Duidelijke samenvatting Kwantitatieve onderzoeksmethoden

Kwantitatieve onderzoeksmethoden

Hoofdstuk 4: Kansrekenen
1 Wat is een kans
= uitspraak over (on)waarschijnlijkheid van gebeurtenis.
= getal dat iedere waarde kan aannemen tussen 0 en 1.

Kans op gebeurtenis G = P(G) met 0 ≤ P(G) ≤ A

P(G) = 0 => G is onmogelijk, G gebeurt niet
P(G) = 1 => G is mogelijk, G gebeurt zeker

1.1 Hoe kans uitrekenen?
• Kansdefinitie van Laplace:



vb. P(6 ogen gooien) =

• Frequentiedefinitie: (als objectieve kansberekening niet kan)



! Let op voor subjectieve kansen ≠ kansberekening.

2 Rekenregels voor kansen
2.1 Een voorbeeld
Een klein consultingbureau heeft de voorbije jaren 10 projecten uitgevoerd:

• 5 projecten werden uitgevoerd door persoon A (gebeurtenis A)
• 4 projecten waren tijdig klaar (gebeurtenis T)
• 2 projecten werden uitgevoerd door persoon A én waren tijdig klaar

Bijhorende kansen wanener we een willekeurig project uitkiezen:

P(A) = = 0,5
P(T) = = 0,4
P(A en T) = = 0,2




1

,2

,2.2 Complementregel
Stel Gc = G’ = gebeurtenis G doet zich niet voor:

P(G) + P(G’) = 1 of P(Gc) = P(G’) = 1 – P(G)

Voorbeeld: Wat is de kans dat een willekeurig project niet werd uitgevoerd door persoon A?

P(A’) = 1 – P(A) = 1 – 0,5 = 0,5 = 50%




2.3 Somregel
Voorbeed: Wat is de kans dat een willekeurig project door persoon A werd uitgevoerd óf tijdig werd
uitgevoerd?

P (A Ս T) = P(A) + P(T) – P(A Ո T)

= 0,5 + 0,4 – 0,2 = 0,7

7 van de 10 projecten werden door persoon A uitgevoerd of tijdig uitgevoerd.




Ո = “en” = je wilt dat ze allebei gebeuren
Ս = “of”




3

,2.4 Voorwaardelijke kans
= je weet dat een gebeurtenis heeft plaatsgevonden, wat is dan de kans dat een andere gebeurtenis
zich dan voordoet.

Voorbeeld: Wat is de kans dat een willekeurig project dat door persoon A werd uitgevoerd op tijd
klaar was?

• Hoeveel projecten waren tijdig klaar en werden door persoon A uitgevoerd? → 2
• Als je weet dat project uitgevoerd werd door persoon A, hoeveel mogelijke projecten? → 5
𝑎𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑔𝑜𝑒𝑑𝑒 𝑢𝑖𝑡𝑘𝑜𝑚𝑠𝑡𝑒𝑛 2 𝑃 (𝑇 Ո 𝐴)
P( T | A) = = =
𝑡𝑜𝑡𝑎𝑎𝑙 𝑎𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑚𝑜𝑔𝑒𝑙𝑖𝑗𝑘𝑒 𝑢𝑖𝑡𝑘𝑜𝑚𝑠𝑡𝑒𝑛 5 𝑃(𝐴)

| = de kans dat gebeurtenis T zich voordoen wanneer gebeurtenis A zich al heeft voorgedaan.




2.5 Productregel
= de kans dat 2 gebeurtenissen zich allebei voordoen.

P (G1 Ո G2) = P (G1 | G2) ∙ P (G2) = P (G2| G1) ∙ P (G1) (algemene productregel)

De kans dat gebeurtenissen G1 en G2 zich voordoen is:

P (G1 Ո G2) = P (G1 | G2) ∙ P (G2) = P (G2 Ո G1) = P (G2 | G1) ∙ P(G1)

Onafhankelijkheid = of gebeurtenis G1 zich nu al heeft voorgedaan of niet, dat heeft geen invloed op
G2. G1 is onafhankelijk van G2 als P(G1 | G1) = P(G1 )

→ Dan mag je de vereenvoudigde productregel gebruiken
P (G1 Ո G2) = P (G1) ∙ P(G1) (onafhankelijke productregel)

2.6 Elkaar uitsluitende G’s
Elkaar uitsluitende gebeurtenissen

• Gebeurtenissen komen niet samen voor
• Gebeurtenissen hebben niets met elkaar gemeenschappelijk
• Disjuncte gebeurtenissen (lege Ո)

Voorbeeld consultingbureau:

Stel persoon B krijgt nooit tijdig een project af (P(B Ո T) = 0)
𝑃 (𝑇 Ո 𝐵)
→ P (T | B) = 𝑃(𝐵)
= 0 ≠ P(T) want P(T) = 0,4
→ B en T zijn niet onafhankelijk
→ Let dus op! Elkaar uitsluitende G’s ≠ onafhankelijke G’s




4

,3 Kansverdelingen
3.1 Toevallige resultaten of niet?
• Doel: op basis van steekproef uitspraken doen over populatie
• Toevallige omstandigheden (toevalsfactoren) kunnen steekproef beïnvloeden (bv.
respondent is afwezig, geluidsoverlast, …)
• Zijn resultaten dan nog wel generaliseerbaar naar populatie?
→ resultaat is puur toevallig ! geen uitspraak over populatie
→ resultaat is niet toevallig ! uitspraak over populatie
• Beslissing over toeval of niet gebeurt o.b.v. verdeling van kansen (kansverdelingen)

3.2 Enkele begrippen
• Kansvariabele X = beschrijft alle mogelijke uitkomsten x van een experiment
Merk op: grote letter voor variabele, kleine letter voor uitkomst
• Elke uitkomst komt voor met een zekere kans: P(X = x)
• Kansverdeling = beschrijft voor elke uitkomst van een experiment de bijhorende kans
→ lijst met uitkomsten en bijhorende kansen of via formule
• Eindig (telbaar) aantal mogelijke uitkomsten → discrete kansverdeling
• Oneindig veel mogelijke uitkomsten → continue kansverdeling

Grafische voorstelling:
Discrete kansverdeling Continue kansverdeling
(aantal lege stoelen in vliegtuig) (dagtemperatuur)




• Aflezen welke waarden waarschijnlijker zijn dan andere
• Alle mogelijke uitkomsten, dus som alle staafjes (discreet) of oppverlakte onder grafiek
(continue) = 1 = 100%

3.3 Permutaties en combinaties
= is de volgorde van uitkomsten van belang bij het uitvoeren van een kansexperiment?

Voorbeeld: loopwedstrijd

Na de voorrondes gaan de 8 beste tijden door
→ volgorde niet van belang
Na de finale worden de medailles uitgereikt
→ volgorde wel van belang

We gebruiken combinaties (geen volgorde) en permutaties (wel volgorde) om het aantal mogelijke
uitkomsten te bepalen.




5

, 3.3.1 Combinaties
= aantal mogelijkheden om een groepje van x waarnemingen uit een totaal van n waarnemingen te
trekken.

Formule:
𝑛!
Aantal combinaties van x uit n = (𝑛𝑥) = 𝑥!( 𝑛−𝑥)!

Met n! = n ∙ (n – 1) ∙ (n – 2) ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 (n faculteit) dus enkel natuurlijke getallen
Voorwaarde: 0! = 1


Voorbeeld:
Je ruimt je kleerkast op en gooit 2 van de 6 T-shirts weg. Hoeveel mogelijkheden zijn er?

Opsommen:
1&2; 1&3; 1&4; 1&5; 1&6; 2&3; 2&4; 2&5; 2&6; 3&4; 3&5; 3&6; 4&5;
4&6; 5&6 → 15 mogelijkheden of combinaties

Aantal combinaties van 2 uit 6:
6! 6∙5∙4∙3∙2∙1 65
(62) = 2!4! = 2 ∙ 1 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 2
= 15



3.3.2 Permutaties
= aantal mogelijke verschillende volgordes van n waarnemingen = n!

Voorbeeld:
Op hoeveel manieren kan je 8 atleten in een loopwedstrijd rangschikken?

• 8 keuzes voor de eerste plaats
• 7 keuzes voor de tweede plaats
• 1 keuze voor de laatste plaats
• In totaal 8 ∙ 7 ∙ ... 2 ∙ 1 = 8! = 40320 mogelijke volgordes

Hoeveel mogelijke top 3’s zijn er?

• 8 keuzes voor de eerste plaats
• 7 keuzes voor de tweede plaats
• 6 keuzes voor de derde plaats
• 8 ∙ 7 ∙ 6 = 336 mogelijke medaille uitreikingen




6