Wiskunde samenvatting H4 en 7
Toevalsvariabele of stochast, kansverdeling, verwachtingswaarde:
Een stochast of toevalsvariabele is een variabele waarvan de getalswaarde afhangt van
het toeval. P(X=u) is de kans dat stochast X de waarde van u aanneemt. Een tabel met alle
mogelijke waarden die een stochast aan kan nemen en de bijbehorende kansen heet de
kansverdeling van de stochast. De gemiddelde waarde van de stochast X die je mag
verwachten als het experiment een groot aantal keren wordt herhaald, heet de
verwachtingswaarde van X (E(X)).
Onafhankelijke en afhankelijke gebeurtenissen:
Twee gebeurtenissen A en B heten onafhankelijk van elkaar als P(A en B) = P(A) ⋅ P(B).
Twee stochasten X en Y heten onafhankelijk van elkaar als voor alle mogelijke uitkomsten
a van X en alle mogelijke uitkomsten b van Y geldt dat
P(X=a en Y=b) = P(X=a) ⋅ P(Y=b). Gebeurtenissen en stochasten die niet onafhankelijk zijn,
heten afhankelijk.
Standaardafwijking en standaarddeviatie:
Bij een kansverdeling van een stochast kun je de standaardafwijking van die stochast
berekenen. De notatie is: σ(X).
Normale verdeling, parameters:
De normale verdeling van een stochast X is een wiskundig model van de ideale
klokvormige verdeling. De verdeling van de X wordt bepaald door twee parameters: de
verwachtingswaarde E(X) = μ en de standaardafwijking σ(X)=σ. Je noteert het als de
stochast X is Norm(μ,σ)-verdeeld.
Rekenregels voor stochasten:
2 2
σ (X + Y) = σ(𝑋) + σ(𝑌) als X en Y onafhankelijke stochasten zijn
E(X+Y) = E(X) + E(Y)
De 𝑁 wet
Voor de som S van n onafhankelijke stochasten X1, X2, X3 … Xn, elk met dezelfde
kansverdeling als X, geldt: E(S) = n ⋅ E(X) en σ(S) = 𝑁 ⋅σ (X) Voor het gemiddelde geldt:
σ(𝑋)
E(gem) = E(X) en σ(gem) = .
𝑁
Verwachtingswaarde en standaardafwijking berekenen:
Eerst kansverdeling opstellen. U is hoe vaak het wordt uitgevoerd.
Na kansverdeling: naar STAT > invullen gegevens in tabel, List 1 hoe vaak uitgevoerd,
List 2 de uitkomsten van de kans > CALC > 1-VAR > aflezen.
Rekenregels voor stochasten toepassen:
Bij het berekenen van de verwachtingswaarde en de standaardafwijking gebruik je de
rekenregels voor stochasten.
Toevalsvariabele of stochast, kansverdeling, verwachtingswaarde:
Een stochast of toevalsvariabele is een variabele waarvan de getalswaarde afhangt van
het toeval. P(X=u) is de kans dat stochast X de waarde van u aanneemt. Een tabel met alle
mogelijke waarden die een stochast aan kan nemen en de bijbehorende kansen heet de
kansverdeling van de stochast. De gemiddelde waarde van de stochast X die je mag
verwachten als het experiment een groot aantal keren wordt herhaald, heet de
verwachtingswaarde van X (E(X)).
Onafhankelijke en afhankelijke gebeurtenissen:
Twee gebeurtenissen A en B heten onafhankelijk van elkaar als P(A en B) = P(A) ⋅ P(B).
Twee stochasten X en Y heten onafhankelijk van elkaar als voor alle mogelijke uitkomsten
a van X en alle mogelijke uitkomsten b van Y geldt dat
P(X=a en Y=b) = P(X=a) ⋅ P(Y=b). Gebeurtenissen en stochasten die niet onafhankelijk zijn,
heten afhankelijk.
Standaardafwijking en standaarddeviatie:
Bij een kansverdeling van een stochast kun je de standaardafwijking van die stochast
berekenen. De notatie is: σ(X).
Normale verdeling, parameters:
De normale verdeling van een stochast X is een wiskundig model van de ideale
klokvormige verdeling. De verdeling van de X wordt bepaald door twee parameters: de
verwachtingswaarde E(X) = μ en de standaardafwijking σ(X)=σ. Je noteert het als de
stochast X is Norm(μ,σ)-verdeeld.
Rekenregels voor stochasten:
2 2
σ (X + Y) = σ(𝑋) + σ(𝑌) als X en Y onafhankelijke stochasten zijn
E(X+Y) = E(X) + E(Y)
De 𝑁 wet
Voor de som S van n onafhankelijke stochasten X1, X2, X3 … Xn, elk met dezelfde
kansverdeling als X, geldt: E(S) = n ⋅ E(X) en σ(S) = 𝑁 ⋅σ (X) Voor het gemiddelde geldt:
σ(𝑋)
E(gem) = E(X) en σ(gem) = .
𝑁
Verwachtingswaarde en standaardafwijking berekenen:
Eerst kansverdeling opstellen. U is hoe vaak het wordt uitgevoerd.
Na kansverdeling: naar STAT > invullen gegevens in tabel, List 1 hoe vaak uitgevoerd,
List 2 de uitkomsten van de kans > CALC > 1-VAR > aflezen.
Rekenregels voor stochasten toepassen:
Bij het berekenen van de verwachtingswaarde en de standaardafwijking gebruik je de
rekenregels voor stochasten.
