Supplement B Wainting line models
Een waiting line zijn één of meer klanten die wachten voor een service. De klant kan een persoon zijn
of een levenloos object, zoals machines die onderhoud nodig hebben, verkoop orders die wachten
voor vervoer…
Het analyseren van waiting line problemen begint met een beschrijving van de situatie haar basis
elementen. Elke specifieke situatie heeft verschillende kenmerken, maar 4 elementen zijn hetzelfde
in alle situaties:
1. Een input, oftewel customer population, die potentiële klanten genereren.
2. Een waiting line van klanten
3. De service facility, een persoon, een machine, of beide die nodig zijn om de dienst te
verlenen voor de klant.
4. Een priority rule, een rule dat de volgorde van klanten selecteert die worden bedient door
de service facility.
Het service system beschrijft het aantal lijnen en de opstelling van de faciliteiten.
Er bestaat een verschil tussen beperkte (finite) lijnen en onbeperkte (infinite) lijnen. In het 2e geval is
er een eindeloze populatie.
Service facility arrangement (opstelling) wordt beschreven door het aantal channels en phases. Een
channel is een of meer voorzieningen die nodig zijn om een bepaalde dienst te verrichten. Een phase
is een enkele stap in het verstrekken van de service.
De priority rule bepaalt welke klant als volgt geholpen wordt. meeste service systemen gebruiken de
first come, first served (FCFS) rule. Andere priority regels zijn erliest promised due date (EDD) of de
klant met de kortste verwachte processing time (SPT).
Een preemptive discipline is een regel die een klant van een hogere prioriteit het mogelijk maakt om
de dienst van een andere klant te onderbreken.
Klanten arriveren bij service faciliteiten op willekeurige momenten. De variabiliteit van klanten die
aankomen kunnen vaak ingedeeld worden in een Poisson distributie, die de waarschijnlijkheid
aangeeft dat n klanten zullen arriveren in T tijd periode:
(𝝀𝑻)^𝒏 -λT
Pn = e
𝒏!
Pn = de kant dat n aankomsten zijn in T tijd periode
λ = gemiddeld aantal klanten die arriveren per periode
, e = 2,7183
n = 0,1,2,3….
Het gemiddelde (mean) van de Poisson verdeling is λT, en de variatie is ook λT. De Poisson verdeling
is een discrete verdeling; dat is, de kansen zijn voor specifiek aantal arrivals per unit of tijd…
Een andere manier om aankomst verdelingen te specificeren is het om te doen op het gebied van
klanten interrival times, dat is de tijd tussen klanten die arriveren.
De exponentiele distributie beschrijft de probability dat de service tijd van de klant bij een bepaalde
faciliteit zal niet meer zijn dan T time periodes. De probability kan uitgerekend worden door de
volgende formule: P (t <of= T) = 1- e-μT
μ = de gemiddelde aantal klanten die de service afmaken per periode
t = de service tijd van de klant
T = de target service tijd.
De mean van de service tijd distributie is 1/μ. En de variatie is (1/μ)2. Als T hoger wordt, zal de
probability dat de customer service time wordt kleiner wanneer T de 1,0 nadert.
De makkelijkste waiting line model is de single service met een single line van klanten, oftewel de
single-channel, single-phase systeem. Om verder te specificeren van de single server model, maken
we de volgende veronderstellingen:
1. De klant populatie is oneindig en alle klanten zijn geduldig (ze blijven in de rij totdat ze
geholpen zijn);
2. De klanten arriveren volgens een Poisson verdeling, met een gemiddelde aankomst rate van
λ;
3. De service verdeling is exponentieel, met een gemiddelde service rate van μ;
4. De gemiddelde service rate overschrijdt de gemiddelde arrival rate.
5. Klanten worden bediend op de first-come, first served manier.
6. De lengte van een waiting line is oneindig.
De formules die hierbij horen zijn:
𝜆
p=𝜇 (p is de gemiddelde bezettingsgraad van het systeem)
Pn = (1-p) pn (Pn is de probability dat n klanten in het systeem zitten)
P0 = 1- p (P0 is de probability dat nul klanten in het systeem zitten)
𝜆
L = 𝜇−𝜆 (L is het gemiddeld aantal klanten in het service systeem)
Lq = pL (Lq is het gemiddeld aantal klanten in de waiting line)
1
W= 𝜇−𝜆 (W is de gemiddelde tijd in het systeem, inclusief de service)
Wq = pW (Wq is de gemiddelde waiting tijd in de lijn)
Een waiting line zijn één of meer klanten die wachten voor een service. De klant kan een persoon zijn
of een levenloos object, zoals machines die onderhoud nodig hebben, verkoop orders die wachten
voor vervoer…
Het analyseren van waiting line problemen begint met een beschrijving van de situatie haar basis
elementen. Elke specifieke situatie heeft verschillende kenmerken, maar 4 elementen zijn hetzelfde
in alle situaties:
1. Een input, oftewel customer population, die potentiële klanten genereren.
2. Een waiting line van klanten
3. De service facility, een persoon, een machine, of beide die nodig zijn om de dienst te
verlenen voor de klant.
4. Een priority rule, een rule dat de volgorde van klanten selecteert die worden bedient door
de service facility.
Het service system beschrijft het aantal lijnen en de opstelling van de faciliteiten.
Er bestaat een verschil tussen beperkte (finite) lijnen en onbeperkte (infinite) lijnen. In het 2e geval is
er een eindeloze populatie.
Service facility arrangement (opstelling) wordt beschreven door het aantal channels en phases. Een
channel is een of meer voorzieningen die nodig zijn om een bepaalde dienst te verrichten. Een phase
is een enkele stap in het verstrekken van de service.
De priority rule bepaalt welke klant als volgt geholpen wordt. meeste service systemen gebruiken de
first come, first served (FCFS) rule. Andere priority regels zijn erliest promised due date (EDD) of de
klant met de kortste verwachte processing time (SPT).
Een preemptive discipline is een regel die een klant van een hogere prioriteit het mogelijk maakt om
de dienst van een andere klant te onderbreken.
Klanten arriveren bij service faciliteiten op willekeurige momenten. De variabiliteit van klanten die
aankomen kunnen vaak ingedeeld worden in een Poisson distributie, die de waarschijnlijkheid
aangeeft dat n klanten zullen arriveren in T tijd periode:
(𝝀𝑻)^𝒏 -λT
Pn = e
𝒏!
Pn = de kant dat n aankomsten zijn in T tijd periode
λ = gemiddeld aantal klanten die arriveren per periode
, e = 2,7183
n = 0,1,2,3….
Het gemiddelde (mean) van de Poisson verdeling is λT, en de variatie is ook λT. De Poisson verdeling
is een discrete verdeling; dat is, de kansen zijn voor specifiek aantal arrivals per unit of tijd…
Een andere manier om aankomst verdelingen te specificeren is het om te doen op het gebied van
klanten interrival times, dat is de tijd tussen klanten die arriveren.
De exponentiele distributie beschrijft de probability dat de service tijd van de klant bij een bepaalde
faciliteit zal niet meer zijn dan T time periodes. De probability kan uitgerekend worden door de
volgende formule: P (t <of= T) = 1- e-μT
μ = de gemiddelde aantal klanten die de service afmaken per periode
t = de service tijd van de klant
T = de target service tijd.
De mean van de service tijd distributie is 1/μ. En de variatie is (1/μ)2. Als T hoger wordt, zal de
probability dat de customer service time wordt kleiner wanneer T de 1,0 nadert.
De makkelijkste waiting line model is de single service met een single line van klanten, oftewel de
single-channel, single-phase systeem. Om verder te specificeren van de single server model, maken
we de volgende veronderstellingen:
1. De klant populatie is oneindig en alle klanten zijn geduldig (ze blijven in de rij totdat ze
geholpen zijn);
2. De klanten arriveren volgens een Poisson verdeling, met een gemiddelde aankomst rate van
λ;
3. De service verdeling is exponentieel, met een gemiddelde service rate van μ;
4. De gemiddelde service rate overschrijdt de gemiddelde arrival rate.
5. Klanten worden bediend op de first-come, first served manier.
6. De lengte van een waiting line is oneindig.
De formules die hierbij horen zijn:
𝜆
p=𝜇 (p is de gemiddelde bezettingsgraad van het systeem)
Pn = (1-p) pn (Pn is de probability dat n klanten in het systeem zitten)
P0 = 1- p (P0 is de probability dat nul klanten in het systeem zitten)
𝜆
L = 𝜇−𝜆 (L is het gemiddeld aantal klanten in het service systeem)
Lq = pL (Lq is het gemiddeld aantal klanten in de waiting line)
1
W= 𝜇−𝜆 (W is de gemiddelde tijd in het systeem, inclusief de service)
Wq = pW (Wq is de gemiddelde waiting tijd in de lijn)
