Samenvatting Rekenproblemen en dyscalculie
Hoofstuk 1: Ter inleiding: rekenen, rekenproblemen en dyscalculie
1.2 Leren en individuele verschillen
Assimilatie -> het inpassen van nieuwe kennis in het oude kennisbestand. Accommodatie -> het aanpassen van
al bestaande kennis.
Cognitief leren -> het geleerde is duurzaam en in principe toe te passen in en uit te breiden naar nieuwe
situaties (transfer).
Leren -> is een proces met min of meer duurzame resultaten, waardoor nieuwe gedragspotenties van de
persoon ontstaan of reeds aanwezige zich wijzigen.
Incidenteel leren -> wanneer leeractiviteiten zich toevallig of onbedoeld aandienen.
Schoolse leren/intentioneel leren -> gericht op het in een bepaalde tijd bereiken van een omschreven kennis-
en vaardigheidsniveau.
1.3 Rekenen en rekenproblemen
Rekenen is een afsprakensysteem. Inhoud en verdeling van leerstof over leerjaren wordt vastgelegd in
leerlijnen en in leerdoelen die lln na een onderwijsperiode normaal gesproken bereiken.
Verschillende theorieën leiden tot verschillende definities van rekenen. Algemene definitie van rekenen:
Rekenen is een proces waarin een realiteit (of een abstractie daarvan) wordt geordend of herordend met
behulp van op inzicht berustende denkhandelingen, welke ordening in principe is te kwantificeren en die
toelaat om er (logische) operaties op uit te voeren dan wel uit af te leiden. Deze definiete omvat het
voorbereidende rekenen (kleuters), aanvankelijk rekenen (groep 3) en gevorderde rekenen.
Rekenen is een actief proces, het veronderstelt handelingen, denkhandelingen met of zonder materiaal.
Denkhandelingen betekent het transformeren van de een ordening in één of meer nieuwe ordeningen. Dit
proces verloopt niet willekeurig, maar (meer of minder) doelgericht en logisch en is voor buitenstaander niet
altijd direct duidelijk.
Rekenen, als manier van ordenen, is ook een proces van probleemoplossing en informatieverwerking met
stappen als: analyseren van binnengekomen gegeven, vergelijken van info met aanwezige voorkennis, in
werkgeheugen beschikbaar houden van info en tussentijds controleren. Hier wordt mede beroep gedaan op
cognitieve vaardigheden die niet specifiek zijn voor het rekenen.
Rekenen is een leerproces, waarin elke oplossing leidt tot verder inzicht, meer samenhang tussen ervaringen en
toename in vaardigheid. Ordeningen worden steeds efficiënter en complexer.
Rekenproblemen zijn te beschrijven a.d.h.v. het rekenproces of meer vanuit het specifieke kwantificerende
karakter van rekenen en daarbij behorende rekentaal.
1.3.1 Feiten en procedures
In omgaan met hoeveelheden in dagelijkse realiteit gebruiken we taal. We benoemen en beschrijven
voorwerpen en gebeurtenissen o.a. met getallen (trein heeft 5 min. vertraging), of met begrippen die in
getallen zijn om te zetten (trein heeft minder wagons), maar ook met allerlei andere termen die kunnen
verwijzen naar hoeveelheden (er eentje bij doen).
Een oplossing kan gegeven worden o.b.v. een logische denkprocedure, zonder gebruik van de wiskundig
symbolentaal of van specifieke rekenfeiten. Maar er bestaat wel een verschil tussen inzicht in of begrip van
procedures en vlot en foutloos kunne beschikken over feiten en afspraken. Oplossen van veel reken- en
wiskunde problemen vraagt vaak om een vlotte beschikbaarheid van feiten- en afsprakenkennis.
1.3.2 Automatiseren van kennis
Er wordt verwacht dat lln aan eind groep 8 de vier hoofdbewerkingen in getalbereik tot 100 (en daarboven)
vlot en foutloos moeten kunnen toepassen. Daarbij wordt er van uitgegaan dat frequent voorkomende
uitkomsten van eenvoudige bewerkingen zijn geautomatiseerd, maar ook dat veel voorkomende termen en
symbolen automatisch worden gehanteerd. In grote lijnen doen zich gedurende proces van automatisering
geleidelijk veranderingen voor:
Van stap voor stap en bewust aanpakken van een opgave naar direct weten van tussen- of eindproducten.
Van langzaam naar geoefend en snel.
Van geïsoleerd naar gecombineerd met of geïntegreerd in andere vaardigheden (bv bij darts).
Bij kinderen met ernstige rekenproblemen (of dyscalculie) komt automatiseren niet tot stand.
,1.4 Ernstige rekenproblemen: dyscalculie
Definitie dyscalculie: is een stoornis die gekenmerkt wordt door hardnekkige problemen met het leren en
vlot/accuraat oproepen/toepassen van reken- /wiskundefeiten (feiten/afspraken).
Er gaat in het psychologische functioneren van mensen met dyscalculie iets mis. De direct beschikbaarheid van
feiten en afspraken (het onthouden) komt bij hen niet of onvoldoende tot stand. Er is sprake van een verlies
van of afwijking in een psychologische functie.
Dyscalculie leidt tot allerlei beperkingen en extra last in dagelijks leven -> niet vlot met geld kunnen omgaan,
niet goed kunnen gebruiken van ov tijden, problemen met klokkijken.
Dyscalculie heeft een erfelijke basis.
1.5 Dyscalculie en co-morbiditeit
Verstandelijke beperking -> Door gebrek aan inzicht en beperkt logisch kunnen nadenken kunnen ook
rekenproblemen optreden. Bij een IQ lager dan 70 kan er nooit sprake zijn dyscalculie. De beperkte
rekenvaardigheden worden opgevat als deel van de verstandelijke beperking en niet al comorbiditeit. Bij IQ
tussen 70 en 85 zal niveau van inzichtelijk rekenen doorgaans benden gemiddeld zijn, gepaard gaand met
beperkt niveau van automatisering. Bij klein deel kan echter de automatisering opvallend achterblijven t.o.v.
hun rekenbegrip. Er is dan wel sprake van twee problemen.
Dyslexie -> uit verschillende onderzoeken komt naar voren dat lees- en rekenprestaties redelijk tot sterk met
elkaar samenhangen. In het bijzonder wanneer het gaat om automatisering. Zowel woordkennis als rekenfeiten
zouden verbaal-auditief gecodeerd zijn in linker hemisfeer gedeelte van het langetermijngeheugen.
ADHD -> mogelijk verklaarbaar vanuit een gemeenschappelijke genetische risicofactor. Naar schatting heeft een
kwart van kinderen met dyslexie ook ADHD. Hier kan een verklaring liggen voor comorbiditeit van ADHD en
dyscalculie, meer onderzoek is wel nodig.
NLD (Non-verbale leerstoornis) -> over algemeen is bij kinderen met NLD verbale ontwikkeling sterker dan
ontwikkeling van non-verbale vaardigheden. Ze vallen op door problemen met mechanisch rekenen en
wiskunde. Echter is NLD als syndroom veel meer dan alleen een rekenprobleem. Dyscalculie is slechts een van
de kenmerken. Om die reden is het ook niet mogelijk om te spreken van comorbiditeit met dyscalculie.
1.7 De verdere opbouw van dit boek
1.7.1 Leren rekenen in hoofdlijnen
1. Elementaire ervaring in en feedback bij ordenend handelen -> kinderen doen van jongs af aan
spelenderwijs ervaring op in groeperen (soorten dieren), in vergelijken en ordenen (licht en zwaar), in het
bij elkaar zoeken van voorwerpen, in het op allerlei manieren meten en in het overwinnen van misleidende
waarneming. Essentieel is de rol van omgeving, door ervaringen te benoemen en te ordenen in taal
(reflectieve feedback).
2. Ervaringen met het regelmatig ‘tellend’ benoemen van handelingen/waarnemingen -> telrij tot 20 en
verder kan door veel peuters en kleuters worden opgezegd. Impliciet worden ook spelregels van tellen
verworven (bij 1 beginnen, niet overslaan of dubbel tellen). Langzamerhand wordt begrepen dat symbolen
en cijfers (verschillende) betekenissen kunnen hebben (huisnummer, leeftijd).
3. Toepassen van spelregels van tellen in kwantitatief (her)ordenen -> getalsmatig vaststellen van
hoeveelheden en toepassen van tellen in het bewerken van realiteit leiden tot verder begrip van wat
getallen zijn.
4. Bewust gebruiken van rekensymbolen -> getallen en andere symbolen hebben een betekenis en kunnen
op vaste manier gebruikt worden.
5. Automatiseren van rekenkennis en regelmatige uitkomsten van bewerkingen -> door oefening, herhaling
en feedback wordt niet alleen rekentaal ingeslepen, maar ontstaan ook vaste verbindingen tussen getallen.
Er ontstaan automatismen, met als voordeel dat geheugenbelasting beperkt blijft.
6. Toenemende automatisering en verdergaande ontwikkeling van inzicht -> er is geen einde aan
complexiteit. Door ervaring blijven kennis en automatisering toenemen. Reflectie en ontdekken van
verbanden kunnen leiden tot nieuwe inzichten in wiskundig probleemoplossend denken.
Hoofdstuk 2.1 Cognitieve ontwikkelingspsychologie
Centrale uitgangspunten: Gedrag van mensen wordt bepaald door een gestructureerd systeem van (logische)
kennis dat tot stand komt in opeenvolgende leeftijdsfasen. Nieuwe omgevingseisen lokken uit dat kennis zich
kwalitatief en kwantitatief aanpast, maar volgorde van fasen staat (biologisch) vast. In deze
, ontwikkelingshiërarchie vormen kennis en vaardigheden uit de ene fase een voorwaarde voor het succesvol
doorlopen van volgende fase. Veranderingen zijn systematisch, duurzaam en onomkeerbaar.
Belangrijkste auteur: Piaget, en werk van hem dat latere onderzoekers heeft geïnspireerd.
Belang voor rekenen: Nadruk op de kwaliteit van logisch denken en op klinische methode: nauwkeurige
observatie van en gesprekken met kinderen a.d.h.v. ‘experimenten’ met waarnemings- en
probleemoplostaken. Cruciale vraag is: aan welke cognitieve voorwaarden moet noodzakelijk zijn voldaan om
tot rekenen te komen.
Rekenen en rekenprocessen staan in ontwikkeling van kind niet op zichzelf. Voorbereidend rekenen: kinderen
doen al vroeg experimenterend en manipulerend hoeveelheidservaringen op en verwerven inzicht in de talige
en logische aspecten ervan. Een goede start van rekencurriculum vereist dat aan aantal cognitieve
voorwaarden is voldaan, of dat deze voorwaarden zich tijdens leren rekenen als het ware mee-ontwikkelen.
Overkoepelende term voor deze voorwaarden en kunnen omgaan met getallen heet: getalbegrip.
2.1.1 Getalbegrip
Getallen hebben meerdere functies: hoofdgetal (kardinaal getal -> hoeveelheidsaanduiding) en ranggetal
(ordinaal getal -> volgordeaanduiding). Uitvoeren van één handeling (tellen) en daarbij getallen in de twee
functies gebruiken.
Wanneer een kind op ieder moment tijdens het aftellen van losse elementen elk telwoord zowel opvat als
aanduiding van het hoeveelste getelde element als van het totale aantal tot dan toe getelde elementen,
spreken we van getalbegrip. Bij noemen van de hoeveelste gaat het om de volgorderelatie, ongeacht de andere
kenmerken van de elementen. Daarentegen speelt het bij het kunnen antwoorden op de vraag ‘hoeveel samen’
de volgorderelatie gaan rol. Het aangeven van hoeveel (kardinatie) en van de hoeveelste (ordinatie)
ontwikkelen zich hand in hand met gebruik van getalaanduidingen: vier, zeven, derde.
Voor kinderen is het vaak verwarrend dat elk ranggetal ook de functie van hoofdgetal kan hebben en dat elk
rangtelwoord tegelijk ook aantal van alle tot dan toe getelde objecten aangeeft.
2.1.2 Hoe komt het begrip van wat een getal is tot stand?
Concrete ervaring met ordenend handelen gaat vooraf aan goed begrip van abstracte getallen. Een belangrijk
onderwerp van studie in de ontwikkelingspsychologie zijn de voorwaarden in de denkontwikkeling, die aan
deze abstractie voorafgaan. Kenmerken van rekenvoorwaarden:
Conservatie: overwinnen van de directe waarneming en ‘omkeerbaar’ kunnen denken. Het ‘logisch’
doorzien van misleiding in de waarneming, kunnen afzien van niet-relevante kenmerken en van hoe iets er
op het eerste gezicht uitziet.
Conservatieproef (Piaget) -> gelijkblijvende hoeveelheid limonade in smal, hoog glas of in laag, breed glas.
Jongere kinderen kiezen voor smal hoog glas. Oudere kinderen doorzien dit, zij begrijpen dat een
verandering in verschijningsvorm weer ongedaan kan worden gemaakt.
Volgens Piaget komen kinderen tot conservatie tussen 6/7 en 11 jaar. Al lang daarvoor (tot 18 maanden)
ontdekken ze dat er ook buiten eigen waarneming voorwerpen bestaan (rammelaar verdwijnt niet als er
een dekentje overheen ligt). Vervolgens ontstaat er door ervaring ‘voorstellingen’ en worden handelingen
verinnerlijkt (18 maanden tot 7 jaar -> pre-operatior en intuïtief stadium), maar kind blijft in het denken
nog gebonden aan eigen waarneming en concrete ervaringen. Kind gaat over naar volgende fase wanneer
ontwikkelingsmechanisme zoekt naar cognitief evenwicht (equilibratie). Conservatie is een kenmerk van
intelligent gedrag, dat ontstaat uit een samenspel van omgeving en individu. De theorie van Piaget is dan
ook interactietheorie: omgeving levert noodzakelijke ervaring voor kind. Belangrijk is reflectieve feedback.
Fysiologische rijping, leren van omgevingsinfo en ontwikkelingservaring zijn niet los van elkaar te zien.
Kritiek op Piaget: conservatie van aantal is geen dwingende voorwaarde voor leren rekenen. Beide worden
hand in hand verworven.
Correspondentie: ordenen volgens paarsgewijze overeenkomst. Correspondentie staat niet helemaal los
van conservatie van aantal. Wanneer we van twee even lange rijen van vijf muntjes één rij uit elkaar
schuiven en van kind willen weten of het nu nog evenveel zijn, dan is de paarsgewijze overeenstemming
voor kind een controle. Ene rij is langer, maar heeft toch niet meer muntjes.
Dankzij principe van paarsgewijze correspondentie zijn hoeveelheidvergelijkingen heel precies uit te
voeren. Kinderen gebruiken dit al voordat ze gaan tellen (tafeltje dekken). Bij laten corresponderen van
verzamelingen blijkt hoeveelheideigenschap (hoeveelheidaanduiding) overdraagbaar te zijn: transitieve
Hoofstuk 1: Ter inleiding: rekenen, rekenproblemen en dyscalculie
1.2 Leren en individuele verschillen
Assimilatie -> het inpassen van nieuwe kennis in het oude kennisbestand. Accommodatie -> het aanpassen van
al bestaande kennis.
Cognitief leren -> het geleerde is duurzaam en in principe toe te passen in en uit te breiden naar nieuwe
situaties (transfer).
Leren -> is een proces met min of meer duurzame resultaten, waardoor nieuwe gedragspotenties van de
persoon ontstaan of reeds aanwezige zich wijzigen.
Incidenteel leren -> wanneer leeractiviteiten zich toevallig of onbedoeld aandienen.
Schoolse leren/intentioneel leren -> gericht op het in een bepaalde tijd bereiken van een omschreven kennis-
en vaardigheidsniveau.
1.3 Rekenen en rekenproblemen
Rekenen is een afsprakensysteem. Inhoud en verdeling van leerstof over leerjaren wordt vastgelegd in
leerlijnen en in leerdoelen die lln na een onderwijsperiode normaal gesproken bereiken.
Verschillende theorieën leiden tot verschillende definities van rekenen. Algemene definitie van rekenen:
Rekenen is een proces waarin een realiteit (of een abstractie daarvan) wordt geordend of herordend met
behulp van op inzicht berustende denkhandelingen, welke ordening in principe is te kwantificeren en die
toelaat om er (logische) operaties op uit te voeren dan wel uit af te leiden. Deze definiete omvat het
voorbereidende rekenen (kleuters), aanvankelijk rekenen (groep 3) en gevorderde rekenen.
Rekenen is een actief proces, het veronderstelt handelingen, denkhandelingen met of zonder materiaal.
Denkhandelingen betekent het transformeren van de een ordening in één of meer nieuwe ordeningen. Dit
proces verloopt niet willekeurig, maar (meer of minder) doelgericht en logisch en is voor buitenstaander niet
altijd direct duidelijk.
Rekenen, als manier van ordenen, is ook een proces van probleemoplossing en informatieverwerking met
stappen als: analyseren van binnengekomen gegeven, vergelijken van info met aanwezige voorkennis, in
werkgeheugen beschikbaar houden van info en tussentijds controleren. Hier wordt mede beroep gedaan op
cognitieve vaardigheden die niet specifiek zijn voor het rekenen.
Rekenen is een leerproces, waarin elke oplossing leidt tot verder inzicht, meer samenhang tussen ervaringen en
toename in vaardigheid. Ordeningen worden steeds efficiënter en complexer.
Rekenproblemen zijn te beschrijven a.d.h.v. het rekenproces of meer vanuit het specifieke kwantificerende
karakter van rekenen en daarbij behorende rekentaal.
1.3.1 Feiten en procedures
In omgaan met hoeveelheden in dagelijkse realiteit gebruiken we taal. We benoemen en beschrijven
voorwerpen en gebeurtenissen o.a. met getallen (trein heeft 5 min. vertraging), of met begrippen die in
getallen zijn om te zetten (trein heeft minder wagons), maar ook met allerlei andere termen die kunnen
verwijzen naar hoeveelheden (er eentje bij doen).
Een oplossing kan gegeven worden o.b.v. een logische denkprocedure, zonder gebruik van de wiskundig
symbolentaal of van specifieke rekenfeiten. Maar er bestaat wel een verschil tussen inzicht in of begrip van
procedures en vlot en foutloos kunne beschikken over feiten en afspraken. Oplossen van veel reken- en
wiskunde problemen vraagt vaak om een vlotte beschikbaarheid van feiten- en afsprakenkennis.
1.3.2 Automatiseren van kennis
Er wordt verwacht dat lln aan eind groep 8 de vier hoofdbewerkingen in getalbereik tot 100 (en daarboven)
vlot en foutloos moeten kunnen toepassen. Daarbij wordt er van uitgegaan dat frequent voorkomende
uitkomsten van eenvoudige bewerkingen zijn geautomatiseerd, maar ook dat veel voorkomende termen en
symbolen automatisch worden gehanteerd. In grote lijnen doen zich gedurende proces van automatisering
geleidelijk veranderingen voor:
Van stap voor stap en bewust aanpakken van een opgave naar direct weten van tussen- of eindproducten.
Van langzaam naar geoefend en snel.
Van geïsoleerd naar gecombineerd met of geïntegreerd in andere vaardigheden (bv bij darts).
Bij kinderen met ernstige rekenproblemen (of dyscalculie) komt automatiseren niet tot stand.
,1.4 Ernstige rekenproblemen: dyscalculie
Definitie dyscalculie: is een stoornis die gekenmerkt wordt door hardnekkige problemen met het leren en
vlot/accuraat oproepen/toepassen van reken- /wiskundefeiten (feiten/afspraken).
Er gaat in het psychologische functioneren van mensen met dyscalculie iets mis. De direct beschikbaarheid van
feiten en afspraken (het onthouden) komt bij hen niet of onvoldoende tot stand. Er is sprake van een verlies
van of afwijking in een psychologische functie.
Dyscalculie leidt tot allerlei beperkingen en extra last in dagelijks leven -> niet vlot met geld kunnen omgaan,
niet goed kunnen gebruiken van ov tijden, problemen met klokkijken.
Dyscalculie heeft een erfelijke basis.
1.5 Dyscalculie en co-morbiditeit
Verstandelijke beperking -> Door gebrek aan inzicht en beperkt logisch kunnen nadenken kunnen ook
rekenproblemen optreden. Bij een IQ lager dan 70 kan er nooit sprake zijn dyscalculie. De beperkte
rekenvaardigheden worden opgevat als deel van de verstandelijke beperking en niet al comorbiditeit. Bij IQ
tussen 70 en 85 zal niveau van inzichtelijk rekenen doorgaans benden gemiddeld zijn, gepaard gaand met
beperkt niveau van automatisering. Bij klein deel kan echter de automatisering opvallend achterblijven t.o.v.
hun rekenbegrip. Er is dan wel sprake van twee problemen.
Dyslexie -> uit verschillende onderzoeken komt naar voren dat lees- en rekenprestaties redelijk tot sterk met
elkaar samenhangen. In het bijzonder wanneer het gaat om automatisering. Zowel woordkennis als rekenfeiten
zouden verbaal-auditief gecodeerd zijn in linker hemisfeer gedeelte van het langetermijngeheugen.
ADHD -> mogelijk verklaarbaar vanuit een gemeenschappelijke genetische risicofactor. Naar schatting heeft een
kwart van kinderen met dyslexie ook ADHD. Hier kan een verklaring liggen voor comorbiditeit van ADHD en
dyscalculie, meer onderzoek is wel nodig.
NLD (Non-verbale leerstoornis) -> over algemeen is bij kinderen met NLD verbale ontwikkeling sterker dan
ontwikkeling van non-verbale vaardigheden. Ze vallen op door problemen met mechanisch rekenen en
wiskunde. Echter is NLD als syndroom veel meer dan alleen een rekenprobleem. Dyscalculie is slechts een van
de kenmerken. Om die reden is het ook niet mogelijk om te spreken van comorbiditeit met dyscalculie.
1.7 De verdere opbouw van dit boek
1.7.1 Leren rekenen in hoofdlijnen
1. Elementaire ervaring in en feedback bij ordenend handelen -> kinderen doen van jongs af aan
spelenderwijs ervaring op in groeperen (soorten dieren), in vergelijken en ordenen (licht en zwaar), in het
bij elkaar zoeken van voorwerpen, in het op allerlei manieren meten en in het overwinnen van misleidende
waarneming. Essentieel is de rol van omgeving, door ervaringen te benoemen en te ordenen in taal
(reflectieve feedback).
2. Ervaringen met het regelmatig ‘tellend’ benoemen van handelingen/waarnemingen -> telrij tot 20 en
verder kan door veel peuters en kleuters worden opgezegd. Impliciet worden ook spelregels van tellen
verworven (bij 1 beginnen, niet overslaan of dubbel tellen). Langzamerhand wordt begrepen dat symbolen
en cijfers (verschillende) betekenissen kunnen hebben (huisnummer, leeftijd).
3. Toepassen van spelregels van tellen in kwantitatief (her)ordenen -> getalsmatig vaststellen van
hoeveelheden en toepassen van tellen in het bewerken van realiteit leiden tot verder begrip van wat
getallen zijn.
4. Bewust gebruiken van rekensymbolen -> getallen en andere symbolen hebben een betekenis en kunnen
op vaste manier gebruikt worden.
5. Automatiseren van rekenkennis en regelmatige uitkomsten van bewerkingen -> door oefening, herhaling
en feedback wordt niet alleen rekentaal ingeslepen, maar ontstaan ook vaste verbindingen tussen getallen.
Er ontstaan automatismen, met als voordeel dat geheugenbelasting beperkt blijft.
6. Toenemende automatisering en verdergaande ontwikkeling van inzicht -> er is geen einde aan
complexiteit. Door ervaring blijven kennis en automatisering toenemen. Reflectie en ontdekken van
verbanden kunnen leiden tot nieuwe inzichten in wiskundig probleemoplossend denken.
Hoofdstuk 2.1 Cognitieve ontwikkelingspsychologie
Centrale uitgangspunten: Gedrag van mensen wordt bepaald door een gestructureerd systeem van (logische)
kennis dat tot stand komt in opeenvolgende leeftijdsfasen. Nieuwe omgevingseisen lokken uit dat kennis zich
kwalitatief en kwantitatief aanpast, maar volgorde van fasen staat (biologisch) vast. In deze
, ontwikkelingshiërarchie vormen kennis en vaardigheden uit de ene fase een voorwaarde voor het succesvol
doorlopen van volgende fase. Veranderingen zijn systematisch, duurzaam en onomkeerbaar.
Belangrijkste auteur: Piaget, en werk van hem dat latere onderzoekers heeft geïnspireerd.
Belang voor rekenen: Nadruk op de kwaliteit van logisch denken en op klinische methode: nauwkeurige
observatie van en gesprekken met kinderen a.d.h.v. ‘experimenten’ met waarnemings- en
probleemoplostaken. Cruciale vraag is: aan welke cognitieve voorwaarden moet noodzakelijk zijn voldaan om
tot rekenen te komen.
Rekenen en rekenprocessen staan in ontwikkeling van kind niet op zichzelf. Voorbereidend rekenen: kinderen
doen al vroeg experimenterend en manipulerend hoeveelheidservaringen op en verwerven inzicht in de talige
en logische aspecten ervan. Een goede start van rekencurriculum vereist dat aan aantal cognitieve
voorwaarden is voldaan, of dat deze voorwaarden zich tijdens leren rekenen als het ware mee-ontwikkelen.
Overkoepelende term voor deze voorwaarden en kunnen omgaan met getallen heet: getalbegrip.
2.1.1 Getalbegrip
Getallen hebben meerdere functies: hoofdgetal (kardinaal getal -> hoeveelheidsaanduiding) en ranggetal
(ordinaal getal -> volgordeaanduiding). Uitvoeren van één handeling (tellen) en daarbij getallen in de twee
functies gebruiken.
Wanneer een kind op ieder moment tijdens het aftellen van losse elementen elk telwoord zowel opvat als
aanduiding van het hoeveelste getelde element als van het totale aantal tot dan toe getelde elementen,
spreken we van getalbegrip. Bij noemen van de hoeveelste gaat het om de volgorderelatie, ongeacht de andere
kenmerken van de elementen. Daarentegen speelt het bij het kunnen antwoorden op de vraag ‘hoeveel samen’
de volgorderelatie gaan rol. Het aangeven van hoeveel (kardinatie) en van de hoeveelste (ordinatie)
ontwikkelen zich hand in hand met gebruik van getalaanduidingen: vier, zeven, derde.
Voor kinderen is het vaak verwarrend dat elk ranggetal ook de functie van hoofdgetal kan hebben en dat elk
rangtelwoord tegelijk ook aantal van alle tot dan toe getelde objecten aangeeft.
2.1.2 Hoe komt het begrip van wat een getal is tot stand?
Concrete ervaring met ordenend handelen gaat vooraf aan goed begrip van abstracte getallen. Een belangrijk
onderwerp van studie in de ontwikkelingspsychologie zijn de voorwaarden in de denkontwikkeling, die aan
deze abstractie voorafgaan. Kenmerken van rekenvoorwaarden:
Conservatie: overwinnen van de directe waarneming en ‘omkeerbaar’ kunnen denken. Het ‘logisch’
doorzien van misleiding in de waarneming, kunnen afzien van niet-relevante kenmerken en van hoe iets er
op het eerste gezicht uitziet.
Conservatieproef (Piaget) -> gelijkblijvende hoeveelheid limonade in smal, hoog glas of in laag, breed glas.
Jongere kinderen kiezen voor smal hoog glas. Oudere kinderen doorzien dit, zij begrijpen dat een
verandering in verschijningsvorm weer ongedaan kan worden gemaakt.
Volgens Piaget komen kinderen tot conservatie tussen 6/7 en 11 jaar. Al lang daarvoor (tot 18 maanden)
ontdekken ze dat er ook buiten eigen waarneming voorwerpen bestaan (rammelaar verdwijnt niet als er
een dekentje overheen ligt). Vervolgens ontstaat er door ervaring ‘voorstellingen’ en worden handelingen
verinnerlijkt (18 maanden tot 7 jaar -> pre-operatior en intuïtief stadium), maar kind blijft in het denken
nog gebonden aan eigen waarneming en concrete ervaringen. Kind gaat over naar volgende fase wanneer
ontwikkelingsmechanisme zoekt naar cognitief evenwicht (equilibratie). Conservatie is een kenmerk van
intelligent gedrag, dat ontstaat uit een samenspel van omgeving en individu. De theorie van Piaget is dan
ook interactietheorie: omgeving levert noodzakelijke ervaring voor kind. Belangrijk is reflectieve feedback.
Fysiologische rijping, leren van omgevingsinfo en ontwikkelingservaring zijn niet los van elkaar te zien.
Kritiek op Piaget: conservatie van aantal is geen dwingende voorwaarde voor leren rekenen. Beide worden
hand in hand verworven.
Correspondentie: ordenen volgens paarsgewijze overeenkomst. Correspondentie staat niet helemaal los
van conservatie van aantal. Wanneer we van twee even lange rijen van vijf muntjes één rij uit elkaar
schuiven en van kind willen weten of het nu nog evenveel zijn, dan is de paarsgewijze overeenstemming
voor kind een controle. Ene rij is langer, maar heeft toch niet meer muntjes.
Dankzij principe van paarsgewijze correspondentie zijn hoeveelheidvergelijkingen heel precies uit te
voeren. Kinderen gebruiken dit al voordat ze gaan tellen (tafeltje dekken). Bij laten corresponderen van
verzamelingen blijkt hoeveelheideigenschap (hoeveelheidaanduiding) overdraagbaar te zijn: transitieve
