Didactiek Wiskunde – wiskundige problemen
Wiskundige problemen oplossen
Stappen in het vaardig oplossen van wiskundige problemen
HET STAPPENPLAN
Volgende stappen uitvoeren
- Analyseren van de situatie
o Van de realiteit naar wiskunde en
omgekeerd
- Kiezen of ontwikkelen van een
wiskundig model
o Inzicht verwerven in het wiskundig
systeem en daarmee vaardig
omgaan
o Welk schema gebruiken, wat doe ik
eerst
o Nog niet uitrekenen, vooral hoe oplossen en wat berekenen.
- Toepassen van wiskundige technieken
o Inzicht verwerven in het wiskundig systeem en daarmee vaardig omgaan
o Kiezen van de geschikte rekenwijze
- Controleren en interpreteren van de resultaten.
o Van de realiteit naar wiskunde en omgekeerd
o Interpreteren van het antwoord in functie van de context
o We kijken na
Heb ik het oplossingsplan goed doorlopen?
Heb ik geen rekenfout gemaakt?
Is het realistisch?
Analyseren van de situatie
Vraag: ‘wat is het probleem’
Leerlingen goede mentale voorstelling laten vormen van wat er gegeven is. Welke
gegevens zijn er? Welke zijn er tekort?
Altijd vraag laten aanduiden!!
Een passend wiskundig model opstellen
Hoe lossen we het probleem op
Gebeurt door initiële probleemrepresentatie om te zetten naar een nieuwe
probleemrepresentatie in termen van wiskundige symbolen en relatie
Heuristieken spelen grote rol
Er wordt een soort actieplan opgesteld om het probleem op te lossen: eerst gaan we…,
daarna…
Het oplossingsplan uitvoeren
Leerlingen passen de gekozen oplossingsstrategie toe.
Het oplossingsplan wordt uitgevoerd.
Kan nog bepaalde beslissingen genomen worden
Rekenwerk kan op verschillende manieren worden uitgevoerd: cijferen, hoofdrekenen
Leerlingen moeten in staat zijn om de meest geschikte rekenwijze te kiezen
De oorspronkelijke probleemsituatie naar het achterplan verdwenen
Antwoord formuleren + controleren
De uitkomst van de uitgevoerde rekenoperaties geïnterpreteerd te worden door ze terug
te plaatsen in de oorspronkelijke probleemsituatie
Klassieke vraagstukken uitkomst stap 3 meteen ook oplossing van het vraagstuk
1
,Rijke wiskundeproblemen uitkomst van het rekenwerk nog interpreteren uitkomst bv
nog worden afgerond rekening houdend met de situatie waarover het gaat of gebruikt worden
om één of andere beslissing te nemen als antwoord op de gestelde vraag
Antwoord moet ook geëvalueerd of gecontroleerd worden leerling nagaan of alle
voorgaande stappen van het oplossingsmodel goed doorlopen werden en of er negers een
fout is binnengeslopen.
Ook uitkomst controleren door oplossing in de opgave in te vullen, door onze berekeningen te
controleren op rekenfouten
HET STAPPENPLAN GESCHEMATISEERD AANBRENGEN
Het beertje van Meichenbaum elk pictogram beeldt één specifieke stap uit
Een goed gebruik de 4 pictogrammen op de bank van elke leerling en dat de leerlingen bij
toepassingslessen een pion verplaatsten van pictogram naar pictogram om zeker te zijn dat
de 4 stappen van het model doorlopen worden
Heuristieken of zoekstrategieën
WAT ZIJN HEURISTIEKEN?
Heuristieken of zoekstrategieën = oplossingsstrategieën
Heuristieken geven dus een mogelijke oplossingsweg aan, zonder echter een garantie voor
succes in te houden
Hoe pak je een sudoku aan?
- Geen algoritme
- Geen trial and error
Algoritmes Geven een vast stappenplan om een probleem aan te pakken.
Wanneer met nauwgezet de stappen volgt, gegarandeerd juiste
oplossing
Trail and error Eerder in de wilde weg proberen, eventueel op basis van intuïtie.
Soms de oplossing vinden door een samenloop van intuïtie en
gelukkig toeval
Heuristieken Gerichte zoektechnieken die niet zeker tot een oplossing leiden, maar
een systematiek inhouden en meer kracht geven dan trial en error
Hoe meer je de heuristieken toepast, des te vlotter of meer automatisch je deze heuristieken
kan gebruiken
HEURISTIEKEN IN HET STAPPENPLAN
Algemene strategie voor vaardig oplossen van wiskundige problemen bestaat uit 4 stappen
Heuristieken of zoekstrategieën worden gebruikt bij de eerste en de tweede stap
Eerste stap
Leerling goede voorstelling of representatie vormt van het probleem
2
,Belangrijk dat de leerling zicht krijgt op het gegeven, op wat gezocht moet worden, op de
relaties…
Tweede stap
Leerling moet zich afvragen hoe het probleem het best kan worden aangepakt.
Oplossingsplan worden opgesteld.
Bij wiskundige problemen vaak het kiezen van één of meerdere rekenkundige bewerkingen
die na elkaar worden opgelost
Impliciet kan je hier de heuristiek van fractioneren herkennen. Probleem wordt opgedeeld in
meerdere kleine deelproblemen die apart worden bekeken
Bij het zoeken naar een oplossingsplan gaat de leerling moeten nagaan of ze al een
gelijkaardig wiskundig probleem hebben opgelost
Derde stap
Wiskundige technieken toepassen
Vierde stap
Interpreteren en controleren.
HEURISTIEKEN DIE HELPEN BIJ HET ANALYSEREN VAN DE SITUATIE
Vaak problemen bij het oplossen van vraagstukken.
Heuristieken kunnen een middel zijn om deze ‘angst’ of onzekerheid in zekere mate te
overwinnen.
Nadruk leggen op ‘in zekere mate’ want heuristieken bieden geen garantie op tot een
oplossing te komen.
Het zich eigen maken van deze heuristieken en dus heuristieken gebruiken, kan ze wel een
stap vooruitbrengen.
Maak een tekening van de probleemsituatie
Op basis van tekstuele informatie probeert leerling een aanschouwelijke voorstelling op te
bouwen van de probleemsituatie in de vorm van schets of tekening.
Kan soms onmiddellijk de uitkomst verklappen
Tekening moet duidelijk zijn en alleen tekenen wat echt belangrijk is en eventueel belangrijke
getallen
Het probleem herformuleren en/of dramatiseren
Vaak een probleem door het taalgebruik
Door kinderen zelf het probleem met hun eigen woorden te laten vertellen kan het veel
duidelijker worden
Hulpmiddel om concentratie en betrokkenheid te verhogen
Wordt ook tijd genomen om probleem te analyseren
Probleem naspelen (dramatiseren) kan ook zoals bij vraagstukken over inkoopprijs en verlies.
Onderscheid noodzakelijke en overbodige gegevens
Eerst de vraag aandachtig bekijken en aanduiden
Zonder vraag kunnen we niet weten welke gegevens we nodig hebben
Vaak niet alle gegevens nodig uit een vraagstuk
Op zoek naar elementen die nodig zijn, duid deze aan maar enkel het noodzakelijke
Gebruik je ervaringskennis of zoek ontbrekende info
Het kan zijn dat niet (onmiddellijk) alle noodzakelijke of relevante gegevens meegegeven
worden.
Leerlingen worden ertoe aangezet om bij het oplossen van vraagstukken nuttig gebruik te
maken van zijn praktische kennis over de situatie of context.
3
, Het probleem wordt op die manier vertaald naar een nieuw probleem waarbij de praktische
kennis in opgenomen is.
In augustus nam Malin elke dag vier pilletjes. Hoeveel pilletjes waren dat in totaal?
o Zelf weten hoeveel dagen er in augustus er zijn.
Kan ook dat de leerling niet alle noodzakelijke gegevens meekreeg en ook niet zomaar weet
ontbrekende info opzoeken.
Contextrijke opgaven
ENKELVOUDIGE EN SAMENGESTELDE VRAAGSTUKKEN
Onderbouw enkelvoudige vraagstukken = slechts 1 bewerking uitvoeren om oplossing
te vinden
gemakkelijker, lagere leerjaren
Bovenbouw samengestelde vraagstukken = minstens 2 bewerkingen uitvoeren om
oplossing te vinden
moeilijker, hogere leerjaren
Voorbeeld enkelvoudig vraagstuk (4de leerjaar)
Op zaterdagavond kwamen er 980 toeschouwers naar de toneelvoorstelling kijken. Op
zaterdagavond kwamen er 1240 toeschouwers en op zondagnamiddag kwamen er
nogmaals 850 mensen naar het toneelstuk kijken.
Hoeveel mensen zijn in het totaal naar het toneelstuk komen kijken?
Voorbeeld samengesteld vraagstuk (6de leerjaar)
Een kaartje voor het toneel kost 11,50 euro. Kinderen jonger dan 12 jaar kunnen een
ticket krijgen voor de helft van de prijs. Wij willen met enkele buren naar de
toneelvoorstelling gaan kijken. We moeten tickets kopen voor 8 volwassenen en 3
kinderen.
Hoeveel moeten we in het totaal betalen?
BEWERKINGEN HERKENNEN IN EEN CONTEXT
Uitdaging niet zozeer in het uitvoeren van de berekening, maar wel in de manier waarop het
probleem geformuleerd is.
4 basisbewerkingen
- Auditieve vraagstukken = vraagstukken die contextueel gericht zijn op optellen en
aftrekken
- Multiplicatieve vraagstukken = vraagstukken die gericht zijn op vermenigvuldigen
en delen
Additieve contextrijke opgaven
Oorzaak-veranderingsvraagstukken
- Een gebeurtenis geeft hier de aanleiding tot een hoeveelheidsverandering
Cézanne had 7 koekjes. Ze geeft er 2 weg. Hoeveel koekjes blijven er over?
Combinatievraagstukken
- Situatis aanbieden waarbij nadruk leggen op delen en het geheel
- Twee of meer afzonderlijke hoeveelheden vormen samen een geheel of het geheel min
één van de delen is het andere deel
Maxine heeft 4 zwarte parels en 12 gouden parels. Hoeveel parels heeft ze?
Vergelijkingsvraagstukken
- 2 hoeveelheden worden er vergeleken.
- De bewerkingstekens worden gebruikt om het aantal gelijk te maken
Florence heeft 7 barbiepoppen en 4 rode kleedjes. Hoeveel rode kleedjes moet
ze er bij hebben om elke pop een rook kleedje aan te doen?
In het begin handelen met concreet materiaal en situatie tekenen
Geleidelijk vraagstuk omzetten in wiskundige formule.
Het zetten van de stap van het concrete over het schematische naar het abstracte vereist
goede instructie
4
Wiskundige problemen oplossen
Stappen in het vaardig oplossen van wiskundige problemen
HET STAPPENPLAN
Volgende stappen uitvoeren
- Analyseren van de situatie
o Van de realiteit naar wiskunde en
omgekeerd
- Kiezen of ontwikkelen van een
wiskundig model
o Inzicht verwerven in het wiskundig
systeem en daarmee vaardig
omgaan
o Welk schema gebruiken, wat doe ik
eerst
o Nog niet uitrekenen, vooral hoe oplossen en wat berekenen.
- Toepassen van wiskundige technieken
o Inzicht verwerven in het wiskundig systeem en daarmee vaardig omgaan
o Kiezen van de geschikte rekenwijze
- Controleren en interpreteren van de resultaten.
o Van de realiteit naar wiskunde en omgekeerd
o Interpreteren van het antwoord in functie van de context
o We kijken na
Heb ik het oplossingsplan goed doorlopen?
Heb ik geen rekenfout gemaakt?
Is het realistisch?
Analyseren van de situatie
Vraag: ‘wat is het probleem’
Leerlingen goede mentale voorstelling laten vormen van wat er gegeven is. Welke
gegevens zijn er? Welke zijn er tekort?
Altijd vraag laten aanduiden!!
Een passend wiskundig model opstellen
Hoe lossen we het probleem op
Gebeurt door initiële probleemrepresentatie om te zetten naar een nieuwe
probleemrepresentatie in termen van wiskundige symbolen en relatie
Heuristieken spelen grote rol
Er wordt een soort actieplan opgesteld om het probleem op te lossen: eerst gaan we…,
daarna…
Het oplossingsplan uitvoeren
Leerlingen passen de gekozen oplossingsstrategie toe.
Het oplossingsplan wordt uitgevoerd.
Kan nog bepaalde beslissingen genomen worden
Rekenwerk kan op verschillende manieren worden uitgevoerd: cijferen, hoofdrekenen
Leerlingen moeten in staat zijn om de meest geschikte rekenwijze te kiezen
De oorspronkelijke probleemsituatie naar het achterplan verdwenen
Antwoord formuleren + controleren
De uitkomst van de uitgevoerde rekenoperaties geïnterpreteerd te worden door ze terug
te plaatsen in de oorspronkelijke probleemsituatie
Klassieke vraagstukken uitkomst stap 3 meteen ook oplossing van het vraagstuk
1
,Rijke wiskundeproblemen uitkomst van het rekenwerk nog interpreteren uitkomst bv
nog worden afgerond rekening houdend met de situatie waarover het gaat of gebruikt worden
om één of andere beslissing te nemen als antwoord op de gestelde vraag
Antwoord moet ook geëvalueerd of gecontroleerd worden leerling nagaan of alle
voorgaande stappen van het oplossingsmodel goed doorlopen werden en of er negers een
fout is binnengeslopen.
Ook uitkomst controleren door oplossing in de opgave in te vullen, door onze berekeningen te
controleren op rekenfouten
HET STAPPENPLAN GESCHEMATISEERD AANBRENGEN
Het beertje van Meichenbaum elk pictogram beeldt één specifieke stap uit
Een goed gebruik de 4 pictogrammen op de bank van elke leerling en dat de leerlingen bij
toepassingslessen een pion verplaatsten van pictogram naar pictogram om zeker te zijn dat
de 4 stappen van het model doorlopen worden
Heuristieken of zoekstrategieën
WAT ZIJN HEURISTIEKEN?
Heuristieken of zoekstrategieën = oplossingsstrategieën
Heuristieken geven dus een mogelijke oplossingsweg aan, zonder echter een garantie voor
succes in te houden
Hoe pak je een sudoku aan?
- Geen algoritme
- Geen trial and error
Algoritmes Geven een vast stappenplan om een probleem aan te pakken.
Wanneer met nauwgezet de stappen volgt, gegarandeerd juiste
oplossing
Trail and error Eerder in de wilde weg proberen, eventueel op basis van intuïtie.
Soms de oplossing vinden door een samenloop van intuïtie en
gelukkig toeval
Heuristieken Gerichte zoektechnieken die niet zeker tot een oplossing leiden, maar
een systematiek inhouden en meer kracht geven dan trial en error
Hoe meer je de heuristieken toepast, des te vlotter of meer automatisch je deze heuristieken
kan gebruiken
HEURISTIEKEN IN HET STAPPENPLAN
Algemene strategie voor vaardig oplossen van wiskundige problemen bestaat uit 4 stappen
Heuristieken of zoekstrategieën worden gebruikt bij de eerste en de tweede stap
Eerste stap
Leerling goede voorstelling of representatie vormt van het probleem
2
,Belangrijk dat de leerling zicht krijgt op het gegeven, op wat gezocht moet worden, op de
relaties…
Tweede stap
Leerling moet zich afvragen hoe het probleem het best kan worden aangepakt.
Oplossingsplan worden opgesteld.
Bij wiskundige problemen vaak het kiezen van één of meerdere rekenkundige bewerkingen
die na elkaar worden opgelost
Impliciet kan je hier de heuristiek van fractioneren herkennen. Probleem wordt opgedeeld in
meerdere kleine deelproblemen die apart worden bekeken
Bij het zoeken naar een oplossingsplan gaat de leerling moeten nagaan of ze al een
gelijkaardig wiskundig probleem hebben opgelost
Derde stap
Wiskundige technieken toepassen
Vierde stap
Interpreteren en controleren.
HEURISTIEKEN DIE HELPEN BIJ HET ANALYSEREN VAN DE SITUATIE
Vaak problemen bij het oplossen van vraagstukken.
Heuristieken kunnen een middel zijn om deze ‘angst’ of onzekerheid in zekere mate te
overwinnen.
Nadruk leggen op ‘in zekere mate’ want heuristieken bieden geen garantie op tot een
oplossing te komen.
Het zich eigen maken van deze heuristieken en dus heuristieken gebruiken, kan ze wel een
stap vooruitbrengen.
Maak een tekening van de probleemsituatie
Op basis van tekstuele informatie probeert leerling een aanschouwelijke voorstelling op te
bouwen van de probleemsituatie in de vorm van schets of tekening.
Kan soms onmiddellijk de uitkomst verklappen
Tekening moet duidelijk zijn en alleen tekenen wat echt belangrijk is en eventueel belangrijke
getallen
Het probleem herformuleren en/of dramatiseren
Vaak een probleem door het taalgebruik
Door kinderen zelf het probleem met hun eigen woorden te laten vertellen kan het veel
duidelijker worden
Hulpmiddel om concentratie en betrokkenheid te verhogen
Wordt ook tijd genomen om probleem te analyseren
Probleem naspelen (dramatiseren) kan ook zoals bij vraagstukken over inkoopprijs en verlies.
Onderscheid noodzakelijke en overbodige gegevens
Eerst de vraag aandachtig bekijken en aanduiden
Zonder vraag kunnen we niet weten welke gegevens we nodig hebben
Vaak niet alle gegevens nodig uit een vraagstuk
Op zoek naar elementen die nodig zijn, duid deze aan maar enkel het noodzakelijke
Gebruik je ervaringskennis of zoek ontbrekende info
Het kan zijn dat niet (onmiddellijk) alle noodzakelijke of relevante gegevens meegegeven
worden.
Leerlingen worden ertoe aangezet om bij het oplossen van vraagstukken nuttig gebruik te
maken van zijn praktische kennis over de situatie of context.
3
, Het probleem wordt op die manier vertaald naar een nieuw probleem waarbij de praktische
kennis in opgenomen is.
In augustus nam Malin elke dag vier pilletjes. Hoeveel pilletjes waren dat in totaal?
o Zelf weten hoeveel dagen er in augustus er zijn.
Kan ook dat de leerling niet alle noodzakelijke gegevens meekreeg en ook niet zomaar weet
ontbrekende info opzoeken.
Contextrijke opgaven
ENKELVOUDIGE EN SAMENGESTELDE VRAAGSTUKKEN
Onderbouw enkelvoudige vraagstukken = slechts 1 bewerking uitvoeren om oplossing
te vinden
gemakkelijker, lagere leerjaren
Bovenbouw samengestelde vraagstukken = minstens 2 bewerkingen uitvoeren om
oplossing te vinden
moeilijker, hogere leerjaren
Voorbeeld enkelvoudig vraagstuk (4de leerjaar)
Op zaterdagavond kwamen er 980 toeschouwers naar de toneelvoorstelling kijken. Op
zaterdagavond kwamen er 1240 toeschouwers en op zondagnamiddag kwamen er
nogmaals 850 mensen naar het toneelstuk kijken.
Hoeveel mensen zijn in het totaal naar het toneelstuk komen kijken?
Voorbeeld samengesteld vraagstuk (6de leerjaar)
Een kaartje voor het toneel kost 11,50 euro. Kinderen jonger dan 12 jaar kunnen een
ticket krijgen voor de helft van de prijs. Wij willen met enkele buren naar de
toneelvoorstelling gaan kijken. We moeten tickets kopen voor 8 volwassenen en 3
kinderen.
Hoeveel moeten we in het totaal betalen?
BEWERKINGEN HERKENNEN IN EEN CONTEXT
Uitdaging niet zozeer in het uitvoeren van de berekening, maar wel in de manier waarop het
probleem geformuleerd is.
4 basisbewerkingen
- Auditieve vraagstukken = vraagstukken die contextueel gericht zijn op optellen en
aftrekken
- Multiplicatieve vraagstukken = vraagstukken die gericht zijn op vermenigvuldigen
en delen
Additieve contextrijke opgaven
Oorzaak-veranderingsvraagstukken
- Een gebeurtenis geeft hier de aanleiding tot een hoeveelheidsverandering
Cézanne had 7 koekjes. Ze geeft er 2 weg. Hoeveel koekjes blijven er over?
Combinatievraagstukken
- Situatis aanbieden waarbij nadruk leggen op delen en het geheel
- Twee of meer afzonderlijke hoeveelheden vormen samen een geheel of het geheel min
één van de delen is het andere deel
Maxine heeft 4 zwarte parels en 12 gouden parels. Hoeveel parels heeft ze?
Vergelijkingsvraagstukken
- 2 hoeveelheden worden er vergeleken.
- De bewerkingstekens worden gebruikt om het aantal gelijk te maken
Florence heeft 7 barbiepoppen en 4 rode kleedjes. Hoeveel rode kleedjes moet
ze er bij hebben om elke pop een rook kleedje aan te doen?
In het begin handelen met concreet materiaal en situatie tekenen
Geleidelijk vraagstuk omzetten in wiskundige formule.
Het zetten van de stap van het concrete over het schematische naar het abstracte vereist
goede instructie
4
