Hoofdstuk 1 hele getallen – hele getallen – rekenen
1.1 Getallen zie je overal
Getallen helpen je om de wereld te ordenen te structureren en te organiseren. Getallen komen in
het dagelijks leven in veel verschillende situaties en betekenissen voor. De betekenis van een getal
hangt af van de verschijningsvorm of functie van het getal.
- Telgetal/ordinaal getal: Geeft de rangorde aan in de telrij.
- Hoeveelheidsgetal /kardinaal getal: Geeft een bepaalde hoeveelheid aan.
- Naamgetal: Geeft het getal een naam.
- Meetgetal: Geeft een maat aan.
- Formeel getal: Is een kaal rekengetal.
1.1.1 Getallen
Met de getallen waarmee we tellen, natuurlijke getallen, kun je ook rekenen. De uitkomsten zijn dan
opnieuw natuurlijke getallen.
Het concept ‘negatieve getallen’ kunnen kinderen vaak al op de basisschool begrijpen doordat ze
negatieve getallen al kennen als meetgetal. De hele getallen bestaan uit alle natuurlijke getallen en
de negatieve hele getallen.
1.2 Ons getalsysteem
Getallen kunnen op verschillende manier worden weergegeven. Het systeem om getallen in een rij
cijfers weer te geven, heet talstelsel, getallenstelsel of getalsysteem.
1.2.1 Eigenschappen van het getalsysteem
Het Arabische getalsysteem kent een decimale structuur. Decimaal betekent tientallig. Het bestaat
uit de cijfers 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 en 9. Hiermee kunnen alle getallen geschreven worden door
gebruik te maken van de plaats van een cijfer in een getal. Een getal bestaat uit één of meer
cijfersymbolen. De plaats of positie van een cijfer bepaalt de waarde van het cijfer (plaatswaarde of
positiewaarde).
Deze manier van hoeveelheden noteren (positionele notatie) is kenmerkend voor een positioneel
getalsysteem. Er zijn diverse getalsystemen met andere symbolen die positioneel zijn.
1.2.2 Uit de geschiedenis van getalsystemen
Er zijn nog andere getalsystemen bekend. In het dagelijks leven zie je ook nog sporen terug van het
Romeinse getalsysteem. Het Egyptische en het Romeinse getalsysteem zijn voorbeelden van een
additief systeem waarin de waarde van het voorgestelde getal bepaald wordt door het totaal van de
symbolen.
In het nieuw-Romeinse getalsysteem werd ook gebruikgemaakt van het substractief principe: as een
symbool met een kleiner waarde voor een symbool met een hogere waarde staat, wordt de waarde
van het eerste symbool afgetrokken van de waarde van het tweede symbool.
1.2.3 Andere talstelsels
Naast ons decimale (tientallig) talstelsel komen in ons dagelijks leven ook andere getalsystemen of
talstelsels voor. Zo draait de computerwereld op het binaire (tweetallig) en hexadecimale
(zestientallig) talstelsel. Ook het sexagesimale (zestigtallig) of Babylonische getalsysteem is nog terug
te vinden, namelijk in onze tijd- en hoekmeting.
,Al deze talsystemen onderscheiden zich van het decimale talstelsel doordat ze een andere basis
hebben.
1.3 Eigenschappen van getallen
1.3.1 Deelbaarheid
Splitsen en ontbinden zijn belangrijke vaardigheden bij het rekenen met hele getallen. Bij ontbinden
kun je handig gebruikmaken van de deelbaarheid van getallen.
Een getal is deelbaar door een ander getal als de rest bij de deling gelijk is aan 0.
- Getallen deelbaar door 10 eindigen op een 0.
- Getallen deelbaar door 5 eindigen op een 5 of een 0.
- Getallen deelbaar door 2 eindigen op 0, 2, 4, 6 en 8.
- Een getal is deelbaar door 4 als de laatste twee cijfers van het getal deelbaar zijn door 4.
- Een getal is deelbaar door 8 als de laatste drie cijfers van het getal deelbaar zijn door 8.
- Een getal is deelbaar door 3 als de som van de cijfers deelbaar is door 3.
- Een getal is deelbaar door 9 als de som van de cijfers deelbaar is door 9.
- Een getal is deelbaar door 6 wanneer het getal deelbaar is door 2 en 3.
1.3.2 Priemgetallen
Een priemgetal is een getal dat alleen zichzelf en het getal 1 als deler heeft.
Getallen kun je ontbinden in factoren. Ontbinden is het zoeken naar getallen die met elkaar
vermenigvuldigd weer het oorspronkelijke getal opleveren. Je rekent dan uit door welke
priemgetallen je het getal kunt delen.
GGD staat voor grootste gemene deler. Het gaat om het grootste getal dat deler is van twee of meer
getallen. zo is de grootste gemene deler van 36 en 54 gelijk aan 18. Het getal 36 kun je immers delen
door 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 en 36, en het getal 54 kun je delen door 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27 en 54.
KGV staat voor kleinste gemene veelvoud. Het gaat om het kleinste getal dat veelvoud is van twee of
meer getallen. Bijvoorbeeld: Het kleinste gemene veelvoud van 6 en 15 is 30. 30 kun je immers delen
door 6 en door 15, en er is geen kleiner getal met die eigenschap.
1.3.3 Volmaakte getallen
Een volmaakt getal is een positief getal dat gelijk is aan de som van zijn delers, behalve zichzelf. Zo is
het getal 6 een volmaakt getal. Als je de delers optelt, kom je op het getal 6 uit. De enige twee
volmaakte getallen onder de 100 zijn 6 en 28. Het volgende volmaakte getal is 496.
1.3.4 Figurale getallen
Figurale getallen zijn getallen die je in een stippenpatroon kunt leggen. Zo heb je driehoeksgetallen,
rechthoeksgetallen en vierkantsgetallen.
1.4 Basisbewerkingen
1.4.1 Betekenissen van bewerkingen
De betekenissen van de basisbewerkingen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen kunnen uit
allerlei situaties worden afgeleid. Optellen kan de betekenis hebben van samen nemen, aanvullen of
toevoegen. Aftrekken kan de betekenis hebben van eraf halen, weghalen of wegnemen,
verminderen, wegdenken en verschil bepalen tussen twee getallen.
, Vermenigvuldigen kan de betekenis hebben van herhaald optellen, oppervlakte bepalen,
combineren, gelijke sprongen maken en op schaal vergroten.
Ook de bewerking delen heeft verschillende betekenissen. Delen kan de betekenis hebben van
herhaald aftrekken, opdelen en verdelen.
1.4.2 Eigenschappen van bewerkingen
Bij het rekenen met getallen kan je gebruikmaken van diverse eigenschappen van bewerkingen.
Zo kun je bij het optellen en vermenigvuldigen gebruikmaken van commutatieve of wisseleigenschap,
waarbij je de termen of factoren mag verwisselen. De wisseleigenschap geldt niet voor aftrekken en
delen.
Ook kun je bij optellen en vermenigvuldigen gebruikmaken van de associatieve eigenschap. Bij
optellen of vermenigvuldigen van drie of meer getallen kun je kiezen welke getallen je eerst optelt of
vermenigvuldigt.
Bij optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen kun je ook gebruikmaken van de distributieve of
verdeel eigenschap.
Tot slot kun je de inverse relatie tussen optellen en aftrekken en tussen vermenigvuldigen en delen
benutten.
1.5 Wiskundetaal bij hele getallen
1.5.1 Uitspraak en notatie van hele getallen
Getallen kunnen worden aangeduid in cijfersymbolen en met woorden. Daarbij is het van belang om
je te realiseren dat in het Nederlands de volgorde van noteren in cijfersymbolen verschilt van de
volgorde van uitspreken en schrijven in woorden.
1.5.2 Relaties tussen getallen en hoeveelheden
Om de relatie tussen getallen en hoeveelheden aan te duiden, kun je de volgende begrippen
gebruiken: meer, minder, evenveel, bijna, ruim, afgerond, ongeveer en gemiddeld.
1.5.3 De taal van bewerkingen
Een bewerking bestaat uit verschillende termen en functies. De termen zijn vaak getallen, maar
kunnen ook letters zijn (x, y) en de functies geven aan wat er met die termen gebeurt, zoals + voor
optellen en - voor aftrekken.
1.1 Getallen zie je overal
Getallen helpen je om de wereld te ordenen te structureren en te organiseren. Getallen komen in
het dagelijks leven in veel verschillende situaties en betekenissen voor. De betekenis van een getal
hangt af van de verschijningsvorm of functie van het getal.
- Telgetal/ordinaal getal: Geeft de rangorde aan in de telrij.
- Hoeveelheidsgetal /kardinaal getal: Geeft een bepaalde hoeveelheid aan.
- Naamgetal: Geeft het getal een naam.
- Meetgetal: Geeft een maat aan.
- Formeel getal: Is een kaal rekengetal.
1.1.1 Getallen
Met de getallen waarmee we tellen, natuurlijke getallen, kun je ook rekenen. De uitkomsten zijn dan
opnieuw natuurlijke getallen.
Het concept ‘negatieve getallen’ kunnen kinderen vaak al op de basisschool begrijpen doordat ze
negatieve getallen al kennen als meetgetal. De hele getallen bestaan uit alle natuurlijke getallen en
de negatieve hele getallen.
1.2 Ons getalsysteem
Getallen kunnen op verschillende manier worden weergegeven. Het systeem om getallen in een rij
cijfers weer te geven, heet talstelsel, getallenstelsel of getalsysteem.
1.2.1 Eigenschappen van het getalsysteem
Het Arabische getalsysteem kent een decimale structuur. Decimaal betekent tientallig. Het bestaat
uit de cijfers 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 en 9. Hiermee kunnen alle getallen geschreven worden door
gebruik te maken van de plaats van een cijfer in een getal. Een getal bestaat uit één of meer
cijfersymbolen. De plaats of positie van een cijfer bepaalt de waarde van het cijfer (plaatswaarde of
positiewaarde).
Deze manier van hoeveelheden noteren (positionele notatie) is kenmerkend voor een positioneel
getalsysteem. Er zijn diverse getalsystemen met andere symbolen die positioneel zijn.
1.2.2 Uit de geschiedenis van getalsystemen
Er zijn nog andere getalsystemen bekend. In het dagelijks leven zie je ook nog sporen terug van het
Romeinse getalsysteem. Het Egyptische en het Romeinse getalsysteem zijn voorbeelden van een
additief systeem waarin de waarde van het voorgestelde getal bepaald wordt door het totaal van de
symbolen.
In het nieuw-Romeinse getalsysteem werd ook gebruikgemaakt van het substractief principe: as een
symbool met een kleiner waarde voor een symbool met een hogere waarde staat, wordt de waarde
van het eerste symbool afgetrokken van de waarde van het tweede symbool.
1.2.3 Andere talstelsels
Naast ons decimale (tientallig) talstelsel komen in ons dagelijks leven ook andere getalsystemen of
talstelsels voor. Zo draait de computerwereld op het binaire (tweetallig) en hexadecimale
(zestientallig) talstelsel. Ook het sexagesimale (zestigtallig) of Babylonische getalsysteem is nog terug
te vinden, namelijk in onze tijd- en hoekmeting.
,Al deze talsystemen onderscheiden zich van het decimale talstelsel doordat ze een andere basis
hebben.
1.3 Eigenschappen van getallen
1.3.1 Deelbaarheid
Splitsen en ontbinden zijn belangrijke vaardigheden bij het rekenen met hele getallen. Bij ontbinden
kun je handig gebruikmaken van de deelbaarheid van getallen.
Een getal is deelbaar door een ander getal als de rest bij de deling gelijk is aan 0.
- Getallen deelbaar door 10 eindigen op een 0.
- Getallen deelbaar door 5 eindigen op een 5 of een 0.
- Getallen deelbaar door 2 eindigen op 0, 2, 4, 6 en 8.
- Een getal is deelbaar door 4 als de laatste twee cijfers van het getal deelbaar zijn door 4.
- Een getal is deelbaar door 8 als de laatste drie cijfers van het getal deelbaar zijn door 8.
- Een getal is deelbaar door 3 als de som van de cijfers deelbaar is door 3.
- Een getal is deelbaar door 9 als de som van de cijfers deelbaar is door 9.
- Een getal is deelbaar door 6 wanneer het getal deelbaar is door 2 en 3.
1.3.2 Priemgetallen
Een priemgetal is een getal dat alleen zichzelf en het getal 1 als deler heeft.
Getallen kun je ontbinden in factoren. Ontbinden is het zoeken naar getallen die met elkaar
vermenigvuldigd weer het oorspronkelijke getal opleveren. Je rekent dan uit door welke
priemgetallen je het getal kunt delen.
GGD staat voor grootste gemene deler. Het gaat om het grootste getal dat deler is van twee of meer
getallen. zo is de grootste gemene deler van 36 en 54 gelijk aan 18. Het getal 36 kun je immers delen
door 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 en 36, en het getal 54 kun je delen door 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27 en 54.
KGV staat voor kleinste gemene veelvoud. Het gaat om het kleinste getal dat veelvoud is van twee of
meer getallen. Bijvoorbeeld: Het kleinste gemene veelvoud van 6 en 15 is 30. 30 kun je immers delen
door 6 en door 15, en er is geen kleiner getal met die eigenschap.
1.3.3 Volmaakte getallen
Een volmaakt getal is een positief getal dat gelijk is aan de som van zijn delers, behalve zichzelf. Zo is
het getal 6 een volmaakt getal. Als je de delers optelt, kom je op het getal 6 uit. De enige twee
volmaakte getallen onder de 100 zijn 6 en 28. Het volgende volmaakte getal is 496.
1.3.4 Figurale getallen
Figurale getallen zijn getallen die je in een stippenpatroon kunt leggen. Zo heb je driehoeksgetallen,
rechthoeksgetallen en vierkantsgetallen.
1.4 Basisbewerkingen
1.4.1 Betekenissen van bewerkingen
De betekenissen van de basisbewerkingen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen kunnen uit
allerlei situaties worden afgeleid. Optellen kan de betekenis hebben van samen nemen, aanvullen of
toevoegen. Aftrekken kan de betekenis hebben van eraf halen, weghalen of wegnemen,
verminderen, wegdenken en verschil bepalen tussen twee getallen.
, Vermenigvuldigen kan de betekenis hebben van herhaald optellen, oppervlakte bepalen,
combineren, gelijke sprongen maken en op schaal vergroten.
Ook de bewerking delen heeft verschillende betekenissen. Delen kan de betekenis hebben van
herhaald aftrekken, opdelen en verdelen.
1.4.2 Eigenschappen van bewerkingen
Bij het rekenen met getallen kan je gebruikmaken van diverse eigenschappen van bewerkingen.
Zo kun je bij het optellen en vermenigvuldigen gebruikmaken van commutatieve of wisseleigenschap,
waarbij je de termen of factoren mag verwisselen. De wisseleigenschap geldt niet voor aftrekken en
delen.
Ook kun je bij optellen en vermenigvuldigen gebruikmaken van de associatieve eigenschap. Bij
optellen of vermenigvuldigen van drie of meer getallen kun je kiezen welke getallen je eerst optelt of
vermenigvuldigt.
Bij optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen kun je ook gebruikmaken van de distributieve of
verdeel eigenschap.
Tot slot kun je de inverse relatie tussen optellen en aftrekken en tussen vermenigvuldigen en delen
benutten.
1.5 Wiskundetaal bij hele getallen
1.5.1 Uitspraak en notatie van hele getallen
Getallen kunnen worden aangeduid in cijfersymbolen en met woorden. Daarbij is het van belang om
je te realiseren dat in het Nederlands de volgorde van noteren in cijfersymbolen verschilt van de
volgorde van uitspreken en schrijven in woorden.
1.5.2 Relaties tussen getallen en hoeveelheden
Om de relatie tussen getallen en hoeveelheden aan te duiden, kun je de volgende begrippen
gebruiken: meer, minder, evenveel, bijna, ruim, afgerond, ongeveer en gemiddeld.
1.5.3 De taal van bewerkingen
Een bewerking bestaat uit verschillende termen en functies. De termen zijn vaak getallen, maar
kunnen ook letters zijn (x, y) en de functies geven aan wat er met die termen gebeurt, zoals + voor
optellen en - voor aftrekken.
