Samenvatting Elektriciteit en Magnetisme

Elektriciteit en magnetisme

2022


20 Wet van Coulomb
We beschouwen twee ladingen, q1 en q2 , op een afstand r van elkaar. Voor de kracht F~12 van q1 op q2 geldt
dat
kq1 q2 ~r12
F~12 = 2 r̂12 met r̂12 = (20.1)
r12 |r12 |
met k = 9.0 · 109 .

Stel we zetten een deeltje met lading q in een elektrisch veld. We meten een kracht F~ op het deeltje. De
~ is dan gedefineerd als
elektrische veldsterkte E

~
~ =F
E Definitie veld (20.2)
q
Stel we beschouwen het elektrisch veld van een puntlading q. We zetten een testlading met lading qtest op
een afstand r van de puntlading neer. Dit invullen in formule 20.2 en vervolgens F~ vervangen voor formule
20.1 geeft
~
~ = F = kq r̂
E Veld puntlading (20.3)
qtest r2
Een veel voorkomende situatie is een dipool. Zie figuur 1. We zijn geı̈nteresseerd naar het elektrisch veld in
een punt met x-coördinaat x precies tussen de twee ladingen in. Zie de rode stip. In dit punt is




Figuur 1: Elektrisch dipool


~ = Ey ̂
E
kq −d/2 −kq d/2
= ̂ + 2 ̂
x2 2 2
p p
+ (d/2) 2
x + (d/2) 2 x + (d/2) x + (d/2)2
2

−kqd
= ̂
(x2 + (d/2)2 )3/2

1

, Vaak komt voor dat x >> d/2. De bovenstaande vergelijking wordt dan

~ = −kqd ̂
E Veld dipool, x >> d (20.4)
|x|3
Stel we willen het elektrisch veld weten op de as van de dipool en y >> d, dat is E gegeven door

~ = 2kqd ̂
E Veld dipool, y >> d (20.5)
|y|3
Met vergelijking 20.3 is het mogelijk het elektrisch veld van een puntlading te berekenen. Stel we willen het
elektrisch veld van een object berekenen, wat bestaat uit oneindig veel ladingen. Dit dat geval nemen we een
integraal van alle kleine puntladingen, ofwel
Z Z
~ = dE ~ = kdq
E r̂ (20.6)
r2
~ Dan geldt F~net = m~a en Fnet = Eq,
We beschouwen een object met massa m in een elektrisch veld E. ~ dus
kan worden gezegd
q ~
~a = E (20.7)
m

21 Wet van Gauss
In het algemeen geldt dat het aantal veldlijnen dat uit een gesloten oppervlakte komt evenredig is met de
hoeveelheid ingesloten lading.

De elektrische flux ΦE door een niet gekromd oppervlak A wordt gegeven door
~ ·A
ΦE = E ~ (21.1)

waar A~ de oppervlakte vector is. Deze staat altijd loodrecht op het oppervlak en |A|
~ = oppervlak. Daarnaast
~
is A altijd naar buiten gericht.
Stel we willen de flux door een oppervlakte weten, maar het oppervlakte is gekromd, waardoor de hoek
tussen E~ en A~ overal op het object anders is, waardoor formule 21.1 niet voldoet. In dat geval delen we het
oppervlakte op in oneindig veel kleine oppervlaktes dA, ~ zo klein dat er geen kromming is, en sommeren de
~
flux van al deze oppervlaktes dA. Dit geeft de algemene formule voor flux:
Z
ΦE = E ~ · dA
~ (21.2)

Zoals al eerder opgemerkt is het aantal veldlijnen dat uit een gesloten oppervlakte komt evenredig met de
ingesloten lading qe . Het aantal veldlijnen uit een gesloten oppervlakte is niets anders dan de flux door een
gesloten oppervlak, wiskundig weten we dus dat
I
ΦE = E ~ · dA
~ ∝ qe

Nu is het zaak de evenredigheidsconstante te vinden. Hiervoor beschouwen we een puntlading met lading q
in het midden van een bol met straal r. Voor de flux door deze bol geldt
I
ΦE = E ~ · dA
~
I
= E(r) dA

= E(r)4πr2
kq
= 2 4πr2
r
= 4πkq

2