Samenvatting - Wiskunde 3
H0 Didactische krachtlijnen - differentiatie
3 niveaugroepen:
- Tijgers: werken onder begeleiding. Laag beheersingsniveau voor de inhouden van de les.
- Wolven: werken grotendeels zelfstandig. Gemiddeld beheersingsniveau voor de inhouden van de les.
- Beren: werken zelfstandig. Hoog tot zeer hoog beheersingsniveau voor de inhouden van de les
Twee soorten differentiatie binnen wiskunde: - tempodifferentiatie
- niveaudifferentiatie
- Eerst HTE + E, dan HTE + TE
- Beter eerst ZONDER overschrijding, dan met overschrijding bij de E.
- Geen tempodifferentiatie, maar niveaudifferentiatie want niet alle getallen in de randen zijn gegeven.
- Eerst de lege vakken binnen het rooster invullen, daarna de getallen in de rand zoeken.
Drie types oefeningen door elkaar, volgens gradatie:
1. “gewone” vermenigvuldigingen v x V = …
• Binnen de maaltafels bijv. 8 x 7 = …
• Buiten de maaltafels bijv. 12 x 3 = …
2. … x V = p bijv. … x 3 = 15
→ Verhoudingsdeling: Hoeveel keer gaat 3 in 15?
3. v x … = p bijv. 7 x … = 28 vermenigvuldiger x Vermenigvuldigtal = product
→ Verdelingsdeling: 28 verdelen in 7 gelijke delen. Hoe groot is elk deel? →vxV=p
optellingen type HTE + E met overschrijding van E én T
aftrekkingen type HTE – E met ontlenen bij H én T
Gesorteerde oefeningen zijn eenvoudiger dan wanneer de types door elkaar staan.
2
1. TE – TE met brug bij E
1 2. HTE + E met brug bij E
3. … - 16 = 83 → Puntoefening!
4. HTE – E met brug bij E (Omgekeerde richting)
4
3
,H1: Getallenkennis – Functies van getallen
Getal ≠ cijfer
13 3
"Wie van jullie is er al vijf?" vraagt juf Saskia.
Eenzelfde getal/cijfer krijgt in verschillende contexten een
Maartje steekt haar vinger op, maar juf Saskia weet
andere betekenis.
dat Maartje nog vier is. "Ben jij al vijf?" vraagt ze.
"Ja," zegt Maartje, "Want wij hebben papa, mama,
Peter, Jeroen en ikke."
Hoe worden de getallen in onderstaande tekst gebruikt? Hoeveelheid
Rangorde
De 450 leerlingen en de 28 leerkrachten van onze school brengen een Verhouding
prachtige musical : 'Hoe koop je een C130?'. Voor 3 euro heb je al een Code
toegangskaart. Kom je de achttiende mei ook? Er zijn nog stoelen
beschikbaar. Reserveer je plaatsen tijdig: 011/ 44 55 51.
Drie belangrijke aandachtspunten bij het aanleren:
- Begripsvorming: verwoorden op verschillende manieren, begrippenlijst met concrete voorbeelden.
- Regelmatig herhalen: in verschillende lessen (vakoverschrijdend)
- Betekenisvolle situaties: leerlingactiviteit hoog houden.
➔ Begrijpen van functies van getallen vraagt tijd!
Getal als hoeveelheid
Om hoeveelheden te introduceren moeten de leerlingen kunnen:
- Classificeren: sorteren van voorwerpen op basis van kwalitatieve vergelijking volgens een of meerdere
kenmerken. Dit op basis van zintuiglijk waarneembare aspecten: kleur, per soort, grootte, …
vb. auto’s verzamelen op basis van kleur
→ We kunnen classificeren binnen een classificatie vb. Kaartjes met dieren en andere zaken. Dieren classificeren
binnen vogels, zoogdieren, …
Het meest abstracte aspect is aantal/hoeveelheid:
De eigenschappen van de dingen blijven buiten beschouwing, enkel hoeveel ervan zijn. Leerlingen dienen de
één-één relatie te leggen tussen voorwerp en getal.
Hoeveelheden kan je op verschillende manieren vergelijken
- Gestructureerde hoeveelheden: door de structuur kan je vergelijken zonder te tellen.
Meer tasjes of ondertassen? Elke baksteen komt overeen met een ster.
→ 1 tas blijft over → meer tassen → evenveel
- Ongestructureerde hoeveelheden: door het maken van een één-één relatie kan je ook vergelijken zonder tellen.
We moeten niet kunnen tellen om te weten welk vakje
meer/minder/evenveel is. Je kan verbinden. Als alle stippen op zijn en
nog niet alle sterren, zijn er meer sterren. Je past de 1-1 relatie toe.
→ doen ze in de 2de kleuterklas.
, Hoeveel frietjes zijn er?
Moeilijk om zo te tellen. Makkelijker om te tellen door groeperingen te
maken.
Synchroon tellen: Het ‘tellen’ gebeurt gelijktijdig met het aanwijzen van of het kijken naar voorwerpen.
→ een kind telt wel hardop en wijst aan, maar begrijpt nog niet dat het laatste getal het totaal is.
Resultatief tellen: de koppeling gebeurt tussen het getelde en de hoeveelheid
→ het kind begrijpt dat het laatste getal de hoeveelheid aangeeft.
Tellen wordt steeds verkort:
- Vaste structuren vb. getalbeelden (turven is ook een getalbeeld, zie frietjes)
- In één oogopslag zien hoeveel het er zijn, zonder tellen = subitizing
→ Flitskaartjes: 3 stippen, kaartje weg. Hoeveel stippen stonden er?
Conservatieprincipe / behoud van hoeveelheid: Conservatieprincipe of behoud van hoeveelheid duurt lang
om te ontwikkelen. Het is niet evident voor kinderen dat
beide prenten evenveel ballen bevatten.
Waar heb je meer ballen?
De 2de prent, daar hebben we meer plek voor nodig.
Als kinderen de 2 prenten kunnen gelijkstellen kunnen ze
reversibel denken: de kwantiteit verandert niet door de
uiterlijke vorm.
Getal als rangorde
Om rangorde te introduceren moeten de leerlingen kunnen:
- Seriëren = rangschikken volgens bepaalde criteria en weerkerend patroon.
= voorbereidende oefening op getal als rangorde. Vb. van klein naar groot, van weinig naar veel, …
Ook de telrij kent een vaste rangorde vb. eerste, laatste, vijfde, …
→ De leerlingen moeten hierdoor het getal als rangorde kennen.
Voorbeeld van seriëren: zet de boeken op het rek - van dik naar dun - van groot naar klein.
Ze gebruiken hiervoor rangtelwoorden:
- Bepaalde rangtelwoorden: eerste, tweede, honderdste, …
- Onbepaalde rangtelwoorden: laatste, middelste, vooraan, …
Getal als code
Dit is een functie die snel herkend wordt: barcode, telefoonnummer, pincode
→ Het getal betekent niets op zichzelf. Zonder context weet je niet waarvoor het staat.
Getal als verhouding
Dit is aan te brengen bij oudere leerlingen → breuken en procenten moeten gekend zijn.
Vb. 3 van de 4 kinderen komen met de auto naar school. ¾ = breuk. → getal als verhouding.
Bijzondere vorm: getal als maatgetal → we bekijken de maateenheid t.o.v. een geheel.
- maatgetal, maateenheid, maat
Ik wandel 3km = maat
Km = maateenheid 3 is een meetgetal/maatgetal, het geeft aan hoeveel
3 = maatgetal keer de gekozen maateenheid (km) werd afgepast.
, Getal als rekengetal/bewerking
Niet apart opgenomen → er bestaat geen aparte categorie van getallen waarmee je kan rekenen.
Vb. maatgetallen optellen/aftrekken – hoeveelheden optellen/aftrekken.
Oefeningen:
- 40 delen suiker en 60 delen fruit verhouding
- Wagen 17 ligt duidelijk voorop rangorde (eerste - tweede - … auto) – code (17, betekent niets)
- Wij logeren op kamer 512 rangorde (als je de kamers telt) – code (als je de kamer weet zijn)
- 1 – JJP – 194 code
- In 2002 werd de euro ingevoerd. rangorde (2001, 2002, 2003, … Geen 2002 jaren)
- Er zitten 20 leerlingen in de klas hoeveelheid
H1 Getallenkennis – talstelsels
Het tiendelig talstelsel
Wij gebruiken het tiendelig talstelsel → 10 symbolen: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Combinaties hiervan kunnen alle grote/kleine getallen vormen.
- Positie van het cijfer in het getal is belangrijk. Het is een positioneel talstelsel.
Vb. Vijftien – 15 = 1 staat voor 10 (1T) en 5 staat voor 5 (5E) = 10 + 5. 15 ≠ 51
- Symbool nodig dat ‘niets’ voorstelt: 0 – erg belangrijk en kenmerkend voor ons talstelsel.
Vb. 206, laat je de 0 weg heb je 26.
Hoeveelheden voorstellen op een abstracte manier, door middel van getallen, kende een lange geschiedenis:
1. Hoeveelheden bijhouden op vingers of turven.
2. Hoeveelheden tellen met behulp van kiezelsteentjes
3. Hoeveelheden structureren door groeperen.
STAP 1: : werken met concreet ongestructureerd materiaal: blokjes, knikkers, noten, dopjes, snoepjes …
Er zijn 2 zakjes van 10 snoepjes
en 5 losse snoepjes.
→ groeperen = overzichtelijk
STAP 2: werken met concreet gestructureerd materiaal = specifiek rekenmateriaal Vb. MAB-materiaal
2 staven van 10 (T) en 5 (E) losse
STAP 3: positieschema – positietabel (2de leerjaar)
Er zijn 2 tientallen en 5 eenheden.
2 5
Door het leggen van hoeveelheden met concreet ongestructureerd en concreet gestructureerd materiaal verwerven
kinderen inzicht in de structuur van getallen. (“van de hand naar het verstand”)
H0 Didactische krachtlijnen - differentiatie
3 niveaugroepen:
- Tijgers: werken onder begeleiding. Laag beheersingsniveau voor de inhouden van de les.
- Wolven: werken grotendeels zelfstandig. Gemiddeld beheersingsniveau voor de inhouden van de les.
- Beren: werken zelfstandig. Hoog tot zeer hoog beheersingsniveau voor de inhouden van de les
Twee soorten differentiatie binnen wiskunde: - tempodifferentiatie
- niveaudifferentiatie
- Eerst HTE + E, dan HTE + TE
- Beter eerst ZONDER overschrijding, dan met overschrijding bij de E.
- Geen tempodifferentiatie, maar niveaudifferentiatie want niet alle getallen in de randen zijn gegeven.
- Eerst de lege vakken binnen het rooster invullen, daarna de getallen in de rand zoeken.
Drie types oefeningen door elkaar, volgens gradatie:
1. “gewone” vermenigvuldigingen v x V = …
• Binnen de maaltafels bijv. 8 x 7 = …
• Buiten de maaltafels bijv. 12 x 3 = …
2. … x V = p bijv. … x 3 = 15
→ Verhoudingsdeling: Hoeveel keer gaat 3 in 15?
3. v x … = p bijv. 7 x … = 28 vermenigvuldiger x Vermenigvuldigtal = product
→ Verdelingsdeling: 28 verdelen in 7 gelijke delen. Hoe groot is elk deel? →vxV=p
optellingen type HTE + E met overschrijding van E én T
aftrekkingen type HTE – E met ontlenen bij H én T
Gesorteerde oefeningen zijn eenvoudiger dan wanneer de types door elkaar staan.
2
1. TE – TE met brug bij E
1 2. HTE + E met brug bij E
3. … - 16 = 83 → Puntoefening!
4. HTE – E met brug bij E (Omgekeerde richting)
4
3
,H1: Getallenkennis – Functies van getallen
Getal ≠ cijfer
13 3
"Wie van jullie is er al vijf?" vraagt juf Saskia.
Eenzelfde getal/cijfer krijgt in verschillende contexten een
Maartje steekt haar vinger op, maar juf Saskia weet
andere betekenis.
dat Maartje nog vier is. "Ben jij al vijf?" vraagt ze.
"Ja," zegt Maartje, "Want wij hebben papa, mama,
Peter, Jeroen en ikke."
Hoe worden de getallen in onderstaande tekst gebruikt? Hoeveelheid
Rangorde
De 450 leerlingen en de 28 leerkrachten van onze school brengen een Verhouding
prachtige musical : 'Hoe koop je een C130?'. Voor 3 euro heb je al een Code
toegangskaart. Kom je de achttiende mei ook? Er zijn nog stoelen
beschikbaar. Reserveer je plaatsen tijdig: 011/ 44 55 51.
Drie belangrijke aandachtspunten bij het aanleren:
- Begripsvorming: verwoorden op verschillende manieren, begrippenlijst met concrete voorbeelden.
- Regelmatig herhalen: in verschillende lessen (vakoverschrijdend)
- Betekenisvolle situaties: leerlingactiviteit hoog houden.
➔ Begrijpen van functies van getallen vraagt tijd!
Getal als hoeveelheid
Om hoeveelheden te introduceren moeten de leerlingen kunnen:
- Classificeren: sorteren van voorwerpen op basis van kwalitatieve vergelijking volgens een of meerdere
kenmerken. Dit op basis van zintuiglijk waarneembare aspecten: kleur, per soort, grootte, …
vb. auto’s verzamelen op basis van kleur
→ We kunnen classificeren binnen een classificatie vb. Kaartjes met dieren en andere zaken. Dieren classificeren
binnen vogels, zoogdieren, …
Het meest abstracte aspect is aantal/hoeveelheid:
De eigenschappen van de dingen blijven buiten beschouwing, enkel hoeveel ervan zijn. Leerlingen dienen de
één-één relatie te leggen tussen voorwerp en getal.
Hoeveelheden kan je op verschillende manieren vergelijken
- Gestructureerde hoeveelheden: door de structuur kan je vergelijken zonder te tellen.
Meer tasjes of ondertassen? Elke baksteen komt overeen met een ster.
→ 1 tas blijft over → meer tassen → evenveel
- Ongestructureerde hoeveelheden: door het maken van een één-één relatie kan je ook vergelijken zonder tellen.
We moeten niet kunnen tellen om te weten welk vakje
meer/minder/evenveel is. Je kan verbinden. Als alle stippen op zijn en
nog niet alle sterren, zijn er meer sterren. Je past de 1-1 relatie toe.
→ doen ze in de 2de kleuterklas.
, Hoeveel frietjes zijn er?
Moeilijk om zo te tellen. Makkelijker om te tellen door groeperingen te
maken.
Synchroon tellen: Het ‘tellen’ gebeurt gelijktijdig met het aanwijzen van of het kijken naar voorwerpen.
→ een kind telt wel hardop en wijst aan, maar begrijpt nog niet dat het laatste getal het totaal is.
Resultatief tellen: de koppeling gebeurt tussen het getelde en de hoeveelheid
→ het kind begrijpt dat het laatste getal de hoeveelheid aangeeft.
Tellen wordt steeds verkort:
- Vaste structuren vb. getalbeelden (turven is ook een getalbeeld, zie frietjes)
- In één oogopslag zien hoeveel het er zijn, zonder tellen = subitizing
→ Flitskaartjes: 3 stippen, kaartje weg. Hoeveel stippen stonden er?
Conservatieprincipe / behoud van hoeveelheid: Conservatieprincipe of behoud van hoeveelheid duurt lang
om te ontwikkelen. Het is niet evident voor kinderen dat
beide prenten evenveel ballen bevatten.
Waar heb je meer ballen?
De 2de prent, daar hebben we meer plek voor nodig.
Als kinderen de 2 prenten kunnen gelijkstellen kunnen ze
reversibel denken: de kwantiteit verandert niet door de
uiterlijke vorm.
Getal als rangorde
Om rangorde te introduceren moeten de leerlingen kunnen:
- Seriëren = rangschikken volgens bepaalde criteria en weerkerend patroon.
= voorbereidende oefening op getal als rangorde. Vb. van klein naar groot, van weinig naar veel, …
Ook de telrij kent een vaste rangorde vb. eerste, laatste, vijfde, …
→ De leerlingen moeten hierdoor het getal als rangorde kennen.
Voorbeeld van seriëren: zet de boeken op het rek - van dik naar dun - van groot naar klein.
Ze gebruiken hiervoor rangtelwoorden:
- Bepaalde rangtelwoorden: eerste, tweede, honderdste, …
- Onbepaalde rangtelwoorden: laatste, middelste, vooraan, …
Getal als code
Dit is een functie die snel herkend wordt: barcode, telefoonnummer, pincode
→ Het getal betekent niets op zichzelf. Zonder context weet je niet waarvoor het staat.
Getal als verhouding
Dit is aan te brengen bij oudere leerlingen → breuken en procenten moeten gekend zijn.
Vb. 3 van de 4 kinderen komen met de auto naar school. ¾ = breuk. → getal als verhouding.
Bijzondere vorm: getal als maatgetal → we bekijken de maateenheid t.o.v. een geheel.
- maatgetal, maateenheid, maat
Ik wandel 3km = maat
Km = maateenheid 3 is een meetgetal/maatgetal, het geeft aan hoeveel
3 = maatgetal keer de gekozen maateenheid (km) werd afgepast.
, Getal als rekengetal/bewerking
Niet apart opgenomen → er bestaat geen aparte categorie van getallen waarmee je kan rekenen.
Vb. maatgetallen optellen/aftrekken – hoeveelheden optellen/aftrekken.
Oefeningen:
- 40 delen suiker en 60 delen fruit verhouding
- Wagen 17 ligt duidelijk voorop rangorde (eerste - tweede - … auto) – code (17, betekent niets)
- Wij logeren op kamer 512 rangorde (als je de kamers telt) – code (als je de kamer weet zijn)
- 1 – JJP – 194 code
- In 2002 werd de euro ingevoerd. rangorde (2001, 2002, 2003, … Geen 2002 jaren)
- Er zitten 20 leerlingen in de klas hoeveelheid
H1 Getallenkennis – talstelsels
Het tiendelig talstelsel
Wij gebruiken het tiendelig talstelsel → 10 symbolen: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Combinaties hiervan kunnen alle grote/kleine getallen vormen.
- Positie van het cijfer in het getal is belangrijk. Het is een positioneel talstelsel.
Vb. Vijftien – 15 = 1 staat voor 10 (1T) en 5 staat voor 5 (5E) = 10 + 5. 15 ≠ 51
- Symbool nodig dat ‘niets’ voorstelt: 0 – erg belangrijk en kenmerkend voor ons talstelsel.
Vb. 206, laat je de 0 weg heb je 26.
Hoeveelheden voorstellen op een abstracte manier, door middel van getallen, kende een lange geschiedenis:
1. Hoeveelheden bijhouden op vingers of turven.
2. Hoeveelheden tellen met behulp van kiezelsteentjes
3. Hoeveelheden structureren door groeperen.
STAP 1: : werken met concreet ongestructureerd materiaal: blokjes, knikkers, noten, dopjes, snoepjes …
Er zijn 2 zakjes van 10 snoepjes
en 5 losse snoepjes.
→ groeperen = overzichtelijk
STAP 2: werken met concreet gestructureerd materiaal = specifiek rekenmateriaal Vb. MAB-materiaal
2 staven van 10 (T) en 5 (E) losse
STAP 3: positieschema – positietabel (2de leerjaar)
Er zijn 2 tientallen en 5 eenheden.
2 5
Door het leggen van hoeveelheden met concreet ongestructureerd en concreet gestructureerd materiaal verwerven
kinderen inzicht in de structuur van getallen. (“van de hand naar het verstand”)
