1. Conventies
2. Rij
2.1. Rekenkundige rij
2.2. Meetkundige rij
2.3. Stellingen
2.4. Begrensdheid
2.4.1. Bepalen van de grens
2.4.1.1. Volledige inductie
2.5. n in de macht
2.6. Iteratieve functies
2.7. Repeterende rij
3. Reeks
3.1. Rij en reeks
3.2. Rekenkundige reeks
3.3. Meetkundige reeks
3.4. Harmonische reeks
3.5. Van decimalen naar breuken
3.6. Telescopische som
4. Rekenmachine
4.1. Conventies
4.2. Stapsgewijs
4.3. Direct
1/6 © Peter Zomerdijk
, 1. Conventies
• voorbeelden zijn omkaderd
2. Rij
2.1. Rekenkundige rij
Verschil (v) : bij iedere stap n wordt het verschil v er bij opgeteld
• directe formule : an = a1 + (n – 1) v
• recursieve formule : an = an-1 + v met a1 = begingetal
{an }∞
n=1 = {5, 9, 13, ...} ⇒ v = 4 en a1 = 5
directe formule an = 5 + 4(n – 1) = 1 + 4n
recursieve formule an = an‒1 + 4 en a1 = 5
• verschilrij is de rij {a2 – a1, a3 – a2, ..... , an – an‒1}
• de som van de eerste n termen is ∑n1 sn = ½ n (a1 + an)
2.2. Meetkundige rij
Reden (r) : bij iedere stap n wordt met de reden r vermenigvuldigd
• directe formule : an = a1 · r(n ‒ 1)
• recursieve formule : an = an-1 · r met a1 = begingetal
{an }∞
n=1 = {2, 6, 18, ...} ⇒ r = 3 en a1 = 2
Directe formule an = 2 · 3(n – 1)
Recursieve formule an = 3 · an‒1 en a1 = 2
2.3. Stellingen
• als lim an bestaat is de rij convergent, anders divergent
n→∞
• als lim |an | = 0 dan lim an = 0. Alleen gebruiken als de limiet naar 0 gaat
n→∞ n→∞
• insluitstelling: als voor alle n geldt an ≥ bn ≥ cn en lim an = lim cn dan lim bn = lim an
n→∞ n→∞ n→∞ n→∞
• r<0 : lim nr = 0
n→∞
• r=0 : lim nr = 1
n→∞
• r>0 : lim nr is divergent
n→∞
• –1 < r < 1 : lim r n = 0
n→∞
• r=1 : lim r n = 1
n→∞
• r ≤ ‒1 ꓦ r > 1 : lim r n is divergent
n→∞
• voor convergente rijen geldt lim an = lim an+1
n→∞ n→∞
2.4. Begrensdheid
Een rij is convergent wanneer het voldoet aan:
• stijgende rij : Ɐ n ϵ ℕ+ , ∃ M ϵ ℝ | a(n+1) > an ꓥ M ≥ an
• dalende rij : Ɐ n ϵ ℕ+ , ∃ m ϵ ℝ | a(n+1) < an ꓥ m ≤ an
2/6 © Peter Zomerdijk
2. Rij
2.1. Rekenkundige rij
2.2. Meetkundige rij
2.3. Stellingen
2.4. Begrensdheid
2.4.1. Bepalen van de grens
2.4.1.1. Volledige inductie
2.5. n in de macht
2.6. Iteratieve functies
2.7. Repeterende rij
3. Reeks
3.1. Rij en reeks
3.2. Rekenkundige reeks
3.3. Meetkundige reeks
3.4. Harmonische reeks
3.5. Van decimalen naar breuken
3.6. Telescopische som
4. Rekenmachine
4.1. Conventies
4.2. Stapsgewijs
4.3. Direct
1/6 © Peter Zomerdijk
, 1. Conventies
• voorbeelden zijn omkaderd
2. Rij
2.1. Rekenkundige rij
Verschil (v) : bij iedere stap n wordt het verschil v er bij opgeteld
• directe formule : an = a1 + (n – 1) v
• recursieve formule : an = an-1 + v met a1 = begingetal
{an }∞
n=1 = {5, 9, 13, ...} ⇒ v = 4 en a1 = 5
directe formule an = 5 + 4(n – 1) = 1 + 4n
recursieve formule an = an‒1 + 4 en a1 = 5
• verschilrij is de rij {a2 – a1, a3 – a2, ..... , an – an‒1}
• de som van de eerste n termen is ∑n1 sn = ½ n (a1 + an)
2.2. Meetkundige rij
Reden (r) : bij iedere stap n wordt met de reden r vermenigvuldigd
• directe formule : an = a1 · r(n ‒ 1)
• recursieve formule : an = an-1 · r met a1 = begingetal
{an }∞
n=1 = {2, 6, 18, ...} ⇒ r = 3 en a1 = 2
Directe formule an = 2 · 3(n – 1)
Recursieve formule an = 3 · an‒1 en a1 = 2
2.3. Stellingen
• als lim an bestaat is de rij convergent, anders divergent
n→∞
• als lim |an | = 0 dan lim an = 0. Alleen gebruiken als de limiet naar 0 gaat
n→∞ n→∞
• insluitstelling: als voor alle n geldt an ≥ bn ≥ cn en lim an = lim cn dan lim bn = lim an
n→∞ n→∞ n→∞ n→∞
• r<0 : lim nr = 0
n→∞
• r=0 : lim nr = 1
n→∞
• r>0 : lim nr is divergent
n→∞
• –1 < r < 1 : lim r n = 0
n→∞
• r=1 : lim r n = 1
n→∞
• r ≤ ‒1 ꓦ r > 1 : lim r n is divergent
n→∞
• voor convergente rijen geldt lim an = lim an+1
n→∞ n→∞
2.4. Begrensdheid
Een rij is convergent wanneer het voldoet aan:
• stijgende rij : Ɐ n ϵ ℕ+ , ∃ M ϵ ℝ | a(n+1) > an ꓥ M ≥ an
• dalende rij : Ɐ n ϵ ℕ+ , ∃ m ϵ ℝ | a(n+1) < an ꓥ m ≤ an
2/6 © Peter Zomerdijk
