Examen Final Grado de Ingenierı́a Quı́mica
Álgebra Lineal Grado de Ingenierı́a de Materiales
15 de enero de 2021 Universidad de Barcelona
Lee atentamente las siguientes instrucciones:
• Los ejercicicios deben hacerse con los datos que corresponden al propio NIUB en la hoja de
datos. No serán válidas las respuestas efectuadas con datos de un NIUB equivocado.
• El examen debe realizarse de forma individual. Tal y como se indica en el plan docente, el
examen se podrá complementar con una entrevista si se considera necesario.
• Debes explicar el procedimiento que usas para resolver los problemas. Las respuestas en las
que únicamente conste el resultado final no serán válidas.
• Al finalizar, entrega un único documento pdf con fotos de tus hojas de resolución de los
problemas en la tarea correspondiente del campus virtual.
• Tiempo: de 15:05 a 16:05.
Primera Parte
1. Sea V = hv1 , v2 , v3 , v4 i el subespacio de R4 generado por los vectores v1 , v2 , v3 y v4 dados en
la hoja de datos y sea W el subespacio dado en la hoja de datos.
a) (1 punto) Calcula una base de V y una base de W .
b) (1 punto) Calcula unas ecuaciones que definan V .
c) (1 punto) Calcula una base de V + W y la dimensión de V ∩ W .
2. (1 punto) Sea p(x) el polinomio dado en la hoja de datos. Encuentra todas sus raı́ces complejas.
, Examen Final Grado de Ingenierı́a Quı́mica
Álgebra Lineal Grado de Ingenierı́a de Materiales
15 de enero de 2021 Universidad de Barcelona
Lee atentamente las siguientes instrucciones:
• Los ejercicios deben hacerse con los datos que corresponden al propio NIUB en la hoja de
datos. No serán válidas las respuestas efectuadas con datos de un NIUB equivocado.
• El examen debe realizarse de forma individual. Tal y como se indica en el plan docente, el
examen se podrá complementar con una entrevista si se considera necesario.
• Debes explicar el procedimiento que usas para resolver los problemas. Las respuestas en las
que únicamente conste el resultado final no serán válidas.
• Al finalizar entrega un único documento pdf con fotos de tus hojas de resolución de los
problemas en la tarea correspondiente del campus virtual.
• Tiempo: de 16:15 a 18:15.
Segunda parte
3. Sea f : R4 −→ R3 la aplicación lineal dada en la hoja de datos.
a) (1 punto) Calcula una base del núcleo y una base de la imagen de f .
b) (0.5 puntos) Da dos vectores u y v con u 6= v tales que f (u) = f (v) y f (u) 6= 0.
c) (1 punto) Sea B la base de R3 dada en la hoja de datos. Calcula M (f, Bcan , B), donde
Bcan denota la base canónica de R4 .
4. (2 puntos) Considera la matriz A dada en la hoja de datos. Calcula el polinomio caracterı́stico
de A y sus valores propios. Di si A diagonaliza y, en caso afirmativo, encuentra una base de
R3 formada por vectores propios y encuentra matrices C, D tales que C −1 AC = D, siendo D
diagonal.
5. (1.5 puntos) Considera el sistema de ecuaciones
E ( xy ) = d
donde la matriz E y el vector d son los dados en la hoja de datos. Di si el sistema es compatible
o incompatible. En el caso de que sea compatible, da las soluciones; en el caso de que sea
incompatible, encuentra la mejor aproximación a la solución en el sentido de minimizar el error
cuadrático.
Álgebra Lineal Grado de Ingenierı́a de Materiales
15 de enero de 2021 Universidad de Barcelona
Lee atentamente las siguientes instrucciones:
• Los ejercicicios deben hacerse con los datos que corresponden al propio NIUB en la hoja de
datos. No serán válidas las respuestas efectuadas con datos de un NIUB equivocado.
• El examen debe realizarse de forma individual. Tal y como se indica en el plan docente, el
examen se podrá complementar con una entrevista si se considera necesario.
• Debes explicar el procedimiento que usas para resolver los problemas. Las respuestas en las
que únicamente conste el resultado final no serán válidas.
• Al finalizar, entrega un único documento pdf con fotos de tus hojas de resolución de los
problemas en la tarea correspondiente del campus virtual.
• Tiempo: de 15:05 a 16:05.
Primera Parte
1. Sea V = hv1 , v2 , v3 , v4 i el subespacio de R4 generado por los vectores v1 , v2 , v3 y v4 dados en
la hoja de datos y sea W el subespacio dado en la hoja de datos.
a) (1 punto) Calcula una base de V y una base de W .
b) (1 punto) Calcula unas ecuaciones que definan V .
c) (1 punto) Calcula una base de V + W y la dimensión de V ∩ W .
2. (1 punto) Sea p(x) el polinomio dado en la hoja de datos. Encuentra todas sus raı́ces complejas.
, Examen Final Grado de Ingenierı́a Quı́mica
Álgebra Lineal Grado de Ingenierı́a de Materiales
15 de enero de 2021 Universidad de Barcelona
Lee atentamente las siguientes instrucciones:
• Los ejercicios deben hacerse con los datos que corresponden al propio NIUB en la hoja de
datos. No serán válidas las respuestas efectuadas con datos de un NIUB equivocado.
• El examen debe realizarse de forma individual. Tal y como se indica en el plan docente, el
examen se podrá complementar con una entrevista si se considera necesario.
• Debes explicar el procedimiento que usas para resolver los problemas. Las respuestas en las
que únicamente conste el resultado final no serán válidas.
• Al finalizar entrega un único documento pdf con fotos de tus hojas de resolución de los
problemas en la tarea correspondiente del campus virtual.
• Tiempo: de 16:15 a 18:15.
Segunda parte
3. Sea f : R4 −→ R3 la aplicación lineal dada en la hoja de datos.
a) (1 punto) Calcula una base del núcleo y una base de la imagen de f .
b) (0.5 puntos) Da dos vectores u y v con u 6= v tales que f (u) = f (v) y f (u) 6= 0.
c) (1 punto) Sea B la base de R3 dada en la hoja de datos. Calcula M (f, Bcan , B), donde
Bcan denota la base canónica de R4 .
4. (2 puntos) Considera la matriz A dada en la hoja de datos. Calcula el polinomio caracterı́stico
de A y sus valores propios. Di si A diagonaliza y, en caso afirmativo, encuentra una base de
R3 formada por vectores propios y encuentra matrices C, D tales que C −1 AC = D, siendo D
diagonal.
5. (1.5 puntos) Considera el sistema de ecuaciones
E ( xy ) = d
donde la matriz E y el vector d son los dados en la hoja de datos. Di si el sistema es compatible
o incompatible. En el caso de que sea compatible, da las soluciones; en el caso de que sea
incompatible, encuentra la mejor aproximación a la solución en el sentido de minimizar el error
cuadrático.
