Getallen en bewerkingen – Hele getallen & Wiskunde in de praktijk: Kennisbasis
Brom-Snijders, P. van den, Bergh, J. van den, Hutten, O., & Zanten, M. van (2014). Hele getallen.
Amersfoort: ThiemeMeulenhoff. Hoofdstuk 1, 2, 3, 4, 5, 7 en 8 (alleen p. 225 en 226).
Oonk, W., Keijzer, R., Lit, S., & Figueiredeo, N. (2020). Rekenen en wiskunde in de praktijk:
Kennisbasis. (2e ed.) Groningen: Noordhoff. Hoofdstuk 1
,Getallen en bewerkingen – Hele getallen
Hoofdstuk 1: Hele getallen
1.1 Getallen zie je overal
Zonder getallen zou de samenleving tot stilstand komen te staan. Ook het geluid uit
oordopjes en beelden op een beeldscherm bestaan uit getallen.
Getallen helpen je om de wereld te ordenen, te structureren en te organiseren. Ze komen in
veel verschillende situaties en betekenissen voor.
De betekenis van een getal hangt af van de verschijningsvorm of de functie.
o Telgetal of ordinaal getal = rangorde in de telrij of een nummer.
1, 2, 3, 4 etc.
De eerste, de tweede, nummer 3 etc.
o Hoeveelheidsgetal of kardinaal getal = een hoeveelheid.
o Naamgetal = het getal heeft een naam.
Buslijn 4, buslijn 13, buslijn A.
o Meetgetal = geeft een maat aan, er staat ook altijd een maat bij!
Vier jaar, vijf meter, 10 graden etc.
o Formeelgetal = een kaal rekengetal (zoals in een som).
36 x 125 = 4500.
1.1.1 Getallen
Natuurlijke getallen = getallen waarmee we tellen en rekenen
Negatieve getallen kan je vergelijken met meetgetallen: temperatuur/graden onder nul.
Hele getallen = alle natuurlijke en hele negatieve getallen.
1.2 Ons getalsysteem
Talstelsel/ getallenstelsel/ getalsysteem = het systeem om getallen in een rij cijfers weer te
geven.
o Ons getalsysteem is in 1202 door Leonardo van Pisa in West-Europa geïntroduceerd.
1.2.1 Eigenschappen van het getalsysteem
Het Arabische getalsysteem:
o Decimaal = tientallig
o 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
o Alle getallen kunnen worden gemaakt a.d.h.v. de plaatswaarde/positiewaarde van
het cijfer.
325: de 3 is 300 waard, de 2 is 20 waard, de 5 is 5 waard.
Positionele notatie: de manier waarop de cijfers worden genoteerd.
1.2.2 Uit de geschiedenis van getalsystemen
Het Egyptische en Romeinse getalsysteem is een additief systeem. Dit betekent dat de
waarde van het getal bepaald wordt door het totaal van de symbolen.
Het nieuw-Romeinse getalsysteem heeft een substractief principe. Dit houdt in dat als je een
bepaald symbool voor het andere symbool wordt geplaatst, je de waarde hiervan van elkaar
aftrekt.
o Alleen de volgende combinaties zijn hierbij toegestaan:
I voor V
I voor X
X voor L
X voor C
C voor D
C voor M
o Nieuw-Romeinse getalsysteem: 14 = XIV
o Oud-Romeinse getalsysteem: 14 = XIII
, In het nieuw-Romeinse getalsysteem mogen de V, L en D maar één keer voorkomen.
Het Egyptische getalsysteem
1.2.3 Andere talstelsels Het Romeinse getalsysteem
Binaire getalsysteem: tweetallig – alle getallen
worden geschreven met twee cijfers (0 en 1).
Symbolen van de Maya's Octale getalsysteem: achttallig – de basis is acht.
Hexadecimale getalsysteem: zestientallig – de basis is zestien.
Sexagesimale getalsysteem: zestigtallig – de basis is zestig.
Babylonische getalsysteem
Metriek stelsel: elke eenheid wordt in stappen van toen groter of kleiner.
1.3 Eigenschappen van getallen
Hele getallen hebben verschillende en bijzondere eigenschappen.
1.3.1 Deelbaarheid
Een getal is deelbaar door een ander getal als de ‘rest’ bij de deling gelijk is aan 0.
Deelbaar door 2
o 10, 100, 1000 etc. zijn allemaal deelbaar door 2
o Alle getallen die de volgende eindcijfers hebben: 0, 2, 4, 6 of 8 (even getal!).
Deelbaar door 3
o De som van de cijfers is deelbaar door 3.
Deelbaar door 4
o 100, 1000 etc. zijn allemaal deelbaar door 4
o Als het getal dat gevormd wordt door de laatste twee cijfers, deelbaar is door 4.
o Voorbeeld: 356 is deelbaar door 4. 56:4 = 14.
Deelbaar door 5
o Alle getallen die de volgende eindcijfers hebben: 0 of 5.
Deelbaar door 6
o Het getal moet even zijn.
o De som van de cijfers moet deelbaar zijn door 3.
Voorbeeld: 356 is niet deelbaar door 6, want 3 + 5 + 6 = 14. 14 kan je niet
delen door 3.
Deelbaar door 7
o Het laatste cijfer van het getal afhalen. Dit keer 2. Dat afhalen van het hele getal. Als
je de uitkomst kan delen door 7, is het deelbaar door 7!
Voorbeeld: 364 is deelbaar door 7. 36 - (4 x 2) = 36. 36 - 8 = 28. 28 : 7 = 4.
Deelbaar door 8
o Het getal dat wordt gevormd door de laatste 3 cijfers deelbaar is door 8.
Voorbeeld: 456 is deelbaar door 8. 400 : 8 = 50 en 56 : 8 = 7.
Deelbaar door 9
o De som van de cijfers is deelbaar door 9.
Deelbaar door 10
o Alle getallen die het volgende eindcijfer heeft: 0.
1.3.2 Priemgetallen
Priemgetal (strookgetal) = een getal dat allen zichzelf en 1 als deler heeft.
, Getallen kun je ontbinden in factoren. Ontbinden is het zoeken naar getallen die met elkaar
vermenigvuldigd weer het oorspronkelijke getal opleveren.
GGD = grootse gemene deler.
o Het grootste getal dat deler is van twee of meer hele getallen.
o Ontbinden in factoren om de GGD te bepalen!
KGV = kleinste gemene veelvoud.
o Het kleinste getal dat veelvoud is van twee of meer getallen (dat kleinste getal kan
gedeeld worden door de twee of meer andere getallen.
o Ontbinden in factoren om de KGV te bepalen!
Voorbeeld GGD
Bepaal de GGD van 24 en 92.
24 = 2 x 2 x 2 x 3
92 = 2 x 2 x 23
GGD = 2 x 2 = 4 (de overeenkomstige priemfactoren met elkaar vermenigvuldigen)
1.3.3 Volmaakte getallen
Volmaakt getal = een positief getal dat gelijk is aan de som van zijn delers, behalve zichzelf.
Volmaakte getallen onder de 100:
Voorbeeld KGV
Bepaal de KGV van 14 en 26.
14 = 2 x 7
26 = 2 x 13
KGV = 2 x 7 x 13 = 182 (niet 2 x een 2, omdat er bij beide een 2 voorkomt – streept de ander weg).
o 6: 1 + 2 + 3 = 6
o 28: 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28
Eerst volgende volmaakte getal is 496.
1.3.4 Figurale getallen
Figurale getallen = getallen die je in een stippenpatroon kunt leggen.
o Driehoeksgetallen.
o Rechthoeksgetallen.
o Vierkantgetallen (kwadranten).
o Kubusgetallen (3D).
o Piramidegetallen (3D).
1.4 Basisbewerkingen
Optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen.
1.4.1 Betekenissen van bewerkingen
Optellen: samen nemen, aanvullen of toevoegen.
Aftrekken: eraf halen, weghalen, wegnemen, verminderen, wegdenken of verschil bepalen
(zowel een eraf-opgave als een erbij-opgave).
Vermenigvuldigen: herhaald optellen, oppervlakte bepalen, combineren, gelijke sprongen
maken of schaal vergroten.
Delen: herhaald aftrekken, opdelen of verdelen.
o Opdelen: herhaald optrekken of vermenigvuldigen. Je weet hoe groot het groepje is
en gaat bepalen hoeveel groepjes er zijn.
50 knikkers worden verpakt in zakjes van elk 10 knikkers. Hoeveel zakjes zijn
er nodig?
o Verdelen: herhaald aftrekken of één voor één uitdelen. Je weet hoeveel groepjes er
zijn en gaat bepalen hoe groot een groepje is.
Brom-Snijders, P. van den, Bergh, J. van den, Hutten, O., & Zanten, M. van (2014). Hele getallen.
Amersfoort: ThiemeMeulenhoff. Hoofdstuk 1, 2, 3, 4, 5, 7 en 8 (alleen p. 225 en 226).
Oonk, W., Keijzer, R., Lit, S., & Figueiredeo, N. (2020). Rekenen en wiskunde in de praktijk:
Kennisbasis. (2e ed.) Groningen: Noordhoff. Hoofdstuk 1
,Getallen en bewerkingen – Hele getallen
Hoofdstuk 1: Hele getallen
1.1 Getallen zie je overal
Zonder getallen zou de samenleving tot stilstand komen te staan. Ook het geluid uit
oordopjes en beelden op een beeldscherm bestaan uit getallen.
Getallen helpen je om de wereld te ordenen, te structureren en te organiseren. Ze komen in
veel verschillende situaties en betekenissen voor.
De betekenis van een getal hangt af van de verschijningsvorm of de functie.
o Telgetal of ordinaal getal = rangorde in de telrij of een nummer.
1, 2, 3, 4 etc.
De eerste, de tweede, nummer 3 etc.
o Hoeveelheidsgetal of kardinaal getal = een hoeveelheid.
o Naamgetal = het getal heeft een naam.
Buslijn 4, buslijn 13, buslijn A.
o Meetgetal = geeft een maat aan, er staat ook altijd een maat bij!
Vier jaar, vijf meter, 10 graden etc.
o Formeelgetal = een kaal rekengetal (zoals in een som).
36 x 125 = 4500.
1.1.1 Getallen
Natuurlijke getallen = getallen waarmee we tellen en rekenen
Negatieve getallen kan je vergelijken met meetgetallen: temperatuur/graden onder nul.
Hele getallen = alle natuurlijke en hele negatieve getallen.
1.2 Ons getalsysteem
Talstelsel/ getallenstelsel/ getalsysteem = het systeem om getallen in een rij cijfers weer te
geven.
o Ons getalsysteem is in 1202 door Leonardo van Pisa in West-Europa geïntroduceerd.
1.2.1 Eigenschappen van het getalsysteem
Het Arabische getalsysteem:
o Decimaal = tientallig
o 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
o Alle getallen kunnen worden gemaakt a.d.h.v. de plaatswaarde/positiewaarde van
het cijfer.
325: de 3 is 300 waard, de 2 is 20 waard, de 5 is 5 waard.
Positionele notatie: de manier waarop de cijfers worden genoteerd.
1.2.2 Uit de geschiedenis van getalsystemen
Het Egyptische en Romeinse getalsysteem is een additief systeem. Dit betekent dat de
waarde van het getal bepaald wordt door het totaal van de symbolen.
Het nieuw-Romeinse getalsysteem heeft een substractief principe. Dit houdt in dat als je een
bepaald symbool voor het andere symbool wordt geplaatst, je de waarde hiervan van elkaar
aftrekt.
o Alleen de volgende combinaties zijn hierbij toegestaan:
I voor V
I voor X
X voor L
X voor C
C voor D
C voor M
o Nieuw-Romeinse getalsysteem: 14 = XIV
o Oud-Romeinse getalsysteem: 14 = XIII
, In het nieuw-Romeinse getalsysteem mogen de V, L en D maar één keer voorkomen.
Het Egyptische getalsysteem
1.2.3 Andere talstelsels Het Romeinse getalsysteem
Binaire getalsysteem: tweetallig – alle getallen
worden geschreven met twee cijfers (0 en 1).
Symbolen van de Maya's Octale getalsysteem: achttallig – de basis is acht.
Hexadecimale getalsysteem: zestientallig – de basis is zestien.
Sexagesimale getalsysteem: zestigtallig – de basis is zestig.
Babylonische getalsysteem
Metriek stelsel: elke eenheid wordt in stappen van toen groter of kleiner.
1.3 Eigenschappen van getallen
Hele getallen hebben verschillende en bijzondere eigenschappen.
1.3.1 Deelbaarheid
Een getal is deelbaar door een ander getal als de ‘rest’ bij de deling gelijk is aan 0.
Deelbaar door 2
o 10, 100, 1000 etc. zijn allemaal deelbaar door 2
o Alle getallen die de volgende eindcijfers hebben: 0, 2, 4, 6 of 8 (even getal!).
Deelbaar door 3
o De som van de cijfers is deelbaar door 3.
Deelbaar door 4
o 100, 1000 etc. zijn allemaal deelbaar door 4
o Als het getal dat gevormd wordt door de laatste twee cijfers, deelbaar is door 4.
o Voorbeeld: 356 is deelbaar door 4. 56:4 = 14.
Deelbaar door 5
o Alle getallen die de volgende eindcijfers hebben: 0 of 5.
Deelbaar door 6
o Het getal moet even zijn.
o De som van de cijfers moet deelbaar zijn door 3.
Voorbeeld: 356 is niet deelbaar door 6, want 3 + 5 + 6 = 14. 14 kan je niet
delen door 3.
Deelbaar door 7
o Het laatste cijfer van het getal afhalen. Dit keer 2. Dat afhalen van het hele getal. Als
je de uitkomst kan delen door 7, is het deelbaar door 7!
Voorbeeld: 364 is deelbaar door 7. 36 - (4 x 2) = 36. 36 - 8 = 28. 28 : 7 = 4.
Deelbaar door 8
o Het getal dat wordt gevormd door de laatste 3 cijfers deelbaar is door 8.
Voorbeeld: 456 is deelbaar door 8. 400 : 8 = 50 en 56 : 8 = 7.
Deelbaar door 9
o De som van de cijfers is deelbaar door 9.
Deelbaar door 10
o Alle getallen die het volgende eindcijfer heeft: 0.
1.3.2 Priemgetallen
Priemgetal (strookgetal) = een getal dat allen zichzelf en 1 als deler heeft.
, Getallen kun je ontbinden in factoren. Ontbinden is het zoeken naar getallen die met elkaar
vermenigvuldigd weer het oorspronkelijke getal opleveren.
GGD = grootse gemene deler.
o Het grootste getal dat deler is van twee of meer hele getallen.
o Ontbinden in factoren om de GGD te bepalen!
KGV = kleinste gemene veelvoud.
o Het kleinste getal dat veelvoud is van twee of meer getallen (dat kleinste getal kan
gedeeld worden door de twee of meer andere getallen.
o Ontbinden in factoren om de KGV te bepalen!
Voorbeeld GGD
Bepaal de GGD van 24 en 92.
24 = 2 x 2 x 2 x 3
92 = 2 x 2 x 23
GGD = 2 x 2 = 4 (de overeenkomstige priemfactoren met elkaar vermenigvuldigen)
1.3.3 Volmaakte getallen
Volmaakt getal = een positief getal dat gelijk is aan de som van zijn delers, behalve zichzelf.
Volmaakte getallen onder de 100:
Voorbeeld KGV
Bepaal de KGV van 14 en 26.
14 = 2 x 7
26 = 2 x 13
KGV = 2 x 7 x 13 = 182 (niet 2 x een 2, omdat er bij beide een 2 voorkomt – streept de ander weg).
o 6: 1 + 2 + 3 = 6
o 28: 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28
Eerst volgende volmaakte getal is 496.
1.3.4 Figurale getallen
Figurale getallen = getallen die je in een stippenpatroon kunt leggen.
o Driehoeksgetallen.
o Rechthoeksgetallen.
o Vierkantgetallen (kwadranten).
o Kubusgetallen (3D).
o Piramidegetallen (3D).
1.4 Basisbewerkingen
Optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen.
1.4.1 Betekenissen van bewerkingen
Optellen: samen nemen, aanvullen of toevoegen.
Aftrekken: eraf halen, weghalen, wegnemen, verminderen, wegdenken of verschil bepalen
(zowel een eraf-opgave als een erbij-opgave).
Vermenigvuldigen: herhaald optellen, oppervlakte bepalen, combineren, gelijke sprongen
maken of schaal vergroten.
Delen: herhaald aftrekken, opdelen of verdelen.
o Opdelen: herhaald optrekken of vermenigvuldigen. Je weet hoe groot het groepje is
en gaat bepalen hoeveel groepjes er zijn.
50 knikkers worden verpakt in zakjes van elk 10 knikkers. Hoeveel zakjes zijn
er nodig?
o Verdelen: herhaald aftrekken of één voor één uitdelen. Je weet hoeveel groepjes er
zijn en gaat bepalen hoe groot een groepje is.
