Wiskunde: Calculus I
Limits and Continuity
lim 𝑓(𝑥) = 𝐿 : f(x) nadert naar L als x voldoende dicht naar x0 nadert
!→!!
Constante functie en identiteitsfunctie: de limiet bestaat in elk punt en is gelijk aan de functiewaarde
Opm:
o Limiet is niet altijd gelijk aan de functiewaarde
o De functie hoeft niet gedefinieerd te zijn in x0
o Voor sommige functies bestaat de limiet in een bepaald punt niet
Neem aan dat g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) voor alle waarde van x rond c behalve eventueel in c zelf.
Neem ook aan dat:
Als f(x) ≤ g(x) voor alle waarde van x in een open interval rond c behalve eventueel in c
zelf, en beide limieten bestaan dan:
Rechter- en Linkerlimieten
f(x) heeft een rechterlimiet L in x0 als:
∀𝜀 > 0, ∃𝛿 > 0 𝑧𝑜𝑑𝑎𝑡 𝑣𝑜𝑜𝑟 𝑎𝑙𝑙𝑒 𝑥 𝑚𝑒𝑡 𝑥# < 𝑥 < 𝑥# + 𝛿 𝑔𝑒𝑙𝑑𝑡 𝑑𝑎𝑡 |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀
f(x) heeft een linkerlimiet L in x0 als:
∀𝜀 > 0, ∃𝛿 > 0 𝑧𝑜𝑑𝑎𝑡 𝑣𝑜𝑜𝑟 𝑎𝑙𝑙𝑒 𝑥 𝑚𝑒𝑡 𝑥# − 𝛿 < 𝑥 < 𝑥# 𝑔𝑒𝑙𝑑𝑡 𝑑𝑎𝑡 |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀
, $%& ())
Opm: bestaat niet in 0
)
Limieten: Uitbreiding op ∞
+∞:
∀𝜀 > 0, ∃𝑀 > 0 𝑧𝑜𝑑𝑎𝑡 𝑎𝑙𝑠 𝑀 < 𝑥 ⇒ |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀
-∞:
∀𝜀 > 0, ∃𝑀 > 0 𝑧𝑜𝑑𝑎𝑡 𝑎𝑙𝑠 𝑥 < −𝑀 ⇒ |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀
∀𝜀 > 0, ∃𝑁 < 0 𝑧𝑜𝑑𝑎𝑡 𝑎𝑙𝑠 𝑥 < 𝑁 ⇒ |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀
Asymptoten en oneindige limieten
Horizontale asymptoot:
De rechte y = b is een horizontale asymptoot van f(x) als lim 𝑓(𝑥) = 𝑏 𝑜𝑓 lim 𝑓(𝑥) = 𝑏
!→+ !→,+
Oneindige limiet = de limiet ‘gaat naar’ ∞ maar ‘bestaat’ niet echt:
f(x) heeft een tweezijdige oneindige limiet x0 als lim 𝑓(𝑥) = +∞ 𝑜𝑓 lim 𝑓(𝑥) = −∞
!→!! !→!!
Verticale asymptoot:
De rechte x = a is een horizontale asymptoot van f(x) als lim" 𝑓(𝑥) = ±∞ 𝑜𝑓 lim# 𝑓(𝑥) = ±∞
!→- !→-
Schuine asymptoot = rechte waarvoor geldt dat de functie zich op oneindig gedraagt zoals de rechte
o Rationale functies waarvan de graad van de noemer 1 kleiner is dan de teller hebben
een schuine asymptoot
Indien ∀𝐵 > 0, ∃𝛿 > 0 𝑧𝑜𝑑𝑎𝑡 𝑎𝑙𝑠 0 < |𝑥 − 𝑥! | < 𝛿 𝑔𝑒𝑙𝑑𝑡 𝑑𝑎𝑡 𝐵 < 𝑓(𝑥)
Indien ∀𝐵 > 0, ∃𝛿 > 0 𝑧𝑜𝑑𝑎𝑡 𝑎𝑙𝑠 0 < |𝑥 − 𝑥! | < 𝛿 𝑔𝑒𝑙𝑑𝑡 𝑑𝑎𝑡 − 𝐵 < 𝑓(𝑥)
Limits and Continuity
lim 𝑓(𝑥) = 𝐿 : f(x) nadert naar L als x voldoende dicht naar x0 nadert
!→!!
Constante functie en identiteitsfunctie: de limiet bestaat in elk punt en is gelijk aan de functiewaarde
Opm:
o Limiet is niet altijd gelijk aan de functiewaarde
o De functie hoeft niet gedefinieerd te zijn in x0
o Voor sommige functies bestaat de limiet in een bepaald punt niet
Neem aan dat g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) voor alle waarde van x rond c behalve eventueel in c zelf.
Neem ook aan dat:
Als f(x) ≤ g(x) voor alle waarde van x in een open interval rond c behalve eventueel in c
zelf, en beide limieten bestaan dan:
Rechter- en Linkerlimieten
f(x) heeft een rechterlimiet L in x0 als:
∀𝜀 > 0, ∃𝛿 > 0 𝑧𝑜𝑑𝑎𝑡 𝑣𝑜𝑜𝑟 𝑎𝑙𝑙𝑒 𝑥 𝑚𝑒𝑡 𝑥# < 𝑥 < 𝑥# + 𝛿 𝑔𝑒𝑙𝑑𝑡 𝑑𝑎𝑡 |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀
f(x) heeft een linkerlimiet L in x0 als:
∀𝜀 > 0, ∃𝛿 > 0 𝑧𝑜𝑑𝑎𝑡 𝑣𝑜𝑜𝑟 𝑎𝑙𝑙𝑒 𝑥 𝑚𝑒𝑡 𝑥# − 𝛿 < 𝑥 < 𝑥# 𝑔𝑒𝑙𝑑𝑡 𝑑𝑎𝑡 |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀
, $%& ())
Opm: bestaat niet in 0
)
Limieten: Uitbreiding op ∞
+∞:
∀𝜀 > 0, ∃𝑀 > 0 𝑧𝑜𝑑𝑎𝑡 𝑎𝑙𝑠 𝑀 < 𝑥 ⇒ |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀
-∞:
∀𝜀 > 0, ∃𝑀 > 0 𝑧𝑜𝑑𝑎𝑡 𝑎𝑙𝑠 𝑥 < −𝑀 ⇒ |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀
∀𝜀 > 0, ∃𝑁 < 0 𝑧𝑜𝑑𝑎𝑡 𝑎𝑙𝑠 𝑥 < 𝑁 ⇒ |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀
Asymptoten en oneindige limieten
Horizontale asymptoot:
De rechte y = b is een horizontale asymptoot van f(x) als lim 𝑓(𝑥) = 𝑏 𝑜𝑓 lim 𝑓(𝑥) = 𝑏
!→+ !→,+
Oneindige limiet = de limiet ‘gaat naar’ ∞ maar ‘bestaat’ niet echt:
f(x) heeft een tweezijdige oneindige limiet x0 als lim 𝑓(𝑥) = +∞ 𝑜𝑓 lim 𝑓(𝑥) = −∞
!→!! !→!!
Verticale asymptoot:
De rechte x = a is een horizontale asymptoot van f(x) als lim" 𝑓(𝑥) = ±∞ 𝑜𝑓 lim# 𝑓(𝑥) = ±∞
!→- !→-
Schuine asymptoot = rechte waarvoor geldt dat de functie zich op oneindig gedraagt zoals de rechte
o Rationale functies waarvan de graad van de noemer 1 kleiner is dan de teller hebben
een schuine asymptoot
Indien ∀𝐵 > 0, ∃𝛿 > 0 𝑧𝑜𝑑𝑎𝑡 𝑎𝑙𝑠 0 < |𝑥 − 𝑥! | < 𝛿 𝑔𝑒𝑙𝑑𝑡 𝑑𝑎𝑡 𝐵 < 𝑓(𝑥)
Indien ∀𝐵 > 0, ∃𝛿 > 0 𝑧𝑜𝑑𝑎𝑡 𝑎𝑙𝑠 0 < |𝑥 − 𝑥! | < 𝛿 𝑔𝑒𝑙𝑑𝑡 𝑑𝑎𝑡 − 𝐵 < 𝑓(𝑥)
