Samenvatting Inductieve statistiek voor de gedragswetenschappen, ISBN: 9789463791540 Statistiek 2

H2: kansverdelingen en kansberekening
1. Wat is een kansverdeling en hoe kunnen we haar berekenen?
 Waarom hebben we kansen nodig?
o Uitspraken doen over een populatie o.b.v. steekproefgegevens (= inductieve
statistiek)
 Dit kan op 2 manieren / soorten vragen  om deze te beantwoorden
hebben we kansverdeling nodig
 Hypothese toetsing (bv. is het verschil in intelligentie van een eerste
groep verschillend t.o.v. een tweede groep)
 Intervalestimatie (bv. schatting van gemiddelde IQ in deze SP)
 Hoe werkt dit?
 We nemen een populatie
 Met een onschuldige hand trekken we een
populatie
 Hierop doen we formules om de vragen te
beantwoorden

Kansverdeling = een verdeling van kansen – het lijkt op een frequentieverdeling –
verdeling op basis van hypothetische waarden i.p.v. geobserveerde waarden

 Voorbeeld: frequentieverdeling van de variabele ‘aantal ogen bij het
werpen van 2 dobbelstenen’
o Kansverdeling: van dezelfde variabele een kansverdeling maken
 Geen dobbelstenen gooien MAAR we gaan beredeneren wat er zou kunnen
gebeuren ALS we de dobbelstenen zouden gooien
 Kijken welke mogelijkheden mogelijk zijn  en er is niet voor elk getal een
even grote kans dat het zal voorkomen
 Kansverdeling  de mogelijke kansen uitbeelden in functie van hun kans
dat het voorkomt




 Verloop van de kansverdeling kennen:
o Gemiddelde en standaardafwijking nodig MAAR bij kansverdeling is dit niet echt
mogelijk wegens GEEN observaties
 MAAR wel op basis van kansberekening
 Gemiddelde = verwachte waarde
 Formule:

1

, o E = expected (verwachte waarde)
o µx = populatiegemiddelde
o xi = mogelijke uitkomst
o P = kans
o Variantie
 µx = verwachte waarde
 P = de kans
 Xi = je score

 Kansen zijn van groot belang in onderzoek omdat ze ons in staat
stellen om te beslissen of een observatie heel uitzonderlijk is of eerder heel gewoon

 om kansen te berekenen maken we gebruik van kansverdelingen – theoretische verdelingen van
mogelijke waarden en bijhorende kansen van een variabele

 sommige kansverdelingen kunnen we perfect kennen (bv. dobbelstenen) andere kansverdelingen
moeten we eerder schatten (bv. IQ)

2. Wat is de steekproevenverdeling van het gemiddelde en hoe kunnen we de vorm van deze
verdeling kennen?
 Steekproefverdeling van het gemiddelde is een bijzondere kansverdeling  omdat we aan
de hand van de SP verdeling de kans gaan berekenen om een bepaald SP gemiddelde te
vinden
o Eerst belangrijk om te weten wat het is
 Stel je voor dat we niet 1 SP trekken maar elke keer een volgende?
 Vinden we dan hetzelfde gemiddelde? NEE, omdat we een andere SP
trekken dus daar zit de
variantie anders dus dat
gemiddelde gaat
afwijken
o Zo kunnen we in
theorie allemaal
verschillende SP
trekken
o Dan krijgen we
een verdeling
van alle
gemiddelden van
SP die werden
getrokken
 Onderste verdeling  als we deze in theorie samenstellen is het de
SP verdeling van het gemiddelde MAAR dit kost heel veel tijd
o Heeft minder variatiebreedte  dit komt doordat we
werken met gemiddeldes waardoor je minder uitstekels hebt
o Vorm en kenmerken ?
 Verwachte waarde van de SPverdeling =
populatiegemiddelde (µ)
 We moeten een schatting kunnen maken MAAR wanneer maken we een
goede?

2

,  Verwachte waarde
OMDAT:
o Er zijn 9
mogelijkheden
dus er is telkens
1/9 kans dat
deze zich
voordoet
o Elk gemiddelde
uitzetten in een
tabel en bij elk gemiddelde opschrijven
hoe vaak het zich kan voordoen
o Uitrekenen wat de verwachte waarde gaat zijn en dit
vergelijken met het gemiddelde van de populatie
 1. Gemiddelde berekenen
 2. Verwachte waarde (elke uitkomst verrekenen met
de kans dat deze voorkomt)




 Verwachte waarde van de SP verdeling = populatiegemiddelde
o Het gemiddelde van de SP is een zuivere schatten van het gemiddelde van de
populatie
 Schatter = a.d.h.v. SP gemiddelde kunnen we een voorspelling maken over
het populatiegemiddelde
 Zuiver = geen systematische afwijkingen = we weten als we een SP trekken
en we berekenen daarvan het gemiddelde dan gaat dit waarschijnlijk nooit
gelijk zijn aan het populatiegemiddelde
 MAAR het gaat niet systematisch afwijkingen = de afwijking gaat
randomgewijs zijn DAAROM kunnen we zeggen dat het een zuivere
schatter is
 Standaardafwijking van SPverdeling = standaardfout van gemiddelde σ X
o Formule
 SE = standaardfout
 σ X = populatiegemiddelde




3

, o Hoe groter de SP hoe kleiner de standaardfout (bv. gemiddelde lengte van alle
mannen is gelijk aan 180cm
met een SA van 10cm)
 Hoe meer elementen
die je verzameld hoe
beter de inschatting
van datgene dat je wil
schatten
 Vorm van de steekproefverdeling
o Centrale Limiet Theorama
 Verdeling van steekproefgemiddelden uit al dan niet normaal verdeelde
kansverdeling is ongeveer normaal verdeeld
 Ook al is de kansverdeling van de populatie niet normaal verdeeld
 Hoe groter de steekproeven, hoe sterker de benadering van de normale
verdeling
 Daar moeten we beroep op doen om onze kansen te berekenen




o Voorbeeld:
 Hoe groter je SP hoe meer het lijkt op een normaalverdeling (bv. hoe meer je
gooit met je dobbelsteen hoe meer het normaal verdeeld wordt)
 Vorm van steekproefverdeling




 Een specifieke kansverdeling is de steekproevenverdeling van het gemiddelde,
waarmee we kunnen nagaan hoe de gemiddelden van steekproeven met een
bepaalde grootte zich verdelen.

 We kunnen deze verdeling kennen aan de hand van de verwachte waarde μ X en
standaardfout σ X̄ .

 Aan de hand van het centrale limiet theorema kunnen we nagaan of de
steekproevenverdeling normaal verdeeld is. In dat geval kennen we het volledige
verloop als we ook μ X en σ X̄ kennen.

4