Samenvatting Statistiek voor Bedrijfskundigen II

Hoofdstuk 7: betrouwbaarheidsintervallen gebaseerd op 1 enkele steekproef



Schatten van een parameter



Schatter / puntschatter voor een populatieparameter:
Een regel of een formule die ons zegt hoe we uit de steekproef een getal moeten berekenen om de populatie
parameter te schatten.


= een steekproef grootheid.



uitkomst schatten- en
schaling (concret getall
↑
schatting geven voor de Onbekende parameter


BV .
I =
prinschatter voor p




Betrouwbarheidsinterval / intervalschatter:
Een regel of een formule die ons zegt hoe we uit de steekproef een interval moeten berekenen dat de waarde
van de parameter met een bepaalde (hoge) waarschijnlijkheid bevat.



BBI



Betrouwbaarheidscoëfficient: de kans dat een willekeurig gekozen betrouwbaarheidsinterval de populatie-
parameter bevat.



Betrouwbaarheid: de betrouwbaarheidscoëfficient uitgedrukt als een %.




Betrouwbaarheidsinterval voor een verwachting bij een grote
steekproef
Nie Glock


Betrouwbaarheidscoeëfficient (1 - a ): Za = Z-warande die bij
De kans dat een betrouwbaarheidsinterval de populatieparameter bevat. un oppervlakte /2 hoot in
d staart van ein standaard-
= betrouwbaarheidsniveau normale
verdeling

0 =


standerandafwijking
bekend BBI * O
o =
Zais
:




12-17100 : R




6 onbekend :
BBI
-
=



(n 2) -100 %
x I Zaxs .
~

R ⑲"als

,Voorwaarden voor de geldigheid van de formules voor een betrouwbaarheidsinterval voor N :


• De steekproef is een aselecte steekproef uit de populatie.
• De steekproefgrootte n is groot (n ≥ 30).




BB
,oo van tot +de
-




,




Betrouwbaarheidsinterval voor een verwachting bij een kleine
steekproef
N is klein

2 problemen wanneer n < 30:


• Centrale limietstelling (CLS) is niet meer geldig. De kansverdeling van x is normaal als de populatie waaruit
de steekproef genomen wordt, normaal verdeeld is.


• Standaardafwijking van de populatie (⑧ ) is bijna altijd onbekend, en s is een slechte benadering bij kleine
steekproeven.


x N X- N
in plaats van ~ 2(0, 1) gebrinken we et
G 2 R -
1

n M




• T-verdeling lijkt op z-verdeling maar is variabeler/ vlakker.
• Variatie hangt af van de steekproefomvang n: t-verdeling met (n-1) vrijheidsgraden.
• Hoe groter n, hoe dichter de t-verdeling bij de z-verdeling ligt.
• Voor n ≥ 30 is er nog maar weinig verschil tussen de tabelwaarden voor beide verdelingen.



BB !
n- a) 100 %
= * I +* ↳ =

Gebaseerd op In-1) rijheidegraden
n




veronderstelling :
aselect stukproy wordt int an populatie genomen di bi benadering
normaal is verdeeld en
wasnby o onbekend is .

, Betrouwbaarheidsinterval voor een fractie bij een grote steekproef



Steekproeffractie:


• Binomiaal experiment.
• Aantal successen x is een kansveranderlijke.
• X 8 Bin (n,p).
• Benadering (grote steekproeven):


x Oin(n , p) xrN np ; np(n -p)


aantal successen X
-


aanton experimenten




Kansverdeling van p:


• De verwachting van de kansverdeling van p is p; dat betekent dat p een zuivere schatter van p is. Dat wil
zeggen dat de schatting niet systematisch afwijkt van p.


• De standaardafwijking van de kansverdeling van p is PG n ; dat betekent dat Op = pa/n ; waarbij
q = 1 - p.


• Voor grote steekproeven is de kansverdeling van p bij benadering normaal. Grote steekproef als het aantal
successen en het aantal mislukkingen ≥ 15 is.




BB P 2a / P(P wp =
2ax Ö(-)
-


= =
,n -a) 100 %




Het bepalen van de steekproefomvang



We drukken de betrouwbaarheid van een BBI voor een populatiegemiddelde of populatiefractie uit door de begrenzing
B te specificeren, waarbinnen we de schatting van N of p met een 100(1 - & )% betrouwbaarheid willen hebben.
L B halve brudte hut BBI
begunning = van




benkunde n novan boven afronden (n 30)

, Het schatten van de verwachting in een populatie:


·O B 02axe
Voor Ni ass = n
B
D




Het schatten van een populatiefractie:


PLAD) B P (a-p) .
Za
voorp Zaz
.


:
=

R B2




Symbolen




Formule
s