < 𝑥𝑥 + 6
Snijpunten:
𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 − 4 = 𝑥𝑥 + 6 ⟹ 𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 − 10 = 0 ⟹ (𝑥𝑥 − 5)(𝑥𝑥 + 2) = 0 ⟹ 𝑥𝑥 = 5 ∨ 𝑥𝑥 = −2
Ongelijkheid:
2
𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥 − 4 < 𝑥𝑥 + 6 ⟹ −2 < 𝑥𝑥 < 5
• Vervolgens de rechterongelijkheid: schuine lijn onder een horizontale lijn 𝑥𝑥 + 6 < 5 ⟹ 𝑥𝑥 < −1
• Dus samen:
−2 < 𝑥𝑥 < 5 ∧ 𝑥𝑥 < −1 ⟹ −2 < 𝑥𝑥 < −1


3b. Los op:
(𝑥𝑥 − 5)(𝑥𝑥 − 9) = 4
Uitwerking:
(𝑥𝑥 − 5)(𝑥𝑥 − 9) = 4 ⟹ 𝑥𝑥 2 − 14𝑥𝑥 + 45 = 4 ⟹ 𝑥𝑥 2 − 14𝑥𝑥 + 41 = 0
abc-formule voor 𝑥𝑥 2 − 14𝑥𝑥 + 41 = 0:
𝑏𝑏 2 − 4𝑎𝑎𝑎𝑎 = (−14)2 − 4 ∙ 1 ∙ 41 = 32 > 0 dus twee nulpunten
oplossingen:
−𝑏𝑏 ± √𝑏𝑏 2 − 4𝑎𝑎𝑎𝑎 14 ± √32 14 ± 4√2
𝑥𝑥 = = = = 7 ± 2√2
2𝑎𝑎 2 2
dus: 𝑥𝑥 = 7 − 2√2 ≈ 4,17 ∨ 𝑥𝑥 = 7 + 2√2 ≈ 9,83


4a. Bepaal de afgeleide van 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √5 − 3𝑥𝑥 en schrijf je antwoord zonder negatieve en gebroken
exponenten
Uitwerking:
1 kettingregel 1 1 −3
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √5 − 3𝑥𝑥 = (5 − 3𝑥𝑥)2 ��������� 𝑓𝑓 ′ (𝑥𝑥) = 2(5 − 3𝑥𝑥)−2 ∙ −3 =
2√5 − 3𝑥𝑥


4b. Bepaal de afgeleide en vereenvoudig: 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = (6𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥)(3𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥)
Uitwerking:
Differentiëren en daarna vereenvoudigen:
𝑔𝑔(𝑥𝑥) = (6𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥)(3𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥)
productregel
���������� 𝑔𝑔′ (𝑥𝑥) = (12𝑥𝑥 − 2)(3𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥) + (6𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥)(6𝑥𝑥 + 1)
= (36𝑥𝑥 3 + 6𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥) + (36𝑥𝑥 3 − 6𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥)
= 72𝑥𝑥 3 − 4𝑥𝑥
of: Eerst vereenvoudigen en daarna differentiëren:
𝑔𝑔(𝑥𝑥) = (6𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥)(3𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥) = 18𝑥𝑥 4 − 2𝑥𝑥 2
�� 𝑔𝑔′ (𝑥𝑥) = 72𝑥𝑥 3 − 4𝑥𝑥