Samenvatting Statistiek II voor de sociale wetenschappen 25-26: lessen + extra notities + mogelijke examenvragen

STATISTIEK II




Prof. Tom De Winter
VERKORTE BACHELOR CRIMINOLOGISCHE WETENSCHAPPEN VUB

,Inhoud
H1: Inleiding........................................................................................................... 3
1.1 Herhaling basisconcepten............................................................................. 3
H2 : kansrekenen................................................................................................... 5
2.1 Basisconcepten van kansrekenen.................................................................5
2.2 Rekenregels voor kansen.............................................................................. 9
2.3 Voorwaardelijke kansen.............................................................................. 10
H3: Kansverdelingen............................................................................................ 12
3.1 Inleiding....................................................................................................... 12
3.2 discrete kansverdelingen............................................................................ 15
3.3 Bionomaalverdeling..................................................................................... 15
3.4 Continue kansverdelingen...........................................................................18
3.5 Normaalverdeling........................................................................................ 19
H4: Steekproevenverdelingen & centrale limietstelling........................................22
3.3 Steekproevenverdeling proportie................................................................24
3.4 De steekproevenverdeling voor een gemiddelde........................................27
H5: Hypothesetoetsen.......................................................................................... 28
5.1 Inleiding....................................................................................................... 28
5.2 Hypothesetoetsen: opbouw en logica.........................................................28
5.3 Hypothesetoets voor een proportie.............................................................31
5.4 Hypothesetoets voor een gemiddelde.........................................................34
5.5 Type I en II fouten EXAMENVRAAG!!...........................................................36
H6: betrouwbaarheidsintervallen.........................................................................38
6.1 inleiding....................................................................................................... 38
6.2 punt- en intervalschatting...........................................................................39
6.3 Betrouwbaarheidsinterval voor proportie....................................................42
6.4 betrouwheidsinterval voor gemiddelde.......................................................45
6.5 AANVULLINGEN INFERENTIËLE TECHNIEKEN...............................................46
H7: analyse en inferentie van proporties..............................................................49
7.1 Inleiding....................................................................................................... 49
7.2 Twee groepen vergelijken op basis van proporties.....................................49
7.3 Chi-kwadraattoets voor onafhankelijkheid..................................................53
H8: Analyse en inferentie van gemiddelden.........................................................58
8.1 Inleiding....................................................................................................... 58


1

, 8.2 Twee gemiddelden vergelijken: Welch’s t-test (ongelijke varianties)..........58
8.3 hypothesetoets: 5 stappen..........................................................................60
H9: Enkelvoudige lineaire regressieanalyse.........................................................62
9.1 Inleiding....................................................................................................... 62
9.2 Het lineair regressiemodel..........................................................................62
9.3 Goodness of fit: R2....................................................................................... 64
9.4 Centreren van de onafhankelijke variabele.................................................68
9.5 Dummyregressie......................................................................................... 68
H10: meervoudige regressie-analyse...................................................................69
10.1 Inleiding.................................................................................................... 69
10.2 Inferentie voor regressiemodel.................................................................69
10.3 Inferentie voor regressiecoëfficiënten.......................................................73
10.4 Waarom multivariate regressie?...............................................................75
10.5 Het multivariate regressiemodel...............................................................78
H11: meervoudige lineaire regressieanalyse deel 2.............................................80
11.1 inleiding..................................................................................................... 80
11.2 Gestandardiseerde regressiecoëfficiënten................................................80
11.3 Assumpties voor lineaire regressie............................................................81
11.4 Outliers & influential cases........................................................................84
EXAMEN................................................................................................................ 85




2

,H1: INLEIDING

1.1 HERHALING BASISCONCEPTEN

1.1 Statistiek en statistische gegevens

 Weerbaar zijn in een samenleving gedreven door cijfers (‘data-driven’)
 Realiteit is complex en onzeker à realiteit kwantificeren
 Empirie om beweringen te staven
 Beweringen op zich zijn niet voldoende, nood aan empirie
 ‘fact check’
 Niet zomaar data verzamelen, maar volgens regels van de kunst
 Inleiding onderzoeksmethoden, etc.
 Niet zomaar data analyseren, maar a.d.h.v. juiste techniek en met ruimte
voor onzekerheid
 Statistiek II, etc.

1.2 Steekproefgrootte en onderzoekspopulatie

 Populatie = Wie onderzoek ik?
 VB: Alle personen met de Belgische nationaliteit op 1 januari 2025 à
percentage actief op de arbeidsmarkt
 VB: Alle klanten van Colruyt in september 2025 à gemiddeld
aankoopbedrag per
 VB: Alle gebruikers van Netflix in 2025 à gemiddeld aantal minuten
kijken per week
 VB: Alle personen die in de loop van het jaar 2025 gedetineerd waren
in België à percentage recidivisten
 VB: Alle studenten hoger onderwijs in Vlaanderen in 2025 à percentage
studenten criminologie
 Steekproef = subset/selectie uit de volledige groep van
onderzoekseenheden in de populatie
 Een steekproef moet dezelfde karakteristieken hebben als van de
populatie die het vertegenwoordigt (representativiteit)
 Belangrijk: voor vele statistische technieken moet dit een eenvoudige
aselecte toevalssteekproef (EAS) zijn (SRS - ‘simple random sample’) à
elke onderzoekseenheid in de populatie heeft een gelijke kans op
selectie verschillend van nul
 Kengetallen die we meten in de steekproef à (steekproef)statistieken
 Problemen:
 Sampling error à toevalsfouten, onnauwkeurigheid à betrouwbaarheid
 Verschil tussen steekproefschatting en populatiewaarde
(‘onnauwkeurigheid’) te wijten aan toeval in de toevalssteekproef
 Komt aan bod vanaf les 4!
 Non-sampling error => Systematische fouten, vertekening =>
geldigheid
 Selection bias (manier van selecteren van respondenten geeft
vertekend beeld) à vb. survivor bias


3

,  Non-response bias (zij die deelname weigeren verschillen mogelijk
systematisch van de respondenten)
 Item non-response bias (sommige vragen in de bevraging worden niet
beantwoord)



1.3 Beschrijvende en inductieve statistiek

Beschrijvende statistiek

 = deductieve statistiek
 Beschrijvende statistiek = de wereld in cijfers beschrijven, cijfers die
hoeveelheden precies weergeven
 Een samenvatting in kengetallen
 Basis: frequentievragen
 Gebruik van grafische technieken

Indicatieve statistiek

 = Inferentiële statistiek
 Middel om met een beperkt aantal gegevens uitspraken te doen over een
breder geheel, over een volledige populatie
 Voorspellingen op basis van steekproeven (25% zekerheid maar ook 75%
onzekerheid)
 Veralgemeenbaarheid van steekproefresultaten
 Extrapopulatie: uitspraken over de volledige bevolking op basis van een
toevalssteekproef uit die bevolking
VB: veiligheidsmonitor, verkiezingsonderzoek, gezondheidsenquêtes

Verklarende statistiek

 Echte statistische analyse
 Gericht op de verklaringen van verschillen en samenhang
VB: Wat is de relatie tussen opleidingsniveau & inkomen?
Wat is de relatie tussen opleiding en gezondheid?
Wat is de samenhang tussen leeftijd en consumptie van digitale
media?
 Je gaat op zoek naar verklaringen achter bepaalde fenomenen
 Regressietechnieken
VB: bivariate regressie, multivariate regressie, logistische regressie,
survival analyse




4

,H2 : KANSREKENEN

 Kansrekenen is de basis van de inferentiële statistiek
 Inferentiële statistiek gaat over het trekken van toevalssteekproeven
VB: lotto pikt volledig ad random iemand uit de meespelende

2.1 BASISCONCEPTEN VAN KANSREKENEN

1. Kansexperiment
 = Experiment waarvan de uitkomst door toeval wordt bepaald
 Mogelijke uitkomst zijn wel gekend, experiment kan herhaald worden,
herhaalde experimenten zijn onafhankelijk

2. Uitkomstenruimte (universum; 🇬🇧 sample space; Ω)
 = volledige verzameling van alle mogelijke uitkomsten
 VB: Wanneer je een dobbelsteen eenmaal opgooit, is de
uitkomstenruimte {1,2,3,4,5,6}
 Wanneer je eenmaal een muntstuk opgooit, is de uitkomstenruimte
(K=kop, M=munt) {K,M}
 Twee muntstukken opgooien geeft {KK,KM,MK,MM}
 VB: Som van ogen van 2 dobbelstenen: {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}

3. Uitkomstenruimte (universum; 🇬🇧 sample space; Ω)
 Uitkomstenruimte voor meerdere observatiesvisualiseren via
boomdiagram
 VB: prestaties van studenten op een examen(C=correct, I=incorrect)
 Bekijken van alle mogelijke combinaties/uitkomsten ahv boomdiagram
 Kansen visualiseren
 Uit boomdiagram kunnen we afleiden dat studentenprestaties op een
examen bestaande uit drie vragen 8 mogelijke uitkomsten hebben.

4. Gebeurtenis (🇬🇧 event)
 “Subset van uitkomstenruimte” of “Deelverzameling van uitkomsten”
 Groep van uitkomsten
 Meestel aangeduid met een hoofdletter
 VB: Gebeurtenis A = “een zes gooien” = {6}
 VB: Gebeurtenis B = “een even aantal ogen gooien” = {2,4,6}
 Gebeurtenis A = alle studenten die drie vragen incorrect beantwoord
hebben = {III}
 Gebeurtenis B = alle studenten die minstens 1 vraag correct
beantwoord hebben = {CCC, CCI, CIC, CII, ICC, ICI, IIC}

5. Het concept kans
 = maat voor de waarschijnlijkheid van een bepaalde uitkomst of
gebeurtenis in een kansexperiment
 VB: Het gooien met een dobbelsteen
 P(6) = 1/6 = 16,666667% = 0,166667
 Kans à een proportie è waarde tussen 0 en 1 (Î [ 0,1])

5

,  De waarschijnlijikheid dat je die uitkomst bekomt
 VB: wat is de kans dat je een 6 gooit? 1/6
 Kans kan je uitdrukken als een breuk, proportie (getal tussen 0 en 1) of
percentage
 We gaan dit vaak schrijven als een proportie, getal tussen 0 en 1

Hoe gaan we een kans bepalen? Hoe weten we wat de kans is op een
bepaalde uitkomst?

3 BENADERINGEN VAN KANS

1. Theoretische kans
 Op voorhand theoretisch te bepalen, berekenen
 VB: Eerlijke dobbelsteen (1/6)
 Kans om de lotto te winnen (1/alle combinaties van de lotto)
 regel van Laplace in een uniforme kansverdeling
 = alle uitkomsten hebben eenzelfde kans
 VB: Gooien van een dobbelsteen:
 De gebeurtenis A “meer dan 4 gooien met een dobbelsteen” à
deelverzameling {5, 6} uit de uitkomstenruimte {1,2,3,4,5,6}
 Gebeurtenis A heeft 2 mogelijke uitkomsten, totaal aantal uitkomsten in
uitkomstenruimte= 6 è P(meer dan 4 gooien) = 2/6




 Probleem: soms onmogelijk om theoretische kans te bepalen:
 In sommige situaties kan je de theoretische kans niet bepalen
 VB: punaise, kans op hospitalisatie bij Covid, slaagkans op het examen
Statistiek II

2. Empirische kans
 De kans op een bepaalde uitkomst/gebeurtenis is de limiet van de
relatieve frequenties
 wanneer het aantal experimenten/observaties oneindig groot wordt
 VB: punaise, kans op hospitalisatie bij Covid
 VB: Bij het gooien met dobbelsteen is de kans dat de dobbelsteen de
waarde “6” aanneemt 1 op 6. M.a.w. op lange termijn is het aandeel
van zessen 1 op 6. In grafiek (zie volgende 2 slides): +- 1670 keer een
6 op 10.000 observaties à +- 1670/10.000 = +-1/6
 Kans kwantificeert toeval (randomness) op lange termijn (dus groot
aantal observaties/experimenten)
 Aangezien oneindigheid nooit geobserveerd kan worden, zijn deze
kansen altijd benaderingen van theoretische hun limietwaarden
 Wet van de grote aantallen (🇬🇧 law of large numbers)
 Jakob Bernoulli (1654-1705)




6

,  Aandeel van voorkomen bepaalde uitkomst/gebeurtenis in totaal aantal
experimenten/observaties lijkt op lange termijn naar een bepaalde
waarde te convergeren.
 Assumptie van onafhankelijkheid
 Vb. 20 keer “6” na elkaar gooien. Wat is de kans op 6 bij 21ste trial?
=> 1/6

3. Subjectieve kans
 Soms is het onmogelijk om zeer veel observaties uit te voeren, je kan deze
kans moeilijk gaan uittesten
 VB: Wat is de kans op een dodelijke meteorietinslag? Je kan moeilijk
duizenden meteorieten laten inslagen
 Kans op bepaalde uitkomst is dan gebaseerd eigen inschatting, zeer
subjectief
 Onwiskundige en onwetenschappelijk
 Deze manier van redeneren is de basis van de Bayesiaanse statistiek
(Thomas Bayes, 1701-1761)
 = tak van de statistiek die in zekere zin verwant is aan de subjectieve
benadering van kans.
 Men start van een a priori ingeschatte kans, die vervolgens verfijnd
wordt op basis van nieuwe informatie

6. Doorsnede van gebeurtenissen
 Doorsnede (🇬🇧 intersection) van gebeurtenissen A en B impliceert dat
beide gebeurtenissen tegelijk voorkomen
 VB: kaartspel
 Gebeurtenis A = kans dat de kaart een aas is
 Gebeurtenis B = kans dat de kaart een harten is
 P(A) = 4/52 = 1/13
 P(B) = 13/52 = 1/4
 P(A U B) = 1/52

7. Disjuncte gebeurtenissen
 Het omgekeerde van doorsnede van gebeurtenissen
 Gebeurtenissen die niet overlappen, niet tegelijk voorkomen, de
doorsnede is leeg
 = disjoint events
 Gebeurtenissen die geen enkele uitkomst gemeenschappelijk hebben
 Sluiten elkaar uit, komen niet tegelijk voor
 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅ en dus dat 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 0
 Met ∅ het symbool voor een lege verzameling en ∩ het symbool voor
een doorsnede
 Gebeurtenis A en complement Ac per definitie disjunct
 VB: kaartspel
 Gebeurtenis A = kaart is een aas
 Gebeurtenis B = kaart is een koning
 P(A) =4/52

7