Analyse 1
uitleg vanaf nul
Voor de bachelor Econometrie en Operationele Research, Tilburg University
Vakcode: 35B105-B-6
Gebaseerd op: Norde & Kaper (2024), Mathematical Analysis 1, 2024–2025 (reader) · hoofdstukken 1–8
Gemaakt door Levi, Master of Science
Lees dit eerst
• Voor wie? Voor jou als “𝜀” en “𝛿” nog als abracadabra voelen. Dit document laat zien
dat het hele vak om één idee draait (de limiet) en geeft per onderwerp een recept dat je op
het tentamen kunt volgen. Doel: het grote plaatje en een voldoende.
• Taal. Uitleg in het Nederlands. Reader en tentamen zijn (ook) Engelstalig, dus vaktermen
staan vetgedrukt in het Engels. Achterin staat een woordenlijst.
• Volgorde. Lees van voor naar achter. §2 (de limiet van een rij) is het fundament: elke
latere definitie (limiet van een functie, continuïteit, afgeleide, reeks, integraal) is een variatie
daarop.
• Eerlijk. De onderwerpen volgen de reader van Norde en Kaper (2024) en de tentamens
en deeltoetsen Analyse 1 uit 2013–2022. Stellingnummers verwijzen naar de reader. Check
de studiehandleiding voor de actuele stof. Dit is een eigen uitleg naast de reader, niet in
plaats ervan. Maak zeker de oude tentamens: de vraagtypes komen elk jaar terug.
Inhoud
1. Het grote plaatje 7. Differentiëren, Rolle en de middelwaardestelling
2. De limiet van een rij 8. Taylor, extremen en l’Hôpital
3. Monotone en recursieve rijen 9. Sommeerbare rijen (reeksen)
4. Deelrijen, Cauchy en contracties 10. Machtreeksen
5. Limieten van functies 11. Integralen
6. Continuïteit 12. Strategie voor een voldoende
1
, Analyse 1 – uitleg vanaf nul Tilburg EOR, 35B105-B-6 · Levi, Master of Science
1 Het grote plaatje: waar gaat dit vak over?
Analyse 1 maakt het woord “nadert” precies. Op school zei je “1/𝑛 gaat naar 0”. Hier leer je
bewijzen wat dat betekent, en je bouwt er de hele calculus op.
Wat betekent “steeds dichter bij”,
en hoe bewijs je dat het gebeurt?
Denk aan een uitdaging met een tegenstander. Hij kiest een foutmarge 𝜀, zo klein als hij wil. Jij
moet dan een punt aanwijzen (𝑁 of 𝛿) waarna je altijd binnen die marge blijft. Kun je dat voor
elke 𝜀, dan heb je gewonnen: de limiet bestaat.
Rijen
𝜀–𝑁, monotoon, Functies
Cauchy (§2–§4) 𝜀–𝛿 (§5)
Integraal De limiet
Continuïteit
limiet van som- “voor elke 𝜀 > 0 TWS, Weierstrass (§6)
men (§11) bestaat …”
Reeksen Afgeleide
limiet van partiële Rolle, MWS,
sommen (§9, §10) Taylor (§7, §8)
De definities zijn allemaal hetzelfde spelletje. Leer deze tabel uit je hoofd: er wordt elk tentamen
een definitie gevraagd. uit je hoofd leren
Begrip Definitie
lim𝑛→∞ 𝑡𝑛 = 𝑙 ∀𝜀 > 0 ∃𝑁 ∀𝑛 ≥ 𝑁 ∶ |𝑡𝑛 − 𝑙| < 𝜀
𝑡𝑛 → ∞ ∀𝑢 ∈ ℝ ∃𝑁𝑢 ∀𝑛 ≥ 𝑁𝑢 ∶ 𝑡𝑛 > 𝑢
lim𝑥→𝑐 𝑓(𝑥) = 𝑙 ∀𝜀 > 0 ∃𝛿 > 0 ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓 ∶ 0 < |𝑥 − 𝑐| < 𝛿 ⇒ |𝑓(𝑥) − 𝑙| < 𝜀
lim𝑥→∞ 𝑓(𝑥) = 𝑙 ∀𝜀 > 0 ∃𝑀 ∀𝑥 > 𝑀 ∶ |𝑓(𝑥) − 𝑙| < 𝜀
𝑓 continu in 𝑐 lim𝑥→𝑐 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑐) (zelfde als hierboven, met 𝑙 = 𝑓(𝑐), zonder “0 <”)
Cauchy-rij ∀𝜀 > 0 ∃𝑁 ∀𝑚, 𝑛 ≥ 𝑁 ∶ |𝑡𝑚 − 𝑡𝑛 | < 𝜀
(𝑡𝑛 ) sommeerbaar de rij partiële sommen 𝑆𝑛 = 𝑡1 + ⋯ + 𝑡𝑛 convergeert
2
uitleg vanaf nul
Voor de bachelor Econometrie en Operationele Research, Tilburg University
Vakcode: 35B105-B-6
Gebaseerd op: Norde & Kaper (2024), Mathematical Analysis 1, 2024–2025 (reader) · hoofdstukken 1–8
Gemaakt door Levi, Master of Science
Lees dit eerst
• Voor wie? Voor jou als “𝜀” en “𝛿” nog als abracadabra voelen. Dit document laat zien
dat het hele vak om één idee draait (de limiet) en geeft per onderwerp een recept dat je op
het tentamen kunt volgen. Doel: het grote plaatje en een voldoende.
• Taal. Uitleg in het Nederlands. Reader en tentamen zijn (ook) Engelstalig, dus vaktermen
staan vetgedrukt in het Engels. Achterin staat een woordenlijst.
• Volgorde. Lees van voor naar achter. §2 (de limiet van een rij) is het fundament: elke
latere definitie (limiet van een functie, continuïteit, afgeleide, reeks, integraal) is een variatie
daarop.
• Eerlijk. De onderwerpen volgen de reader van Norde en Kaper (2024) en de tentamens
en deeltoetsen Analyse 1 uit 2013–2022. Stellingnummers verwijzen naar de reader. Check
de studiehandleiding voor de actuele stof. Dit is een eigen uitleg naast de reader, niet in
plaats ervan. Maak zeker de oude tentamens: de vraagtypes komen elk jaar terug.
Inhoud
1. Het grote plaatje 7. Differentiëren, Rolle en de middelwaardestelling
2. De limiet van een rij 8. Taylor, extremen en l’Hôpital
3. Monotone en recursieve rijen 9. Sommeerbare rijen (reeksen)
4. Deelrijen, Cauchy en contracties 10. Machtreeksen
5. Limieten van functies 11. Integralen
6. Continuïteit 12. Strategie voor een voldoende
1
, Analyse 1 – uitleg vanaf nul Tilburg EOR, 35B105-B-6 · Levi, Master of Science
1 Het grote plaatje: waar gaat dit vak over?
Analyse 1 maakt het woord “nadert” precies. Op school zei je “1/𝑛 gaat naar 0”. Hier leer je
bewijzen wat dat betekent, en je bouwt er de hele calculus op.
Wat betekent “steeds dichter bij”,
en hoe bewijs je dat het gebeurt?
Denk aan een uitdaging met een tegenstander. Hij kiest een foutmarge 𝜀, zo klein als hij wil. Jij
moet dan een punt aanwijzen (𝑁 of 𝛿) waarna je altijd binnen die marge blijft. Kun je dat voor
elke 𝜀, dan heb je gewonnen: de limiet bestaat.
Rijen
𝜀–𝑁, monotoon, Functies
Cauchy (§2–§4) 𝜀–𝛿 (§5)
Integraal De limiet
Continuïteit
limiet van som- “voor elke 𝜀 > 0 TWS, Weierstrass (§6)
men (§11) bestaat …”
Reeksen Afgeleide
limiet van partiële Rolle, MWS,
sommen (§9, §10) Taylor (§7, §8)
De definities zijn allemaal hetzelfde spelletje. Leer deze tabel uit je hoofd: er wordt elk tentamen
een definitie gevraagd. uit je hoofd leren
Begrip Definitie
lim𝑛→∞ 𝑡𝑛 = 𝑙 ∀𝜀 > 0 ∃𝑁 ∀𝑛 ≥ 𝑁 ∶ |𝑡𝑛 − 𝑙| < 𝜀
𝑡𝑛 → ∞ ∀𝑢 ∈ ℝ ∃𝑁𝑢 ∀𝑛 ≥ 𝑁𝑢 ∶ 𝑡𝑛 > 𝑢
lim𝑥→𝑐 𝑓(𝑥) = 𝑙 ∀𝜀 > 0 ∃𝛿 > 0 ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓 ∶ 0 < |𝑥 − 𝑐| < 𝛿 ⇒ |𝑓(𝑥) − 𝑙| < 𝜀
lim𝑥→∞ 𝑓(𝑥) = 𝑙 ∀𝜀 > 0 ∃𝑀 ∀𝑥 > 𝑀 ∶ |𝑓(𝑥) − 𝑙| < 𝜀
𝑓 continu in 𝑐 lim𝑥→𝑐 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑐) (zelfde als hierboven, met 𝑙 = 𝑓(𝑐), zonder “0 <”)
Cauchy-rij ∀𝜀 > 0 ∃𝑁 ∀𝑚, 𝑛 ≥ 𝑁 ∶ |𝑡𝑚 − 𝑡𝑛 | < 𝜀
(𝑡𝑛 ) sommeerbaar de rij partiële sommen 𝑆𝑛 = 𝑡1 + ⋯ + 𝑡𝑛 convergeert
2
