Samenvatting wiskunde: didactiek deel 1:
Extra te kennen inhouden:
- Meetkunde: ruimtefiguren:
Ruimtefiguur (of lichaam) = deel van de ruimte begrensd door een gesloten oppervlak.
Ruimtefiguur (of lichaam) = Dat gesloten oppervlak kan plat, gebogen of een combinatie
Ruimtefiguur (of lichaam) = van beide zijn.
2 soorten: - veelvlakken = geen enkel gebogen oppervlak => enkel veelhoeken
Zijvlak = elke begrenzende veelhoek van het veelvlak
Er wordt ook onderscheid gemaakt tussen grond- en bovenvlak,
voor- en achtervlak, linker- en rechterzijvlak ~hoe de figuur
staat => elk zijvlak kan een grondvlak/voorvlak/… zijn.
Ribbe = gemeenschappelijke zijde van 2 zijvlakken
Hoekpunt = gemeenschappelijk hoekpunt van 3 of meer zijvlakken
We kunnen veelhoeken indelen volgens het aantal vlakken:
We kunnen veelvlakken ook indelen volgens eigenschappen:
-> prisma (veelvlak met minstens 2 evenwijdige zijvlakken waarvan de opstaand ribben
-> onderling evenwijdig zijn)
Recht prisma = opstaande ribben staan
Recht prisma = loodrecht op grondvlak
=> alle opstaande zijvlakken zijn
=> rechthoeken
Regelmatig prisma = recht prisma waarvan
Regelmatig prisma = grond en bovenvlak
Regelmatig prisma = regelmatige veelhoeken
Regelmatig prisma = zijn
=> alle opstaande zijvlakken zijn congruent
-> piramides (veelvlak waarvan 1 zijvlak een willekeurige veelhoek is en al de andere >
zijvlakken driehoeken met een gemeenschappelijk hoekpunt zijn)
=> # opstaande zijvlakken = # zijden grondvlak
=> # hoekpunten = # zijvlakken
Regelmatige piramide = piramide waarvan
Regelmatige piramide = het grondvlak een
Regelmatige piramide = regelmatige
veelhoek Regelmatige piramide = is en
waarvan alle Regelmatige piramide =
opstaande ribben Regelmatige piramide =
even lang zijn
=> alle opstaande zijvlakken zijn congruent
b
2 soorten: - niet-veelvlakken = minstens 1 gebogen oppervlak.
=> omwentelingslichamen: cilinder, kegel en bol
h
- Meten en metend rekenen: oppervlakte van ruimtefiguren:
l
Oppervlakte balk = 2 x (l x b) + 2 x (b x h) + 2 x (l x h)
oppervlakte balk (met vierkant als grondvlak) = 4 x (z x h) + 2 x (z x z)
z
Oppervlakte kubus = 6 x z x z
h
z
,Oppervlakte cilinder = oppervlakte mantel + 2 x oppervlakte grondvlak
Oppervlakte cilinder = omtrek grondvlak x hoogte + 2 x oppervlakte cirkel
Oppervlakte cilinder = 2 x ϖ x r x h + 2 x ϖ x r x r
- Meten en metend rekenen: volume:
Volume = hoeveelheid ruimte die het inneemt (=> vorm maakt niet uit)
Volume balk = oppervlakte grondvlak x hoogte
Volume balk = l x b x h
Volume kubus = oppervlakte grondvlak x hoogte
Volume kubus = z x z x z
Volume cilinder = oppervlakte grondvlak x hoogte
Volume cilinder = ϖ x r x r x h
Volume grillige vormen = onderdompeling (voorwerp in 1l water steken -> waterpeil stijgt)
- Meten en metend rekenen: massadichtheid (soortelijk gewicht)
Dichtheid van stof = verhouding van massa ten opzichte van het volume
Gelijke massadichtheid: hoe groter gewicht, hoe groter volume => RE
Gelijk gewicht: hoe groter massadichtheid, hoe kleiner volume => OE
gewicht
Formule dichtheid =
volume
Didactische krachtlijnen:
Betekenisvolle situatie
=> verschijnselen uit leefwereld beter begrijpen, verklaren & beheersen
Wiskundelessen helpen kinderen hierbij (situaties ‘verwiskundigen’)
Hulpmiddel hierbij = wiskundig denkproces:
Belangrijk:
- Bewerkingen meer betekenis geven
- Betekenisvolle situaties
- Relatie met realiteit
- Analyseren van problemen
- Inzicht in begrip, verwerken en evaluatie
- Praktisch en maatschappelijk nut ontdekken
Concreet – schematisch – abstract (CSA-model, Bruner)
Wiskunde = vrij abstract!
Wiskundelessen helpen kinderen tot die abstractie brengen via tussenstappen
concrete fase schematische fase abstracte fase
-> concrete voorbeelden en -> tekenen, schematisch -> zonder hulpmiddelen, enkel
Situaties (materiaal*, …) voorstellen, stappen, … tekens, symbolen, getallen
*in keuze van het materiaal is opbouw mogelijk:
1. materiaal uit natura (~ ongestructureerd)
2. materiaal in plaats van andere werkelijkheid (=> gestructureerd)
3. gestructureerd rekenmateriaal (MAB-materiaal)
Abstracte notatie tonen bij alle fasen (=> transfer)
Iedere les materiaal voorzien (niet alle lln doorlopen fasen op zelfde tempo)
CSA-model komt elke les aan bod
Remediëren indien nodig!
, Handelingsniveaus van Galperin
mentaal
-> denkwerk
verbaal
-> verwoorden
perceptuee
ter controle
l
-> kijken +-
materieel verwoorden
-> doen + -
verwoorden
Het is dus belangrijk dat lln zelf kunnen verwoorden!
Inzichtelijke aanpak
GEEN trucjes of regels als feiten!
=> betekenis van het begrip zelf en alle deelhandelingen in de redenering
=> begrijpen.
Hoe aanpakken?
- Kaderen in leerlijn = voorkennis activeren
- Veel herhaling (transfer)
- Visueel voorstellen
- Inzichtelijke opbouw les + logische opeenvolging (~CSA en handelingsniveaus)
Belang van correct wiskundig verwoorden
= fundamenteel voor leerkracht en lln
Zorgt voor brug tussen manipuleren met materiaal en werken zonder materiaal.
Vaste verwoording helpt bij automatiseren van oplossingsmethoden.
Lln hebben geleidelijke overgang van spreektaal naar vaktaal nodig:
=> abstracte begrippen verwoorden en uitleggen + op regelmatige basis
Leerkracht moet terminologie steeds correct verwoorden
Automatiseren – memoriseren
Soms moet je zaken paraat kennen.
Leerlijn om tot automatiseren te komen:
inzicht oefenen parate kennis
Inductief werken
= van concrete voorbeelden -> patronen/wetmatigheden door onderzoeken
Gebeurt niet spontaan bij lln => voorbeelden goed kiezen
= van regel -> oefeningen = FOUTIEVE BASIS (fout toepassen, vergeten, …)
Gebruik van verhoudingstabellen
= eerder een veelgebruikte heuristiek
Gebruiken als je hoeveelheid in grootheid vergelijkt met hoeveelheid in andere
grootheid. Enkele didactische tips:
Benoem steeds grootheden en (maat)eenheden => betekenis
Zet herleidingen (om te vergemakkelijken) ook in tabel
o verhoudingen tussen de grootheden blijven gelijk
Chronologie is belangrijk => betekenis
Percentages zijn geen grootheden => geen aparte rij (~ zijn al verhouding!)
Geleidelijkheidsprincipe (1: tabel met titels, 2: tabel zonder titels, 3: zelf) => inzicht
Extra te kennen inhouden:
- Meetkunde: ruimtefiguren:
Ruimtefiguur (of lichaam) = deel van de ruimte begrensd door een gesloten oppervlak.
Ruimtefiguur (of lichaam) = Dat gesloten oppervlak kan plat, gebogen of een combinatie
Ruimtefiguur (of lichaam) = van beide zijn.
2 soorten: - veelvlakken = geen enkel gebogen oppervlak => enkel veelhoeken
Zijvlak = elke begrenzende veelhoek van het veelvlak
Er wordt ook onderscheid gemaakt tussen grond- en bovenvlak,
voor- en achtervlak, linker- en rechterzijvlak ~hoe de figuur
staat => elk zijvlak kan een grondvlak/voorvlak/… zijn.
Ribbe = gemeenschappelijke zijde van 2 zijvlakken
Hoekpunt = gemeenschappelijk hoekpunt van 3 of meer zijvlakken
We kunnen veelhoeken indelen volgens het aantal vlakken:
We kunnen veelvlakken ook indelen volgens eigenschappen:
-> prisma (veelvlak met minstens 2 evenwijdige zijvlakken waarvan de opstaand ribben
-> onderling evenwijdig zijn)
Recht prisma = opstaande ribben staan
Recht prisma = loodrecht op grondvlak
=> alle opstaande zijvlakken zijn
=> rechthoeken
Regelmatig prisma = recht prisma waarvan
Regelmatig prisma = grond en bovenvlak
Regelmatig prisma = regelmatige veelhoeken
Regelmatig prisma = zijn
=> alle opstaande zijvlakken zijn congruent
-> piramides (veelvlak waarvan 1 zijvlak een willekeurige veelhoek is en al de andere >
zijvlakken driehoeken met een gemeenschappelijk hoekpunt zijn)
=> # opstaande zijvlakken = # zijden grondvlak
=> # hoekpunten = # zijvlakken
Regelmatige piramide = piramide waarvan
Regelmatige piramide = het grondvlak een
Regelmatige piramide = regelmatige
veelhoek Regelmatige piramide = is en
waarvan alle Regelmatige piramide =
opstaande ribben Regelmatige piramide =
even lang zijn
=> alle opstaande zijvlakken zijn congruent
b
2 soorten: - niet-veelvlakken = minstens 1 gebogen oppervlak.
=> omwentelingslichamen: cilinder, kegel en bol
h
- Meten en metend rekenen: oppervlakte van ruimtefiguren:
l
Oppervlakte balk = 2 x (l x b) + 2 x (b x h) + 2 x (l x h)
oppervlakte balk (met vierkant als grondvlak) = 4 x (z x h) + 2 x (z x z)
z
Oppervlakte kubus = 6 x z x z
h
z
,Oppervlakte cilinder = oppervlakte mantel + 2 x oppervlakte grondvlak
Oppervlakte cilinder = omtrek grondvlak x hoogte + 2 x oppervlakte cirkel
Oppervlakte cilinder = 2 x ϖ x r x h + 2 x ϖ x r x r
- Meten en metend rekenen: volume:
Volume = hoeveelheid ruimte die het inneemt (=> vorm maakt niet uit)
Volume balk = oppervlakte grondvlak x hoogte
Volume balk = l x b x h
Volume kubus = oppervlakte grondvlak x hoogte
Volume kubus = z x z x z
Volume cilinder = oppervlakte grondvlak x hoogte
Volume cilinder = ϖ x r x r x h
Volume grillige vormen = onderdompeling (voorwerp in 1l water steken -> waterpeil stijgt)
- Meten en metend rekenen: massadichtheid (soortelijk gewicht)
Dichtheid van stof = verhouding van massa ten opzichte van het volume
Gelijke massadichtheid: hoe groter gewicht, hoe groter volume => RE
Gelijk gewicht: hoe groter massadichtheid, hoe kleiner volume => OE
gewicht
Formule dichtheid =
volume
Didactische krachtlijnen:
Betekenisvolle situatie
=> verschijnselen uit leefwereld beter begrijpen, verklaren & beheersen
Wiskundelessen helpen kinderen hierbij (situaties ‘verwiskundigen’)
Hulpmiddel hierbij = wiskundig denkproces:
Belangrijk:
- Bewerkingen meer betekenis geven
- Betekenisvolle situaties
- Relatie met realiteit
- Analyseren van problemen
- Inzicht in begrip, verwerken en evaluatie
- Praktisch en maatschappelijk nut ontdekken
Concreet – schematisch – abstract (CSA-model, Bruner)
Wiskunde = vrij abstract!
Wiskundelessen helpen kinderen tot die abstractie brengen via tussenstappen
concrete fase schematische fase abstracte fase
-> concrete voorbeelden en -> tekenen, schematisch -> zonder hulpmiddelen, enkel
Situaties (materiaal*, …) voorstellen, stappen, … tekens, symbolen, getallen
*in keuze van het materiaal is opbouw mogelijk:
1. materiaal uit natura (~ ongestructureerd)
2. materiaal in plaats van andere werkelijkheid (=> gestructureerd)
3. gestructureerd rekenmateriaal (MAB-materiaal)
Abstracte notatie tonen bij alle fasen (=> transfer)
Iedere les materiaal voorzien (niet alle lln doorlopen fasen op zelfde tempo)
CSA-model komt elke les aan bod
Remediëren indien nodig!
, Handelingsniveaus van Galperin
mentaal
-> denkwerk
verbaal
-> verwoorden
perceptuee
ter controle
l
-> kijken +-
materieel verwoorden
-> doen + -
verwoorden
Het is dus belangrijk dat lln zelf kunnen verwoorden!
Inzichtelijke aanpak
GEEN trucjes of regels als feiten!
=> betekenis van het begrip zelf en alle deelhandelingen in de redenering
=> begrijpen.
Hoe aanpakken?
- Kaderen in leerlijn = voorkennis activeren
- Veel herhaling (transfer)
- Visueel voorstellen
- Inzichtelijke opbouw les + logische opeenvolging (~CSA en handelingsniveaus)
Belang van correct wiskundig verwoorden
= fundamenteel voor leerkracht en lln
Zorgt voor brug tussen manipuleren met materiaal en werken zonder materiaal.
Vaste verwoording helpt bij automatiseren van oplossingsmethoden.
Lln hebben geleidelijke overgang van spreektaal naar vaktaal nodig:
=> abstracte begrippen verwoorden en uitleggen + op regelmatige basis
Leerkracht moet terminologie steeds correct verwoorden
Automatiseren – memoriseren
Soms moet je zaken paraat kennen.
Leerlijn om tot automatiseren te komen:
inzicht oefenen parate kennis
Inductief werken
= van concrete voorbeelden -> patronen/wetmatigheden door onderzoeken
Gebeurt niet spontaan bij lln => voorbeelden goed kiezen
= van regel -> oefeningen = FOUTIEVE BASIS (fout toepassen, vergeten, …)
Gebruik van verhoudingstabellen
= eerder een veelgebruikte heuristiek
Gebruiken als je hoeveelheid in grootheid vergelijkt met hoeveelheid in andere
grootheid. Enkele didactische tips:
Benoem steeds grootheden en (maat)eenheden => betekenis
Zet herleidingen (om te vergemakkelijken) ook in tabel
o verhoudingen tussen de grootheden blijven gelijk
Chronologie is belangrijk => betekenis
Percentages zijn geen grootheden => geen aparte rij (~ zijn al verhouding!)
Geleidelijkheidsprincipe (1: tabel met titels, 2: tabel zonder titels, 3: zelf) => inzicht
