Statistiek I – Deel 2
Inge Pasteels
Deel 2: ‘Van lot naar kans’
Handboek hoofdstuk 8 tot en met (11) 14
Uitkomstenruimte, sample space S
Elementair toevalsgebeuren (gebeurtenis die slechts 1 element bevat) A
Samengestelde toevalsgebeuren (gebeurtenis die meerdere elementen bevat) B
Lege verzameling, fi ø
De kans, hoe waarschijnlijk de gebeurtenis is, propability P
Doorsnede, en, beide, een element die in beide voorkomt
Unie, of, een van beide, een element uit één van de twee
Complement, iets wat zich niet mag voordoen
of een liggende streep erboven
Je wilt de eerst hebben, op voorwaarde dat je ook de tweede hebt I
Aantal gunstige antwoorden, totaal (Laplace) #A
Aantal mogelijke antwoorden (Laplace) #S
Verwachte waarde, expected value E
Cumulatieve verdelingsfunctie Fx
Variantie Var
Steekproefproportie
Populatieproportie P
Steekproefgemiddelde
Steekproef standaardafwijking
Populatiegemiddelde
Populatie standaardafwijking
Inhoudsopgave
Basisbegrippen kansrekening & Axiomatische kansrekening ............................................................................ 2
Frequentieverdeling versus kansverdeling ...................................................................................................... 10
Discrete kansmodellen ................................................................................................................................... 15
De normale verdeling ..................................................................................................................................... 23
Binomiale verdeling benaderen door een normale verdeling via de Centrale Limietstelling (CLS) .................. 29
Steekproefverdeling van een steekproefproportie en betrouwbaarheidsinterval voor een proportie ............ 32
Hypothesetoets .............................................................................................................................................. 42
,Basisbegrippen kansrekening & Axiomatische kansrekening
Verklarende/inferentiële statistiek:
Sociale werkelijkheid proberen te beheersen die in kansmodellen te genieten. Op basis van
empirische gegevens uitspraken proberen te doen over de werkelijkheid. Concepten van de
beschrijvende statistiek vertalen naar de theoretische wereld van de kansrekening.
Nut van kansrekening = beheersing van onzekerheid door risico’s kwantificeren door middel van
kansen. Bijvoorbeeld de premies bepalen van verzekeringsmaatschappij op basis van sterftetabellen
of de kans bepalen dat een ebola-epidemie uitbreekt.
Stochastisch proces:
Wij gaan focussen op stochastische processen. De uitkomst is onzeker en hangt af van het toeval.
Bijvoorbeeld het opgooien van een eerlijke dobbelsteen en aantal ogen noteren. Je kan niet op
voorhand de uitkomst weten. Een proces waarvan de uitkomst onzeker is.
Uitkomstruimte van een stochastisch proces → De uitkomstruimte is ‘S’. dit is de verzameling van alle
mogelijke uitkomsten. Bijvoorbeeld: S = {1,2,3,4,5,6}. Bij het opgooien van een eerlijke dobbelsteen (6
ogen in totaal). De verschillende mogelijke uitkomsten, sample space.
Tegenovergestelde van een stochastisch proces is een deterministisch proces. De uitkomst is dan
zeker, hangt niet af van het toeval. Bijvoorbeeld een vaas gevuld met rode knikkers en dan
geblinddoekt een knikker kiezen en de kleur noteren.
Een toevalsgebeuren = een deelverzameling van mogelijke uitkomsten. Een specifieke groep van
uitkomsten van een stochastisch proces. Beperken tot een bepaalt deel van de totaal aantal
elementen van de uitkomstruimte. Dan ben je bezig met een
gebeurtenis.
Een toevalsgebeuren A ‘doet zich voor’ als de uitkomst van een
stochastisch proces een element is van de deelverzameling A.
Ø is de onmogelijke gebeurtenis. Of een lege ‘disjuncte’, of verzameling zonder gemeenschappelijke.
Elementair toevalsgebeuren = gebeurtenis die slechts 1 element bevat.
Bijvoorbeeld A = {1} is een elementaire gebeurtenis.
Samengesteld toevalsgebeuren = gebeurtenis die meerdere elementen bevat.
Bijvoorbeeld B = {2, 4, 6} is het {even aantal ogen gooien}.
M(S) = een machtsdeelverzameling.
Unie = bijvoorbeeld het aantal ogen of aantal ogen kleiner dan drie. A of B doet zich voor als de
uitkomst, ofwel tot A ofwel tot B behoord. Als je een element uit 1 van de twee hebt, dan win je. OR!
Bijvoorbeeld A u B = {1, 2, 3, 6}. Wanneer je A(2, 4, 6) en B(1, 2) hebt.
Doorsnede = bijvoorbeeld geïnteresseerd in even aantal ogen en hoogstens 4 ogen. A en B doen zich
samen voor als de uitkomst zowel tot A als tot B behoort. Zowel in de ene, als in de andere. AND! De
verzameling die bestaat uit alle elementen die zowel in A als in B zitten.
Bijvoorbeeld A n B = {2, 4}. Wanneer je A(2, 4, 6) en B(1, 2, 3, 4) hebt.
Complement = bijvoorbeeld niet geïnteresseerd in even aantal ogen. Het mag zich niet voordoen. Het
complement van A bestaat uit alle uitkomsten die niet in A zitten.
Bijvoorbeeld Ac = {1, 3, 5} Wanneer je A(2, 4, 6) hebt.
2
,Deelverzameling met 0 elementen = ø
Deelverzameling met 1 element = {1}; {2}; {3}
Deelverzameling met 2 elementen = {1,2}; {1,3}; {2,3}
Deelverzameling met 3 elementen = {1, 2, 3}
D \ A = verschil, in D, maar niet in A.
Disjunct:
A en B zijn disjunct als hun doorsnede leeg is (niets
gemeenschappelijks). Geen overlap tussen de twee
verzamelingen. Ø, fi.
Een synoniem is “Mutueel exclusief”.
Exhaustief:
G1, G2, G3 zijn exhaustief als hun unie gelijk is aan de
uitkomstenruimte S. Dus als alle elementen uit de
uitkomstenruimte S voorkomen in de zones. Er valt geen enkel
element buiten de cirkels.
Disjunct EN exhaustief:
Als ze elkaar niet overlappen en hun unie gelijk is aan de
uitkomstenruimte S. Je knipt de ruimte in stukjes zonder
overlap, de unie is wel gelijk aan de uitkomstruimte. Een partitie.
Partitie/volledig stelsel:
De gebeurtenissen G1, G2 tot Gk vormen een partitie/volledig stelsel als ze exhaustief zijn en
wanneer ze twee aan twee disjunct zijn.
Bijvoorbeeld G1 = {1}, G2 = {2, 4, 6} en G3 = {3, 5}. Deze vormen een partitie.
Een speciaal geval is bijvoorbeeld {1}, {2}, {3}, {4}, {5} en {6} vormen een partitie de elementaire
gebeurtenissen horende bij een kans experiment steeds een partitie (want ze zijn mutueel exclusief
en exhaustief).
3
, Kans = propability, propabilité, ‘P’.
Een functie die elk toevalsgebeuren A met een welbepaald pad P(A) verbindt, waarbij P(A) een
kwantitatieve weergave is van de mogelijkheid dat het gebeuren A plaatsvindt. De kans P(A) drukt uit
hoe waarschijnlijk of onwaarschijnlijk de gebeurtenis A is.
Bijvoorbeeld P {2 gooien met eerlijke dobbelsteen} = 1/6. P(A) is een reëel getal tussen 0 en 1. Met
elke gebeurtenis A kan een kans P(A) geassocieerd worden. P is een machine die met elke input A een
output P(A) associeert. =
Verchillende kansdefinities:
1. Subjectieve kansdefinitie (gokkans)
2. Empirische kansdefinitie (zweetkans)
3. Theoretische kansdefinitie van Laplace (Weetkans)
4. Axiomatische kansdefinitie
Subjectieve kansdefinitie (gokkans) = gebaseerd op ervaring en is vaag. Bijvoorbeeld de kans om de
lotto te winnen is klein, dat weet ik uit ervaring.
Empirische kansdefinitie (zweetkans) = de kans om een 2 te gooien
bij een eerlijke dobbelsteen. Deze kans kennen we pas als we de
dobbelsteen oneindig veel keer opgooien. Je kijkt dan waar de
waarden naartoe gaan als de n toeneemt tot de limietwaarde. Je gaat
door tot het oneindige om toeval te voorkomen. Het aantal keer delen door de limiet (n) van de
relatieve frequentie die hoort bij de situatie, of de gezochte kans.
Theoretische kansdefinitie van Laplace (weetkans) = de gunstige uitkomsten delen door de
mogelijke uitkomsten. De Laplace veronderstelt dat elke uitkomst even plausibel is. Dit kun je dan ook
enkel toepassen bij een eerlijke dobbelsteen. Als
je niet weet of de uitkomsten eerlijk zijn, dan
mag je deze niet toepassen. Heeft bijvoorbeeld
iedere vriend even veel kans? Dit moet je jezelf
eerst afvragen of de uitkomsten eerlijk zijn
voordat je deze kan toepassen.
Axiomatische kansdefinitie = de reële functie P moet voldoen aan 3 axioma’s (van hieronder). Een
kansdefinitie die vaker gebruikt kan worden vergeleken de drie hierboven. Hieruit kan je kansregels
afleiden die worden gebruikt bij kansberekeningen. De axioma’s waaraan voldaan moet zijn:
1. 0 < P(A) < 1 → de kans van een gebeurtenis ligt tussen 0 en 1, 0%
en 100%. Een kans is nooit negatief en nooit groter dan 1.
2. P(S) → 1, de kans op een volledige uitkomstruimte is 100%. De
kans op de volledige uitkomstruimte S, bedraagt 1. Dit betekent dat er
geen andere uitkomsten mogelijk zijn dan die uit de uitkomstruimte.
3. P(AuB)=P(A)+P(B) als AnB = ø → stel dat A en B twee disjuncte
toevalsgebeuren zijn uit dezelfde uitkomstruimte, dan is de kans dat toevalsgebeuren A of B optreedt gelijk aan de
som van hun corresponderende elementaire kansen (of).
4
Inge Pasteels
Deel 2: ‘Van lot naar kans’
Handboek hoofdstuk 8 tot en met (11) 14
Uitkomstenruimte, sample space S
Elementair toevalsgebeuren (gebeurtenis die slechts 1 element bevat) A
Samengestelde toevalsgebeuren (gebeurtenis die meerdere elementen bevat) B
Lege verzameling, fi ø
De kans, hoe waarschijnlijk de gebeurtenis is, propability P
Doorsnede, en, beide, een element die in beide voorkomt
Unie, of, een van beide, een element uit één van de twee
Complement, iets wat zich niet mag voordoen
of een liggende streep erboven
Je wilt de eerst hebben, op voorwaarde dat je ook de tweede hebt I
Aantal gunstige antwoorden, totaal (Laplace) #A
Aantal mogelijke antwoorden (Laplace) #S
Verwachte waarde, expected value E
Cumulatieve verdelingsfunctie Fx
Variantie Var
Steekproefproportie
Populatieproportie P
Steekproefgemiddelde
Steekproef standaardafwijking
Populatiegemiddelde
Populatie standaardafwijking
Inhoudsopgave
Basisbegrippen kansrekening & Axiomatische kansrekening ............................................................................ 2
Frequentieverdeling versus kansverdeling ...................................................................................................... 10
Discrete kansmodellen ................................................................................................................................... 15
De normale verdeling ..................................................................................................................................... 23
Binomiale verdeling benaderen door een normale verdeling via de Centrale Limietstelling (CLS) .................. 29
Steekproefverdeling van een steekproefproportie en betrouwbaarheidsinterval voor een proportie ............ 32
Hypothesetoets .............................................................................................................................................. 42
,Basisbegrippen kansrekening & Axiomatische kansrekening
Verklarende/inferentiële statistiek:
Sociale werkelijkheid proberen te beheersen die in kansmodellen te genieten. Op basis van
empirische gegevens uitspraken proberen te doen over de werkelijkheid. Concepten van de
beschrijvende statistiek vertalen naar de theoretische wereld van de kansrekening.
Nut van kansrekening = beheersing van onzekerheid door risico’s kwantificeren door middel van
kansen. Bijvoorbeeld de premies bepalen van verzekeringsmaatschappij op basis van sterftetabellen
of de kans bepalen dat een ebola-epidemie uitbreekt.
Stochastisch proces:
Wij gaan focussen op stochastische processen. De uitkomst is onzeker en hangt af van het toeval.
Bijvoorbeeld het opgooien van een eerlijke dobbelsteen en aantal ogen noteren. Je kan niet op
voorhand de uitkomst weten. Een proces waarvan de uitkomst onzeker is.
Uitkomstruimte van een stochastisch proces → De uitkomstruimte is ‘S’. dit is de verzameling van alle
mogelijke uitkomsten. Bijvoorbeeld: S = {1,2,3,4,5,6}. Bij het opgooien van een eerlijke dobbelsteen (6
ogen in totaal). De verschillende mogelijke uitkomsten, sample space.
Tegenovergestelde van een stochastisch proces is een deterministisch proces. De uitkomst is dan
zeker, hangt niet af van het toeval. Bijvoorbeeld een vaas gevuld met rode knikkers en dan
geblinddoekt een knikker kiezen en de kleur noteren.
Een toevalsgebeuren = een deelverzameling van mogelijke uitkomsten. Een specifieke groep van
uitkomsten van een stochastisch proces. Beperken tot een bepaalt deel van de totaal aantal
elementen van de uitkomstruimte. Dan ben je bezig met een
gebeurtenis.
Een toevalsgebeuren A ‘doet zich voor’ als de uitkomst van een
stochastisch proces een element is van de deelverzameling A.
Ø is de onmogelijke gebeurtenis. Of een lege ‘disjuncte’, of verzameling zonder gemeenschappelijke.
Elementair toevalsgebeuren = gebeurtenis die slechts 1 element bevat.
Bijvoorbeeld A = {1} is een elementaire gebeurtenis.
Samengesteld toevalsgebeuren = gebeurtenis die meerdere elementen bevat.
Bijvoorbeeld B = {2, 4, 6} is het {even aantal ogen gooien}.
M(S) = een machtsdeelverzameling.
Unie = bijvoorbeeld het aantal ogen of aantal ogen kleiner dan drie. A of B doet zich voor als de
uitkomst, ofwel tot A ofwel tot B behoord. Als je een element uit 1 van de twee hebt, dan win je. OR!
Bijvoorbeeld A u B = {1, 2, 3, 6}. Wanneer je A(2, 4, 6) en B(1, 2) hebt.
Doorsnede = bijvoorbeeld geïnteresseerd in even aantal ogen en hoogstens 4 ogen. A en B doen zich
samen voor als de uitkomst zowel tot A als tot B behoort. Zowel in de ene, als in de andere. AND! De
verzameling die bestaat uit alle elementen die zowel in A als in B zitten.
Bijvoorbeeld A n B = {2, 4}. Wanneer je A(2, 4, 6) en B(1, 2, 3, 4) hebt.
Complement = bijvoorbeeld niet geïnteresseerd in even aantal ogen. Het mag zich niet voordoen. Het
complement van A bestaat uit alle uitkomsten die niet in A zitten.
Bijvoorbeeld Ac = {1, 3, 5} Wanneer je A(2, 4, 6) hebt.
2
,Deelverzameling met 0 elementen = ø
Deelverzameling met 1 element = {1}; {2}; {3}
Deelverzameling met 2 elementen = {1,2}; {1,3}; {2,3}
Deelverzameling met 3 elementen = {1, 2, 3}
D \ A = verschil, in D, maar niet in A.
Disjunct:
A en B zijn disjunct als hun doorsnede leeg is (niets
gemeenschappelijks). Geen overlap tussen de twee
verzamelingen. Ø, fi.
Een synoniem is “Mutueel exclusief”.
Exhaustief:
G1, G2, G3 zijn exhaustief als hun unie gelijk is aan de
uitkomstenruimte S. Dus als alle elementen uit de
uitkomstenruimte S voorkomen in de zones. Er valt geen enkel
element buiten de cirkels.
Disjunct EN exhaustief:
Als ze elkaar niet overlappen en hun unie gelijk is aan de
uitkomstenruimte S. Je knipt de ruimte in stukjes zonder
overlap, de unie is wel gelijk aan de uitkomstruimte. Een partitie.
Partitie/volledig stelsel:
De gebeurtenissen G1, G2 tot Gk vormen een partitie/volledig stelsel als ze exhaustief zijn en
wanneer ze twee aan twee disjunct zijn.
Bijvoorbeeld G1 = {1}, G2 = {2, 4, 6} en G3 = {3, 5}. Deze vormen een partitie.
Een speciaal geval is bijvoorbeeld {1}, {2}, {3}, {4}, {5} en {6} vormen een partitie de elementaire
gebeurtenissen horende bij een kans experiment steeds een partitie (want ze zijn mutueel exclusief
en exhaustief).
3
, Kans = propability, propabilité, ‘P’.
Een functie die elk toevalsgebeuren A met een welbepaald pad P(A) verbindt, waarbij P(A) een
kwantitatieve weergave is van de mogelijkheid dat het gebeuren A plaatsvindt. De kans P(A) drukt uit
hoe waarschijnlijk of onwaarschijnlijk de gebeurtenis A is.
Bijvoorbeeld P {2 gooien met eerlijke dobbelsteen} = 1/6. P(A) is een reëel getal tussen 0 en 1. Met
elke gebeurtenis A kan een kans P(A) geassocieerd worden. P is een machine die met elke input A een
output P(A) associeert. =
Verchillende kansdefinities:
1. Subjectieve kansdefinitie (gokkans)
2. Empirische kansdefinitie (zweetkans)
3. Theoretische kansdefinitie van Laplace (Weetkans)
4. Axiomatische kansdefinitie
Subjectieve kansdefinitie (gokkans) = gebaseerd op ervaring en is vaag. Bijvoorbeeld de kans om de
lotto te winnen is klein, dat weet ik uit ervaring.
Empirische kansdefinitie (zweetkans) = de kans om een 2 te gooien
bij een eerlijke dobbelsteen. Deze kans kennen we pas als we de
dobbelsteen oneindig veel keer opgooien. Je kijkt dan waar de
waarden naartoe gaan als de n toeneemt tot de limietwaarde. Je gaat
door tot het oneindige om toeval te voorkomen. Het aantal keer delen door de limiet (n) van de
relatieve frequentie die hoort bij de situatie, of de gezochte kans.
Theoretische kansdefinitie van Laplace (weetkans) = de gunstige uitkomsten delen door de
mogelijke uitkomsten. De Laplace veronderstelt dat elke uitkomst even plausibel is. Dit kun je dan ook
enkel toepassen bij een eerlijke dobbelsteen. Als
je niet weet of de uitkomsten eerlijk zijn, dan
mag je deze niet toepassen. Heeft bijvoorbeeld
iedere vriend even veel kans? Dit moet je jezelf
eerst afvragen of de uitkomsten eerlijk zijn
voordat je deze kan toepassen.
Axiomatische kansdefinitie = de reële functie P moet voldoen aan 3 axioma’s (van hieronder). Een
kansdefinitie die vaker gebruikt kan worden vergeleken de drie hierboven. Hieruit kan je kansregels
afleiden die worden gebruikt bij kansberekeningen. De axioma’s waaraan voldaan moet zijn:
1. 0 < P(A) < 1 → de kans van een gebeurtenis ligt tussen 0 en 1, 0%
en 100%. Een kans is nooit negatief en nooit groter dan 1.
2. P(S) → 1, de kans op een volledige uitkomstruimte is 100%. De
kans op de volledige uitkomstruimte S, bedraagt 1. Dit betekent dat er
geen andere uitkomsten mogelijk zijn dan die uit de uitkomstruimte.
3. P(AuB)=P(A)+P(B) als AnB = ø → stel dat A en B twee disjuncte
toevalsgebeuren zijn uit dezelfde uitkomstruimte, dan is de kans dat toevalsgebeuren A of B optreedt gelijk aan de
som van hun corresponderende elementaire kansen (of).
4
