STATISTIEK N
4. INFERENTIE VOOR FRACTIES
INFERENTIE VOOR ENKELE FRACTIES
We willen een schatting van de fractie p van elementen met een of ander kenmerk onder de
elementen van een grote populatie
We kiezen een EAS van omvang n uit de populatie en noteren het aantal ‘successen’ X
We zullen ‘succes’ hanteren als een aanduiding voor het kenmerk dat ons interesseert
De steekproeffractie successen ^p= X /n schat de onbekende populatiefractie p
Als de populatie veel groter is dan de steekproef, dan zijn de individuele reacties vrijwel onafhankelijk
en heeft het aantal X bij benadering de binomiale verdeling B(n , p)
Als de steekproefomvang klein is, moeten we toetsen en betrouwbaarheidsintervallen voor p baseren
op de binomiale verdelingen
Als de steekproef groot is, zal zowel het aantal X als de steeproeffractie ^p bij benadering normaal zijn
verdeeld
BETROUWBAARHEIDSINTERVAL VOOR EEN ENKELE FRACTIE
De onbekende populatiefractie p wordt geschat door de steekproeffractie ^p= X /n
We weten dat als de steekproefomvang voldoende groot is, de grootheid ^p bij benadering de normale
verdeling heeft met verwachting μ ^p= p en standaardafwijking σ ^p=√ p (1− p)/n
Dit betekent dat ongeveer 95% van de tijd ^p binnen 2 √ p (1− p)/n van de onbekende
populatiefractie ligt
De standaardafwijking σ ^p is afhankelijk van de parameter p
Om een betrouwbaarheidsinterval voor p te bepalen, moeten we de standaardafwijking van ^p uit de
data schatten
o Hiervoor moeten we p vervangen door ^p in de uitdrukking voor σ ^p
BETROUWBAARHEIDSINTERVAL VAN EEN GROTE STEEKPROEF VOOR EEN POPULATIEFRACTIE
Trek een EAS van omvang n uit een grote populatie met een onbekende succesfractie p .
De steekproeffractie is ^p= X /n waar X het aantal successen vertegenwoordigt.
1
, De standaardfout van ^p is
^p (1− ^p )
SE ^p=
√ n
En de foutmarge voor betrouwbaarheidsniveau C is
m=z ¿ SE ^p
waar z ¿ de waarde is voor de standaard dichtheidskromme met een oppervlak C tussen −z ¿ en z ¿
Het betrouwbaarheidsinterval voor niveau C voor p is bij benadering ^p ± m
Gebruik dit interval voor de 90%, 95%, of 99% betrouwbaarheid wanneer er sprake is van minstens 15
successen en 15 missers
SIGINIFICANTIETOETSEN VOOR ÉÉN FRACTIE
De steekproeffractie ^p= X /n is normaal verdeeld, met verwachting μ ^p= p en standaardafwijking
σ ^p=√ p (1− p)/n
SIGNIFICANTIETOETS VOOR EEN POPULATIEFRACTIE OP BASIS VAN EEN GROTE STEEKPROEF
Trek een EAS van omvang n uit een grote populatie met onbekende succesfractie p . Om de hypothese
^p− p 0
z=
H 0 : p= p0 te toetsen, berekent men de z-grootheid p0 (1−p 0)
√ n
In termen van een standaardnormale stochastische variabele Z geldt voor de benaderde
overschrijdingskans van een toets van H0 versus
H a : p > p0 ; de overschrijdijngskans is P ( Z ≥ z )
H a : p < p0 ; de overschrijdingskans is P ( Z ≤ z )
H a : p ≠ p0 ; de overschrijdingskans is 2 P(Z ≥|z|)
Steekproef z significantietoets gebruiken als het verwachte aantal successen (n p0 ) en het verwachte
aantal missers (n ( 1− p 0 )) beide groters zijn dan 10
Conclusie hangt niet af van de keuze van succes en mislukking
BETROUWBAARHEIDSINTERVALLEN GEVEN AANVULLENDE INFORMATIE
Significantietoetsen voor één enkele fractie komen in de statistiek betrekkelijk zelden voor, omdat het
ongebruikelijk is een exact gespecifieerde p0 te hebben
HET BEPALEN VAN DE STEEKPROEFOMVANG
¿
Foutmarge voor een betrouwbaarheidsinterval van niveau C voor p is m=z S E ^p
2
4. INFERENTIE VOOR FRACTIES
INFERENTIE VOOR ENKELE FRACTIES
We willen een schatting van de fractie p van elementen met een of ander kenmerk onder de
elementen van een grote populatie
We kiezen een EAS van omvang n uit de populatie en noteren het aantal ‘successen’ X
We zullen ‘succes’ hanteren als een aanduiding voor het kenmerk dat ons interesseert
De steekproeffractie successen ^p= X /n schat de onbekende populatiefractie p
Als de populatie veel groter is dan de steekproef, dan zijn de individuele reacties vrijwel onafhankelijk
en heeft het aantal X bij benadering de binomiale verdeling B(n , p)
Als de steekproefomvang klein is, moeten we toetsen en betrouwbaarheidsintervallen voor p baseren
op de binomiale verdelingen
Als de steekproef groot is, zal zowel het aantal X als de steeproeffractie ^p bij benadering normaal zijn
verdeeld
BETROUWBAARHEIDSINTERVAL VOOR EEN ENKELE FRACTIE
De onbekende populatiefractie p wordt geschat door de steekproeffractie ^p= X /n
We weten dat als de steekproefomvang voldoende groot is, de grootheid ^p bij benadering de normale
verdeling heeft met verwachting μ ^p= p en standaardafwijking σ ^p=√ p (1− p)/n
Dit betekent dat ongeveer 95% van de tijd ^p binnen 2 √ p (1− p)/n van de onbekende
populatiefractie ligt
De standaardafwijking σ ^p is afhankelijk van de parameter p
Om een betrouwbaarheidsinterval voor p te bepalen, moeten we de standaardafwijking van ^p uit de
data schatten
o Hiervoor moeten we p vervangen door ^p in de uitdrukking voor σ ^p
BETROUWBAARHEIDSINTERVAL VAN EEN GROTE STEEKPROEF VOOR EEN POPULATIEFRACTIE
Trek een EAS van omvang n uit een grote populatie met een onbekende succesfractie p .
De steekproeffractie is ^p= X /n waar X het aantal successen vertegenwoordigt.
1
, De standaardfout van ^p is
^p (1− ^p )
SE ^p=
√ n
En de foutmarge voor betrouwbaarheidsniveau C is
m=z ¿ SE ^p
waar z ¿ de waarde is voor de standaard dichtheidskromme met een oppervlak C tussen −z ¿ en z ¿
Het betrouwbaarheidsinterval voor niveau C voor p is bij benadering ^p ± m
Gebruik dit interval voor de 90%, 95%, of 99% betrouwbaarheid wanneer er sprake is van minstens 15
successen en 15 missers
SIGINIFICANTIETOETSEN VOOR ÉÉN FRACTIE
De steekproeffractie ^p= X /n is normaal verdeeld, met verwachting μ ^p= p en standaardafwijking
σ ^p=√ p (1− p)/n
SIGNIFICANTIETOETS VOOR EEN POPULATIEFRACTIE OP BASIS VAN EEN GROTE STEEKPROEF
Trek een EAS van omvang n uit een grote populatie met onbekende succesfractie p . Om de hypothese
^p− p 0
z=
H 0 : p= p0 te toetsen, berekent men de z-grootheid p0 (1−p 0)
√ n
In termen van een standaardnormale stochastische variabele Z geldt voor de benaderde
overschrijdingskans van een toets van H0 versus
H a : p > p0 ; de overschrijdijngskans is P ( Z ≥ z )
H a : p < p0 ; de overschrijdingskans is P ( Z ≤ z )
H a : p ≠ p0 ; de overschrijdingskans is 2 P(Z ≥|z|)
Steekproef z significantietoets gebruiken als het verwachte aantal successen (n p0 ) en het verwachte
aantal missers (n ( 1− p 0 )) beide groters zijn dan 10
Conclusie hangt niet af van de keuze van succes en mislukking
BETROUWBAARHEIDSINTERVALLEN GEVEN AANVULLENDE INFORMATIE
Significantietoetsen voor één enkele fractie komen in de statistiek betrekkelijk zelden voor, omdat het
ongebruikelijk is een exact gespecifieerde p0 te hebben
HET BEPALEN VAN DE STEEKPROEFOMVANG
¿
Foutmarge voor een betrouwbaarheidsinterval van niveau C voor p is m=z S E ^p
2
