Samenvatting: Numbers, Functions & Vectors
Mathematics for Premasters
Dit is één doorlopende samenvatting van de eerste drie hoofdstukken (Numbers, Functions en
Vectors/Linear Algebra), opgebouwd uit de slides van alle colleges plus alles wat we er in de
begeleidingssessies al bij hebben uitgewerkt: extra achtergrond, bewijzen, stappenplannen en
voorbeeldopgaven. Bij elk onderdeel staat niet alleen de formule, maar ook hoe je een opgave
herkent en welke stappen je dan moet zetten.
Gebruik de cheat sheets aan het eind van elk deel als je snel wilt opzoeken welke aanpak bij welk
vraagtype hoort.
Contents
I Numbers 3
1 Soorten getallen 3
2 Hoe getallen in een computer worden opgeslagen 3
3 Priemgetallen 3
4 Deelbaarheid: transitiviteitsbewijs 4
5 Complexe getallen — de basis 4
6 Rekenen met complexe getallen (Cartesische vorm 𝑎 + 𝑏𝑖) 4
7 De complex geconjugeerde 5
8 Kwadratische vergelijkingen met complexe oplossingen 5
9 Hoofdstelling van de algebra & polynomen van hogere graad 6
10 Complexe getallen in poolcoördinaten 6
11 Euler’s formule en machtsverheffen 7
12 Cosinus en sinus in termen van 𝑒 (belangrijk, komt vaak terug) 8
13 Cheat sheet Numbers — welke aanpak hoort bij welke vraag? 8
14 Oefenvragen met volledige uitwerking 9
II Functions 10
15 Wat is een functie? 10
1
,16 Functiebewerkingen en compositie 10
17 Functies visualiseren 10
18 Inverse functies — wat is het? 10
19 Bestaat de inverse? — Bijectiviteit 11
20 Domein/bereik-swap en de grafiek spiegelen 11
21 Stappenplan: inverse algebraïsch bepalen 11
22 Inverses van standaardfuncties 12
23 Inverse goniometrische functies 13
24 Functie-afgeleiden — het idee 13
25 Rekenregels voor differentiëren 13
26 Differentieerbaarheid vs. continuïteit 15
27 Integralen — het omgekeerde van differentiëren 15
28 Functies van meerdere variabelen — partiële afgeleiden (kort) 15
29 Cheat sheet Functions — welke aanpak hoort bij welke vraag? 16
30 Oefenvragen met volledige uitwerking 16
III Vectoren & Lineaire Algebra 18
31 Wat is een vector? 18
32 Rekenen met vectoren: optellen en scalair vermenigvuldigen 18
33 Lengte (norm) van een vector, en afstand 19
34 Het inproduct (dot product) en orthogonaliteit 20
35 De hoek tussen twee vectoren 20
36 Vectoren en de matrix-conventie (rijen × kolommen) 21
37 Het uitproduct (cross product) 21
38 Lijnen: Cartesische, parametrische en normaalvergelijking 23
39 Vlakken in de ruimte ℝ3 23
40 Cheat sheet Vectoren — welke aanpak hoort bij welke vraag? 25
41 Oefenvragen met volledige uitwerking 25
Tot slot — hoe dit te gebruiken 28
2
,DEEL I Numbers
1 Soorten getallen
Van klein naar groot (elke verzameling bevat de vorige):
• ℕ — natuurlijke getallen: 1, 2, 3, … (tellen)
• ℤ — gehele getallen: … , −2, −1, 0, 1, 2, … (ℕ + negatieve getallen)
• ℚ — rationale getallen: alles wat je als breuk kunt schrijven, zoals − 23 , 0,75, 1,5
• ℝ ∖ ℚ — irrationale getallen: kun√je niet als breuk schrijven; oneindig veel decimalen zonder
herhalend patroon. Voorbeelden: 2, 𝜋, 𝑒
• ℝ — reële getallen: rationaal + irrationaal samen (“de getallenlijn”)
• ℂ — complexe getallen: reële getallen + een imaginair deel, bijv. 5+4𝑖. De grootste verzameling
— alles hierboven zit hierin
Rationaal vs. irrationaal, het onderscheid: rationaal = te schrijven als 𝑎/𝑏 met 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ. Irrationaal
= decimale expansie stopt nooit én herhaalt nooit (in tegenstelling tot bijv. 1/3 = 0,333 …, dat wél
repeteert en dus gewoon rationaal is).
√
Wat is 𝑖? 𝑖 = −1, dus 𝑖2 = −1. Dit is de basis van het hele complexe-getallen-gedeelte hieronder
(sectie 1.5 e.v.).
2 Hoe getallen in een computer worden opgeslagen
• ℕ: unsigned integer, 8/16/32/64 bits (met 8 bits: 0 t/m 28 − 1 = 255)
• ℤ: signed integer — het meest linkse bit geeft het teken aan
• ℝ: floating point (float/double), opgebouwd uit sign (1 bit) + exponent (macht van 2, zoals
bij 0,0042 = 4,2 × 10−3 ) + mantissa (de cijfers). Float = 32 bits (1+8+23), double = 64 bits
(1+11+52) ⇒ double is preciezer. Dit is waarom een computer reële getallen alleen kan be-
naderen, nooit exact oneindig precies opslaan (denk aan 0,1 + 0,2 dat niet precies 0,3 geeft).
• ℂ: geen eigen hardware-representatie, wordt afgehandeld met software (Python: import cmath)
3 Priemgetallen
Definitie: een natuurlijk getal > 1 dat alleen deelbaar is door 1 en zichzelf. Voorbeelden: 2, 3, 5, 7, 11, 13, …
√
Stappenplan om te testen of 𝑛 een priemgetal is, in 𝑂( 𝑛) tijd:
1. Check of 𝑛 deelbaar is door 2. Zo ja → geen priemgetal.
√
2. Bereken 𝑘 = 𝑛.
3. Loop over alle priemgetallen 𝑝 ≤ 𝑘: is 𝑛 deelbaar door 𝑝? Zo ja → geen priemgetal, stop.
√
4. Geen deler gevonden tot en met 𝑛? → 𝑛 is een priemgetal.
√ √
Waarom hoef je alleen tot 𝑛 te checken? Als 𝑛 een deler 𝑑 > 𝑛 heeft, dan is 𝑛/𝑑 een deler
√ √
< 𝑛 (want 𝑑 × (𝑛/𝑑) = 𝑛). Er is dus altijd al een deler ≤ 𝑛 te vinden als die bestaat.
Waarom alleen priemgetallen als deler proberen? Een niet-priem deler 𝑚 is zelf opgebouwd uit
kleinere priemfactoren, die je dan al eerder tegenkwam in de loop.
3
, Voorbeeld
√
Is 91 een priemgetal? 91 ≈ 9,54, dus check 2, 3, 5, 7.
91 = 7 × 13 ⇒ geen priemgetal.
4 Deelbaarheid: transitiviteitsbewijs
Notatie: 𝑎 ∣ 𝑏 betekent “𝑎 deelt 𝑏” — er bestaat een geheel getal 𝑛 zodat 𝑏 = 𝑎 ⋅ 𝑛.
Stelling: voor 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℤ: als 𝑎 ∣ 𝑏 én 𝑏 ∣ 𝑐, dan 𝑎 ∣ 𝑐.
Bewijs:
𝑎∣𝑏 ⟹ 𝑏 =𝑎⋅𝑛 voor een 𝑛 ∈ ℤ
𝑏 ∣𝑐 ⟹ 𝑐 =𝑏⋅𝑚 voor een 𝑚 ∈ ℤ
vervang 𝑏 ∶ 𝑐 = 𝑏 ⋅ 𝑚 = (𝑎 ⋅ 𝑛) ⋅ 𝑚 = 𝑎 ⋅ (𝑛𝑚)
noem 𝑞 = 𝑛𝑚 ∈ ℤ (product van twee gehele getallen is weer geheel)
𝑐 = 𝑎 ⋅ 𝑞 ⟹ 𝑎 ∣ 𝑐.
Dit is het standaardpatroon van een deelbaarheidsbewijs: vertaal “𝑎 ∣ 𝑏” en “𝑏 ∣ 𝑐” naar vergeli-
jkingen met een hulpvariabele, combineer met algebra, en laat zien dat de conclusie exact dezelfde
vorm heeft.
5 Complexe getallen — de basis
Een complex getal: 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, met 𝑎 het reële deel (ℜ(𝑧) = 𝑎) en 𝑏 het imaginaire deel (ℑ(𝑧) = 𝑏),
en 𝑖2 = −1.
Een reëel getal is een complex getal met ℑ(𝑧) = 0. Je tekent 𝑧 in het complexe vlak (Argand-
diagram): horizontale as = ℜ, verticale as = ℑ.
6 Rekenen met complexe getallen (Cartesische vorm 𝑎 + 𝑏𝑖)
Bewerking Formule Hoe je het aanpakt
Optellen (𝑎+𝑏𝑖) + (𝑐+𝑑𝑖) = (𝑎+𝑐) + (𝑏+𝑑)𝑖 reële delen apart, imaginaire delen
apart optellen
Aftrekken (𝑎+𝑏𝑖) − (𝑐+𝑑𝑖) = (𝑎−𝑐) + (𝑏−𝑑)𝑖 idem, maar aftrekken
Vermenigvuldigen(𝑎+𝑏𝑖)(𝑐+𝑑𝑖) = (𝑎𝑐−𝑏𝑑) + haakjes uitwerken (elke term × elke
(𝑎𝑑+𝑏𝑐)𝑖 term), dan 𝑖2 = −1 invullen
𝑧 𝑎𝑐 + 𝑏𝑑 𝑏𝑐 − 𝑎𝑑
Delen = 2 + 2 𝑖 teller en noemer vermenigvuldigen
𝑤 𝑐 + 𝑑2 𝑐 + 𝑑2
met de geconjugeerde van de noemer
Vuistregel: 𝑎 + 𝑏𝑖 is de handigste vorm bij optellen/aftrekken. Bij vermenigvuldigen/delen/-
machtsverheffen is de poolvorm (§1.10) vaak fijner.
Waarom werkt delen zo? Vermenigvuldig je de noemer met zijn eigen geconjugeerde, dan geldt
(𝑐 + 𝑑𝑖)(𝑐 − 𝑑𝑖) = 𝑐2 + 𝑑2 — een zuiver reëel getal, dus de 𝑖 verdwijnt uit de noemer (net zoals je
op school leerde nooit een wortel in de noemer te laten staan).
4
Mathematics for Premasters
Dit is één doorlopende samenvatting van de eerste drie hoofdstukken (Numbers, Functions en
Vectors/Linear Algebra), opgebouwd uit de slides van alle colleges plus alles wat we er in de
begeleidingssessies al bij hebben uitgewerkt: extra achtergrond, bewijzen, stappenplannen en
voorbeeldopgaven. Bij elk onderdeel staat niet alleen de formule, maar ook hoe je een opgave
herkent en welke stappen je dan moet zetten.
Gebruik de cheat sheets aan het eind van elk deel als je snel wilt opzoeken welke aanpak bij welk
vraagtype hoort.
Contents
I Numbers 3
1 Soorten getallen 3
2 Hoe getallen in een computer worden opgeslagen 3
3 Priemgetallen 3
4 Deelbaarheid: transitiviteitsbewijs 4
5 Complexe getallen — de basis 4
6 Rekenen met complexe getallen (Cartesische vorm 𝑎 + 𝑏𝑖) 4
7 De complex geconjugeerde 5
8 Kwadratische vergelijkingen met complexe oplossingen 5
9 Hoofdstelling van de algebra & polynomen van hogere graad 6
10 Complexe getallen in poolcoördinaten 6
11 Euler’s formule en machtsverheffen 7
12 Cosinus en sinus in termen van 𝑒 (belangrijk, komt vaak terug) 8
13 Cheat sheet Numbers — welke aanpak hoort bij welke vraag? 8
14 Oefenvragen met volledige uitwerking 9
II Functions 10
15 Wat is een functie? 10
1
,16 Functiebewerkingen en compositie 10
17 Functies visualiseren 10
18 Inverse functies — wat is het? 10
19 Bestaat de inverse? — Bijectiviteit 11
20 Domein/bereik-swap en de grafiek spiegelen 11
21 Stappenplan: inverse algebraïsch bepalen 11
22 Inverses van standaardfuncties 12
23 Inverse goniometrische functies 13
24 Functie-afgeleiden — het idee 13
25 Rekenregels voor differentiëren 13
26 Differentieerbaarheid vs. continuïteit 15
27 Integralen — het omgekeerde van differentiëren 15
28 Functies van meerdere variabelen — partiële afgeleiden (kort) 15
29 Cheat sheet Functions — welke aanpak hoort bij welke vraag? 16
30 Oefenvragen met volledige uitwerking 16
III Vectoren & Lineaire Algebra 18
31 Wat is een vector? 18
32 Rekenen met vectoren: optellen en scalair vermenigvuldigen 18
33 Lengte (norm) van een vector, en afstand 19
34 Het inproduct (dot product) en orthogonaliteit 20
35 De hoek tussen twee vectoren 20
36 Vectoren en de matrix-conventie (rijen × kolommen) 21
37 Het uitproduct (cross product) 21
38 Lijnen: Cartesische, parametrische en normaalvergelijking 23
39 Vlakken in de ruimte ℝ3 23
40 Cheat sheet Vectoren — welke aanpak hoort bij welke vraag? 25
41 Oefenvragen met volledige uitwerking 25
Tot slot — hoe dit te gebruiken 28
2
,DEEL I Numbers
1 Soorten getallen
Van klein naar groot (elke verzameling bevat de vorige):
• ℕ — natuurlijke getallen: 1, 2, 3, … (tellen)
• ℤ — gehele getallen: … , −2, −1, 0, 1, 2, … (ℕ + negatieve getallen)
• ℚ — rationale getallen: alles wat je als breuk kunt schrijven, zoals − 23 , 0,75, 1,5
• ℝ ∖ ℚ — irrationale getallen: kun√je niet als breuk schrijven; oneindig veel decimalen zonder
herhalend patroon. Voorbeelden: 2, 𝜋, 𝑒
• ℝ — reële getallen: rationaal + irrationaal samen (“de getallenlijn”)
• ℂ — complexe getallen: reële getallen + een imaginair deel, bijv. 5+4𝑖. De grootste verzameling
— alles hierboven zit hierin
Rationaal vs. irrationaal, het onderscheid: rationaal = te schrijven als 𝑎/𝑏 met 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ. Irrationaal
= decimale expansie stopt nooit én herhaalt nooit (in tegenstelling tot bijv. 1/3 = 0,333 …, dat wél
repeteert en dus gewoon rationaal is).
√
Wat is 𝑖? 𝑖 = −1, dus 𝑖2 = −1. Dit is de basis van het hele complexe-getallen-gedeelte hieronder
(sectie 1.5 e.v.).
2 Hoe getallen in een computer worden opgeslagen
• ℕ: unsigned integer, 8/16/32/64 bits (met 8 bits: 0 t/m 28 − 1 = 255)
• ℤ: signed integer — het meest linkse bit geeft het teken aan
• ℝ: floating point (float/double), opgebouwd uit sign (1 bit) + exponent (macht van 2, zoals
bij 0,0042 = 4,2 × 10−3 ) + mantissa (de cijfers). Float = 32 bits (1+8+23), double = 64 bits
(1+11+52) ⇒ double is preciezer. Dit is waarom een computer reële getallen alleen kan be-
naderen, nooit exact oneindig precies opslaan (denk aan 0,1 + 0,2 dat niet precies 0,3 geeft).
• ℂ: geen eigen hardware-representatie, wordt afgehandeld met software (Python: import cmath)
3 Priemgetallen
Definitie: een natuurlijk getal > 1 dat alleen deelbaar is door 1 en zichzelf. Voorbeelden: 2, 3, 5, 7, 11, 13, …
√
Stappenplan om te testen of 𝑛 een priemgetal is, in 𝑂( 𝑛) tijd:
1. Check of 𝑛 deelbaar is door 2. Zo ja → geen priemgetal.
√
2. Bereken 𝑘 = 𝑛.
3. Loop over alle priemgetallen 𝑝 ≤ 𝑘: is 𝑛 deelbaar door 𝑝? Zo ja → geen priemgetal, stop.
√
4. Geen deler gevonden tot en met 𝑛? → 𝑛 is een priemgetal.
√ √
Waarom hoef je alleen tot 𝑛 te checken? Als 𝑛 een deler 𝑑 > 𝑛 heeft, dan is 𝑛/𝑑 een deler
√ √
< 𝑛 (want 𝑑 × (𝑛/𝑑) = 𝑛). Er is dus altijd al een deler ≤ 𝑛 te vinden als die bestaat.
Waarom alleen priemgetallen als deler proberen? Een niet-priem deler 𝑚 is zelf opgebouwd uit
kleinere priemfactoren, die je dan al eerder tegenkwam in de loop.
3
, Voorbeeld
√
Is 91 een priemgetal? 91 ≈ 9,54, dus check 2, 3, 5, 7.
91 = 7 × 13 ⇒ geen priemgetal.
4 Deelbaarheid: transitiviteitsbewijs
Notatie: 𝑎 ∣ 𝑏 betekent “𝑎 deelt 𝑏” — er bestaat een geheel getal 𝑛 zodat 𝑏 = 𝑎 ⋅ 𝑛.
Stelling: voor 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℤ: als 𝑎 ∣ 𝑏 én 𝑏 ∣ 𝑐, dan 𝑎 ∣ 𝑐.
Bewijs:
𝑎∣𝑏 ⟹ 𝑏 =𝑎⋅𝑛 voor een 𝑛 ∈ ℤ
𝑏 ∣𝑐 ⟹ 𝑐 =𝑏⋅𝑚 voor een 𝑚 ∈ ℤ
vervang 𝑏 ∶ 𝑐 = 𝑏 ⋅ 𝑚 = (𝑎 ⋅ 𝑛) ⋅ 𝑚 = 𝑎 ⋅ (𝑛𝑚)
noem 𝑞 = 𝑛𝑚 ∈ ℤ (product van twee gehele getallen is weer geheel)
𝑐 = 𝑎 ⋅ 𝑞 ⟹ 𝑎 ∣ 𝑐.
Dit is het standaardpatroon van een deelbaarheidsbewijs: vertaal “𝑎 ∣ 𝑏” en “𝑏 ∣ 𝑐” naar vergeli-
jkingen met een hulpvariabele, combineer met algebra, en laat zien dat de conclusie exact dezelfde
vorm heeft.
5 Complexe getallen — de basis
Een complex getal: 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, met 𝑎 het reële deel (ℜ(𝑧) = 𝑎) en 𝑏 het imaginaire deel (ℑ(𝑧) = 𝑏),
en 𝑖2 = −1.
Een reëel getal is een complex getal met ℑ(𝑧) = 0. Je tekent 𝑧 in het complexe vlak (Argand-
diagram): horizontale as = ℜ, verticale as = ℑ.
6 Rekenen met complexe getallen (Cartesische vorm 𝑎 + 𝑏𝑖)
Bewerking Formule Hoe je het aanpakt
Optellen (𝑎+𝑏𝑖) + (𝑐+𝑑𝑖) = (𝑎+𝑐) + (𝑏+𝑑)𝑖 reële delen apart, imaginaire delen
apart optellen
Aftrekken (𝑎+𝑏𝑖) − (𝑐+𝑑𝑖) = (𝑎−𝑐) + (𝑏−𝑑)𝑖 idem, maar aftrekken
Vermenigvuldigen(𝑎+𝑏𝑖)(𝑐+𝑑𝑖) = (𝑎𝑐−𝑏𝑑) + haakjes uitwerken (elke term × elke
(𝑎𝑑+𝑏𝑐)𝑖 term), dan 𝑖2 = −1 invullen
𝑧 𝑎𝑐 + 𝑏𝑑 𝑏𝑐 − 𝑎𝑑
Delen = 2 + 2 𝑖 teller en noemer vermenigvuldigen
𝑤 𝑐 + 𝑑2 𝑐 + 𝑑2
met de geconjugeerde van de noemer
Vuistregel: 𝑎 + 𝑏𝑖 is de handigste vorm bij optellen/aftrekken. Bij vermenigvuldigen/delen/-
machtsverheffen is de poolvorm (§1.10) vaak fijner.
Waarom werkt delen zo? Vermenigvuldig je de noemer met zijn eigen geconjugeerde, dan geldt
(𝑐 + 𝑑𝑖)(𝑐 − 𝑑𝑖) = 𝑐2 + 𝑑2 — een zuiver reëel getal, dus de 𝑖 verdwijnt uit de noemer (net zoals je
op school leerde nooit een wortel in de noemer te laten staan).
4
