Wiskunde voor bedrijfswetenschappen A
Handelswetenschappen
KU Leuven
,Inhoudstafel
1 Hoofdstuk 1: Ongelijkheden ......................................................................................... 5
1.1 Rationale ongelijkheden ...................................................................................... 5
1.2 Irrationele ongelijkheden ...................................................................................... 6
1.3 Stelsel van een hogere graad dan 1 (cirkel en parabool) ........................................... 6
1.3 Toepassing: Stelsels in raadsel ........................................................................... 8
1.4 Toepassing: Stelsels in raadsels.......................................................................... 9
2 Hoofdstuk 2: Reële functies in één veranderlijke ........................................................ 10
2.1 Domein .............................................................................................................. 10
2.1.1. Algebraïsche functies ................................................................................. 10
2.1.2. Exponentiële functies ................................................................................. 11
2.1.3. Logaritmische functies ............................................................................... 12
2.2 Bespreking tweedegraadsfuncties ..................................................................... 13
2.3 Inverse functie ................................................................................................... 14
2.4 Exp/log .............................................................................................................. 14
2.5 Rekenregels logaritmen (BELANGRIJK)............................................................ 15
2.6 Exponentiële vergelijking ................................................................................... 16
2.7 Logaritmische vergelijking.................................................................................. 17
2.8 Vraagstuk exponentiële groei ............................................................................ 18
2.9 Vervorming van grafieken .................................................................................. 20
2.10 Vraag en aanbod ............................................................................................... 24
2.11 Winst, omzet en kosten ..................................................................................... 29
3 Hoofdstuk 3: Continuïteit en limieten .......................................................................... 30
3.1 Continuïteit en limieten ...................................................................................... 30
3.1.1. Ophopingspunten....................................................................................... 30
3.1.2. Bewerking met limieten .............................................................................. 30
3.1.3. Linker- en rechterlimiet............................................................................... 30
3.1.4. Limieten algebraïsch berekenen ................................................................ 31
3.1.5. Limieten in VEELTERMFUNCTIES ............................................................ 33
3.1.6. Limieten in RATIONALE FUNCTIES .......................................................... 33
, 3.2 Asymptoten........................................................................................................ 35
3.3 Limieten bepalen in opgegeven punt ................................................................. 37
4 Afgeleiden .................................................................................................................. 40
4.1 Definitie van afgeleiden ..................................................................................... 40
4.2 Vergelijking van raaklijnen ................................................................................. 41
4.3 Differentiaal ....................................................................................................... 43
4.4 Rekenregels van afgeleiden .............................................................................. 45
4.4.1. Afgeleide van een CONSTANTE ............................................................... 45
4.4.2. Afgeleide van 𝒙 MET EEN CONSTANTE IN DE MACHT ........................... 45
4.4.3. Afgeleide van een SOM ............................................................................. 46
4.4.4. Afgeleide van een PRODUCT (Leibnitz regel)............................................ 46
4.4.5. Afgeleide van een PRODUCT VAN EEN FUNCTIE MET EEN CONSTANTE
46
4.4.6. Afgeleide van een SAMENGESTELDE FUNCTIE (KETTINGREGEL) ....... 47
4.4.7. Afgeleide van een BREUK (QUOTIËNTREGEL)........................................ 48
4.4.8. Afgeleide van een BREUK: BIJZONDER GEVAL ...................................... 49
4.4.9. Afgeleide van een INVERSE VAN EEN FUNCTIE ..................................... 49
4.4.10. Afgeleiden van EXPONENTIËLE FUNCTIES ............................................ 50
4.4.11. Afgeleiden van LOGARITMISCHE FUNCTIES .......................................... 51
4.5 Belangrijke limiet (/ Kapitaalaangroei) ................................................................ 52
4.6 Grafische betekenis van afgeleide functie .......................................................... 53
4.7 Bepaal de grafiek van een reële functie ............................................................. 55
4.8 Stijgen en dalen ................................................................................................. 60
4.9 Extremum .......................................................................................................... 61
5 Extrema/Optimalisatie in één variabele (MOEILIJK!!!) ................................................ 62
6 Integralen ................................................................................................................... 67
6.1 Onbepaalde integralen ...................................................................................... 67
6.1.1. Eigenschappen .......................................................................................... 67
6.1.2. Enkele standaardintegralen........................................................................ 68
6.1.3. Integratietechniek: Substitutieregel (gebaseerd op Kettingregel) ................ 70
6.1.4. Partiële integratie (Leibnitz-regel) (BELANGRIJK) ..................................... 73
, 6.2 Bepaalde integralen ........................................................................................... 78
6.2.1. Eigenschappen (BELANGRIJK!!!) .............................................................. 79
6.2.2. OPPERVLAKTE begrensd door de GRAFIEK OVER [𝒂, 𝒃] (BELANGRIJK!!!)
80
6.2.3. OPPERVLAKTE van een NORMAALGEBIED T.O.V. DE X-AS
(BELANGRIJK!!!) ....................................................................................................... 82
6.2.4. OPPERVLAKTE van WILLEKEURIGE GEBIEDEN (BELANGRIJK!!!) ....... 85
7 Economische toepassingen ....................................................................................... 88
7.1 Maximale belastingsontvangsten ....................................................................... 88
7.2 Maximale ontvangsten (R(q)) ............................................................................. 91
7.3 Prijsvorming (bij volmaakte medediging) ............................................................ 93
7.3.1. Competitieve prijs (of break-even prijs – lange termijn prijs)....................... 93
7.3.2. Shutdown (startup) prijs: Maximale winst = -FC ......................................... 96
7.4 Kostenfunctie ..................................................................................................... 98
7.5 Aanbodfunctie berekenen adhv Prijselasticiteit ................................................ 100
7.5.1. Werkwijze ................................................................................................ 101
7.6 Onbekende berekenen adhv prijselasticiteit ..................................................... 103
7.6.1. Werkwijze ................................................................................................ 103
7.7 Kostenberekening adhv integraal..................................................................... 104
7.7.1. Werkwijze ................................................................................................ 104
7.8 Consumentensurplus bij winstmaximalisatie .................................................... 106
7.8.1. Werkwijze ................................................................................................ 106
7.9 Producentensurplus ......................................................................................... 110
7.9.1. Werkwijze ................................................................................................ 110
7.10 Andere oefening producentensurplus .............................................................. 112
7.10.1. Werkwijze ................................................................................................ 112
, 1 Hoofdstuk 1: Ongelijkheden
1.1 Rationale ongelijkheden
1. Alle veeltemermen aan één kant brengen zodat je vergelijkt met 0
2. Veeltermen op gelijke noemer zetten
3. Uitwerken
4. Tekenschema
o Nulpunten T (Discriminant / Horner)
o Nulpunten N (polen) (Discriminant / Horner)
5. Uitkomst aflezen van tekenonderzoek: >= 0, > 0, <= 0, < 0
o X E ...
5
Handelswetenschappen
KU Leuven
,Inhoudstafel
1 Hoofdstuk 1: Ongelijkheden ......................................................................................... 5
1.1 Rationale ongelijkheden ...................................................................................... 5
1.2 Irrationele ongelijkheden ...................................................................................... 6
1.3 Stelsel van een hogere graad dan 1 (cirkel en parabool) ........................................... 6
1.3 Toepassing: Stelsels in raadsel ........................................................................... 8
1.4 Toepassing: Stelsels in raadsels.......................................................................... 9
2 Hoofdstuk 2: Reële functies in één veranderlijke ........................................................ 10
2.1 Domein .............................................................................................................. 10
2.1.1. Algebraïsche functies ................................................................................. 10
2.1.2. Exponentiële functies ................................................................................. 11
2.1.3. Logaritmische functies ............................................................................... 12
2.2 Bespreking tweedegraadsfuncties ..................................................................... 13
2.3 Inverse functie ................................................................................................... 14
2.4 Exp/log .............................................................................................................. 14
2.5 Rekenregels logaritmen (BELANGRIJK)............................................................ 15
2.6 Exponentiële vergelijking ................................................................................... 16
2.7 Logaritmische vergelijking.................................................................................. 17
2.8 Vraagstuk exponentiële groei ............................................................................ 18
2.9 Vervorming van grafieken .................................................................................. 20
2.10 Vraag en aanbod ............................................................................................... 24
2.11 Winst, omzet en kosten ..................................................................................... 29
3 Hoofdstuk 3: Continuïteit en limieten .......................................................................... 30
3.1 Continuïteit en limieten ...................................................................................... 30
3.1.1. Ophopingspunten....................................................................................... 30
3.1.2. Bewerking met limieten .............................................................................. 30
3.1.3. Linker- en rechterlimiet............................................................................... 30
3.1.4. Limieten algebraïsch berekenen ................................................................ 31
3.1.5. Limieten in VEELTERMFUNCTIES ............................................................ 33
3.1.6. Limieten in RATIONALE FUNCTIES .......................................................... 33
, 3.2 Asymptoten........................................................................................................ 35
3.3 Limieten bepalen in opgegeven punt ................................................................. 37
4 Afgeleiden .................................................................................................................. 40
4.1 Definitie van afgeleiden ..................................................................................... 40
4.2 Vergelijking van raaklijnen ................................................................................. 41
4.3 Differentiaal ....................................................................................................... 43
4.4 Rekenregels van afgeleiden .............................................................................. 45
4.4.1. Afgeleide van een CONSTANTE ............................................................... 45
4.4.2. Afgeleide van 𝒙 MET EEN CONSTANTE IN DE MACHT ........................... 45
4.4.3. Afgeleide van een SOM ............................................................................. 46
4.4.4. Afgeleide van een PRODUCT (Leibnitz regel)............................................ 46
4.4.5. Afgeleide van een PRODUCT VAN EEN FUNCTIE MET EEN CONSTANTE
46
4.4.6. Afgeleide van een SAMENGESTELDE FUNCTIE (KETTINGREGEL) ....... 47
4.4.7. Afgeleide van een BREUK (QUOTIËNTREGEL)........................................ 48
4.4.8. Afgeleide van een BREUK: BIJZONDER GEVAL ...................................... 49
4.4.9. Afgeleide van een INVERSE VAN EEN FUNCTIE ..................................... 49
4.4.10. Afgeleiden van EXPONENTIËLE FUNCTIES ............................................ 50
4.4.11. Afgeleiden van LOGARITMISCHE FUNCTIES .......................................... 51
4.5 Belangrijke limiet (/ Kapitaalaangroei) ................................................................ 52
4.6 Grafische betekenis van afgeleide functie .......................................................... 53
4.7 Bepaal de grafiek van een reële functie ............................................................. 55
4.8 Stijgen en dalen ................................................................................................. 60
4.9 Extremum .......................................................................................................... 61
5 Extrema/Optimalisatie in één variabele (MOEILIJK!!!) ................................................ 62
6 Integralen ................................................................................................................... 67
6.1 Onbepaalde integralen ...................................................................................... 67
6.1.1. Eigenschappen .......................................................................................... 67
6.1.2. Enkele standaardintegralen........................................................................ 68
6.1.3. Integratietechniek: Substitutieregel (gebaseerd op Kettingregel) ................ 70
6.1.4. Partiële integratie (Leibnitz-regel) (BELANGRIJK) ..................................... 73
, 6.2 Bepaalde integralen ........................................................................................... 78
6.2.1. Eigenschappen (BELANGRIJK!!!) .............................................................. 79
6.2.2. OPPERVLAKTE begrensd door de GRAFIEK OVER [𝒂, 𝒃] (BELANGRIJK!!!)
80
6.2.3. OPPERVLAKTE van een NORMAALGEBIED T.O.V. DE X-AS
(BELANGRIJK!!!) ....................................................................................................... 82
6.2.4. OPPERVLAKTE van WILLEKEURIGE GEBIEDEN (BELANGRIJK!!!) ....... 85
7 Economische toepassingen ....................................................................................... 88
7.1 Maximale belastingsontvangsten ....................................................................... 88
7.2 Maximale ontvangsten (R(q)) ............................................................................. 91
7.3 Prijsvorming (bij volmaakte medediging) ............................................................ 93
7.3.1. Competitieve prijs (of break-even prijs – lange termijn prijs)....................... 93
7.3.2. Shutdown (startup) prijs: Maximale winst = -FC ......................................... 96
7.4 Kostenfunctie ..................................................................................................... 98
7.5 Aanbodfunctie berekenen adhv Prijselasticiteit ................................................ 100
7.5.1. Werkwijze ................................................................................................ 101
7.6 Onbekende berekenen adhv prijselasticiteit ..................................................... 103
7.6.1. Werkwijze ................................................................................................ 103
7.7 Kostenberekening adhv integraal..................................................................... 104
7.7.1. Werkwijze ................................................................................................ 104
7.8 Consumentensurplus bij winstmaximalisatie .................................................... 106
7.8.1. Werkwijze ................................................................................................ 106
7.9 Producentensurplus ......................................................................................... 110
7.9.1. Werkwijze ................................................................................................ 110
7.10 Andere oefening producentensurplus .............................................................. 112
7.10.1. Werkwijze ................................................................................................ 112
, 1 Hoofdstuk 1: Ongelijkheden
1.1 Rationale ongelijkheden
1. Alle veeltemermen aan één kant brengen zodat je vergelijkt met 0
2. Veeltermen op gelijke noemer zetten
3. Uitwerken
4. Tekenschema
o Nulpunten T (Discriminant / Horner)
o Nulpunten N (polen) (Discriminant / Horner)
5. Uitkomst aflezen van tekenonderzoek: >= 0, > 0, <= 0, < 0
o X E ...
5
