Samenvatting Klassieke Statistische Methoden (KSM)
Inhoud
Proportie ........................................................................................................................ 2
Proporties....................................................................................................................... 6
Chi-kwardraat ................................................................................................................ 9
Power-analyse en groepsgrootteberekening .............................................................. 14
Regressie ..................................................................................................................... 20
One-way ANOVA: meerdere gemiddelden vergelijken .............................................. 25
Follow-up tests............................................................................................................. 32
Two-way ANOVA......................................................................................................... 36
Betrouwbaarheid ......................................................................................................... 42
,Proportie
Voorwaarden voor inferentie over proporties
Assumpties:
• De data die gebruikt worden voor de schatting zijn een aselecte steekproef uit de
bestudeerde populatie
• De populatie is minstens 20 keer zo groot als de steekproef (dit garandeert onafhankelijkheid)
• De steekproefgrootte n is groot genoeg dat de vorm van de steekproevenverdeling ongeveer
Normaal is
De steekproefproportie p̂
We bestuderen nu categorische data en trekken conclusies over de proportie, of percentage, van de
populatie met een specifieke eigenschap.
Als we een bepaalde categorische eigenschap in de populatie "succes" noemen, dan is de
steekproefproportie van successen p̂ (phat):
p̂ = aantal successen in de steekproef / totaal aantal observaties
Voorbeeld: De steekproefproportie p̂
We behandelen een groep van 120 Herpes-patiënten met een nieuw medicijn; 30 knappen op:
p̂ = 30/120 = 0,25
(proportie patiënten die verbeteren in de steekproef)
Steekproevenverdeling van p̂
De steekproevenverdeling van p̂ is nooit exact Normaal. Maar voor voldoende grote steekproeven
kan deze benaderd worden door een Normale curve.
Het gemiddelde en de standaarddeviatie (breedte) van de steekproevenverdeling worden beide
volledig bepaald door p en n.
Significantietoets voor p
Bij het toetsen van: H₀: p = p₀ (een gegeven waarde die we toetsen)
z = (p̂ − p₀) / √[p₀(1−p₀)/n]
Als H₀ waar is, is de steekproevenverdeling bekend. De toetsingsgrootheid is de gestandaardiseerde
waarde van p̂.
Geldigheid van de z-toets
Deze toets is geldig wanneer beide verwachte aantallen — verwachte successen np₀ en verwachte
mislukkingen n(1 − p₀) — elk 10 of groter zijn.
De standaardfout onder H₀ is: √[p₀(1−p₀)/n]
P-waarde voor een- of tweezijdig alternatief
De P-waarde is de kans, als H₀ waar was, om een toetsingsgrootheid te verkrijgen zoals de
berekende of extremer in de richting van Hₐ.
Voorbeeld: Bladluizen
,Bladluizen ontwijken roofdieren (lieveheersbeestjes) door van het blad te vallen. Een experiment
onderzocht het mechanisme van deze val.
"Wanneer ondersteboven losgelaten met een pincet, landen levende bladluizen in 95% van de
pogingen op hun buikzijde (19 van 20). Dode bladluizen daarentegen landen in 52,2% op hun
buikzijde (12 van 23)."
Voorbeeld: Bladluizen (vervolg)
Is er bewijs (bij significantieniveau 5%) dat levende bladluizen vaker rechtop landen dan het toeval
zou voorspellen?
Hier zou "toeval" 50% buiklandingen zijn. We toetsen dus:
H₀: p = 0,5 versus Hₐ: p > 0,5
Berekening bladluizen-voorbeeld
z = (0,95 − 0,5) / √[0,5(1−0,5)/20] = 4,02
De verwachte aantallen succes en falen zijn elk 10, dus de z-procedure is geldig.
De P-waarde is P(z ≥ 4,02) < 0,0002, zeer significant. We verwerpen H₀. Er is zeer sterk bewijs dat
het rechtlandgedrag beter is dan toeval.
Betrouwbaarheidsinterval voor p
Wanneer p onbekend is, zijn zowel het midden als de spreiding van de steekproevenverdeling
onbekend → probleem.
We moeten een waarde voor p "raden". Onze opties:
• Gebruik steekproefproportie p̂ (grote-steekproefmethode, presteert slecht)
• Gebruik verbeterde schatting p̃ (plus-vier-methode, redelijk nauwkeurig)
Grote-steekproef betrouwbaarheidsinterval
Gebruik deze methode wanneer het aantal successen EN het aantal mislukkingen beide minstens 15
zijn.
BI: p̂ ± m
met m = z* √[p̂(1−p̂)/n]
Interpretatie betrouwbaarheidsinterval
Voor een aselecte steekproef van grootte n uit een grote populatie met steekproefproportie p̂ uit de
data, is een benaderd C% betrouwbaarheidsinterval voor p:
p̂ ± z* SE
C is het oppervlak onder de standaard normale curve tussen −z* en z*
Voorbeeld: Artritispatiënten
We berekenen een 90% betrouwbaarheidsinterval voor de populatieproportie van artritispatiënten die
"bijwerkingen" ervaren.
Steekproef: 23 van 440 hadden bijwerkingen.
p̂ = 23/440 = 0,052
, Berekening artritis-voorbeeld
Voor een 90% betrouwbaarheidsniveau is z* = 1,645.
m = 1,645 × √[0,052(1−0,052)/440] = 0,017
90% BI: 0,052 ± 0,017 = (0,035 ; 0,069)
Met 90% betrouwbaarheid: tussen 3,5% en 6,9% van artritispatiënten ervaart bijwerkingen.
"Plus-vier" betrouwbaarheidsinterval
De "plus-vier"-methode geeft redelijk nauwkeurige betrouwbaarheidsintervallen. We doen alsof we
vier extra observaties hadden: twee successen en twee mislukkingen.
De nieuwe steekproefgrootte is dus n + 4 en het aantal successen is X + 2.
Plus-vier schatting
p̃ = (aantal successen + 2) / (totaal aantal observaties + 4)
Een benaderd C% betrouwbaarheidsinterval is:
BI: p̃ ± m
met m = z* √[p(̃ 1−p)̃ /(n+4)]
Wanneer plus-vier gebruiken?
Gebruik deze methode wanneer C minstens 90% is en steekproefgrootte minstens 10.
Plus-vier voorbeeld: Artritis
We willen een 90% BI voor de populatieproportie artritispatiënten met bijwerkingen.
p̃ = (23 + 2)/(440 + 4) = 25/444 = 0,056
m = 1,645 × √[0,056(1−0,056)/444] = 0,018
90% BI: 0,056 ± 0,018 = (0,038 ; 0,074)
Interpretatie plus-vier resultaat
Met 90% betrouwbaarheid: tussen 3,8% en 7,4% van de populatie artritispatiënten die dit pijnmedicijn
nemen, ervaart bijwerkingen.
Steekproefgrootte voor gewenste marge
Je moet mogelijk een steekproefgrootte kiezen die groot genoeg is om een gespecificeerde marge
van fout te bereiken.
Omdat de steekproevenverdeling van p̂ een functie is van de onbekende populatieproportie p, vereist
dit proces dat je een waarschijnlijke waarde voor p raadt: p*.
Formule voor steekproefgrootte
n = (z*)² × p*(1−p*) / m²
Maak een geïnformeerde schatting voor p* of gebruik p* = 0,5 (meest conservatieve schatting).
Voorbeeld: Benodigde steekproefgrootte
Inhoud
Proportie ........................................................................................................................ 2
Proporties....................................................................................................................... 6
Chi-kwardraat ................................................................................................................ 9
Power-analyse en groepsgrootteberekening .............................................................. 14
Regressie ..................................................................................................................... 20
One-way ANOVA: meerdere gemiddelden vergelijken .............................................. 25
Follow-up tests............................................................................................................. 32
Two-way ANOVA......................................................................................................... 36
Betrouwbaarheid ......................................................................................................... 42
,Proportie
Voorwaarden voor inferentie over proporties
Assumpties:
• De data die gebruikt worden voor de schatting zijn een aselecte steekproef uit de
bestudeerde populatie
• De populatie is minstens 20 keer zo groot als de steekproef (dit garandeert onafhankelijkheid)
• De steekproefgrootte n is groot genoeg dat de vorm van de steekproevenverdeling ongeveer
Normaal is
De steekproefproportie p̂
We bestuderen nu categorische data en trekken conclusies over de proportie, of percentage, van de
populatie met een specifieke eigenschap.
Als we een bepaalde categorische eigenschap in de populatie "succes" noemen, dan is de
steekproefproportie van successen p̂ (phat):
p̂ = aantal successen in de steekproef / totaal aantal observaties
Voorbeeld: De steekproefproportie p̂
We behandelen een groep van 120 Herpes-patiënten met een nieuw medicijn; 30 knappen op:
p̂ = 30/120 = 0,25
(proportie patiënten die verbeteren in de steekproef)
Steekproevenverdeling van p̂
De steekproevenverdeling van p̂ is nooit exact Normaal. Maar voor voldoende grote steekproeven
kan deze benaderd worden door een Normale curve.
Het gemiddelde en de standaarddeviatie (breedte) van de steekproevenverdeling worden beide
volledig bepaald door p en n.
Significantietoets voor p
Bij het toetsen van: H₀: p = p₀ (een gegeven waarde die we toetsen)
z = (p̂ − p₀) / √[p₀(1−p₀)/n]
Als H₀ waar is, is de steekproevenverdeling bekend. De toetsingsgrootheid is de gestandaardiseerde
waarde van p̂.
Geldigheid van de z-toets
Deze toets is geldig wanneer beide verwachte aantallen — verwachte successen np₀ en verwachte
mislukkingen n(1 − p₀) — elk 10 of groter zijn.
De standaardfout onder H₀ is: √[p₀(1−p₀)/n]
P-waarde voor een- of tweezijdig alternatief
De P-waarde is de kans, als H₀ waar was, om een toetsingsgrootheid te verkrijgen zoals de
berekende of extremer in de richting van Hₐ.
Voorbeeld: Bladluizen
,Bladluizen ontwijken roofdieren (lieveheersbeestjes) door van het blad te vallen. Een experiment
onderzocht het mechanisme van deze val.
"Wanneer ondersteboven losgelaten met een pincet, landen levende bladluizen in 95% van de
pogingen op hun buikzijde (19 van 20). Dode bladluizen daarentegen landen in 52,2% op hun
buikzijde (12 van 23)."
Voorbeeld: Bladluizen (vervolg)
Is er bewijs (bij significantieniveau 5%) dat levende bladluizen vaker rechtop landen dan het toeval
zou voorspellen?
Hier zou "toeval" 50% buiklandingen zijn. We toetsen dus:
H₀: p = 0,5 versus Hₐ: p > 0,5
Berekening bladluizen-voorbeeld
z = (0,95 − 0,5) / √[0,5(1−0,5)/20] = 4,02
De verwachte aantallen succes en falen zijn elk 10, dus de z-procedure is geldig.
De P-waarde is P(z ≥ 4,02) < 0,0002, zeer significant. We verwerpen H₀. Er is zeer sterk bewijs dat
het rechtlandgedrag beter is dan toeval.
Betrouwbaarheidsinterval voor p
Wanneer p onbekend is, zijn zowel het midden als de spreiding van de steekproevenverdeling
onbekend → probleem.
We moeten een waarde voor p "raden". Onze opties:
• Gebruik steekproefproportie p̂ (grote-steekproefmethode, presteert slecht)
• Gebruik verbeterde schatting p̃ (plus-vier-methode, redelijk nauwkeurig)
Grote-steekproef betrouwbaarheidsinterval
Gebruik deze methode wanneer het aantal successen EN het aantal mislukkingen beide minstens 15
zijn.
BI: p̂ ± m
met m = z* √[p̂(1−p̂)/n]
Interpretatie betrouwbaarheidsinterval
Voor een aselecte steekproef van grootte n uit een grote populatie met steekproefproportie p̂ uit de
data, is een benaderd C% betrouwbaarheidsinterval voor p:
p̂ ± z* SE
C is het oppervlak onder de standaard normale curve tussen −z* en z*
Voorbeeld: Artritispatiënten
We berekenen een 90% betrouwbaarheidsinterval voor de populatieproportie van artritispatiënten die
"bijwerkingen" ervaren.
Steekproef: 23 van 440 hadden bijwerkingen.
p̂ = 23/440 = 0,052
, Berekening artritis-voorbeeld
Voor een 90% betrouwbaarheidsniveau is z* = 1,645.
m = 1,645 × √[0,052(1−0,052)/440] = 0,017
90% BI: 0,052 ± 0,017 = (0,035 ; 0,069)
Met 90% betrouwbaarheid: tussen 3,5% en 6,9% van artritispatiënten ervaart bijwerkingen.
"Plus-vier" betrouwbaarheidsinterval
De "plus-vier"-methode geeft redelijk nauwkeurige betrouwbaarheidsintervallen. We doen alsof we
vier extra observaties hadden: twee successen en twee mislukkingen.
De nieuwe steekproefgrootte is dus n + 4 en het aantal successen is X + 2.
Plus-vier schatting
p̃ = (aantal successen + 2) / (totaal aantal observaties + 4)
Een benaderd C% betrouwbaarheidsinterval is:
BI: p̃ ± m
met m = z* √[p(̃ 1−p)̃ /(n+4)]
Wanneer plus-vier gebruiken?
Gebruik deze methode wanneer C minstens 90% is en steekproefgrootte minstens 10.
Plus-vier voorbeeld: Artritis
We willen een 90% BI voor de populatieproportie artritispatiënten met bijwerkingen.
p̃ = (23 + 2)/(440 + 4) = 25/444 = 0,056
m = 1,645 × √[0,056(1−0,056)/444] = 0,018
90% BI: 0,056 ± 0,018 = (0,038 ; 0,074)
Interpretatie plus-vier resultaat
Met 90% betrouwbaarheid: tussen 3,8% en 7,4% van de populatie artritispatiënten die dit pijnmedicijn
nemen, ervaart bijwerkingen.
Steekproefgrootte voor gewenste marge
Je moet mogelijk een steekproefgrootte kiezen die groot genoeg is om een gespecificeerde marge
van fout te bereiken.
Omdat de steekproevenverdeling van p̂ een functie is van de onbekende populatieproportie p, vereist
dit proces dat je een waarschijnlijke waarde voor p raadt: p*.
Formule voor steekproefgrootte
n = (z*)² × p*(1−p*) / m²
Maak een geïnformeerde schatting voor p* of gebruik p* = 0,5 (meest conservatieve schatting).
Voorbeeld: Benodigde steekproefgrootte
