HOOFDSTUK 3: KANSVERDELINGEN EN DICHTHEIDSFUNCTIES
3.1 Definities: stochastisch veranderlijke, kansverdeling, dichtheidsfunctie
3.1.1 Stochastisch veranderlijke
functie: een voorschrift dat elk element van een bepaalde verzameling associeert met een
andere verzameling → ontstaan paren (a,b), met a uit verzameling 1 (=domein) en b uit
verzameling 2 (=beeld)
f(a) = b
stochastisch veranderlijke (s.v.) Y(.): functie die als domein het universum Ω van een
experiment heeft, en als beeld een deelverzameling van de verzameling reële getallen
→waarde van een stochastisch veranderlijke: y
voorbeeld: functie f(a)=b die mogelijke elementaire uitkomsten afbeeldt naar het aantal
successen
3.1.2 Discrete stochastische veranderlijke en kansverdeling
discrete s.v.: als de s.v. Y: Ω → R slechts een eindig/aftelbaar aantal waarden aanneemt
voorbeeld:
Een gebeurtenis is deelverzameling van universum → toepassen van s.v. levert de waarde yi
op
→kans van specifieke gebeurtenis
kansverdeling van Y: verzameling van alle kansen voor alle mogelijke waarden die de s.v. Y
kan aannemen
(cumulatieve) verdelingsfunctie F(y):
• opstellen op basis van kansverdeling
• geeft kans weer dat s.v. waarde aanneemt die gelijk aan of kleiner is dan een
specifieke waarde yi
→bij grootste waarde van s.v. neemt de functie waarde 1 aan: F(yk)=1
3.1.3 Continue stochastische veranderlijke en dichtheidsfunctie
een continue s.v. neemt oneindig veel waarden aan binnen een eindig interval
(=overaftelbaar)
→ kansverdeling heeft geen zin → kans dat waarde in bepaald interval ligt
met dichtheidsfunctie f(y): s.v. heeft een continue verdeling met dichtheidsfunctie f(y)
waarde voor de s.v. te observeren tussen de waarde y0 en y1 → dichtheidsfunctie
integreren van y0 tot y1
= bepalen oppervlakte onder functie f(y) van y0 tot y1
3.1 Definities: stochastisch veranderlijke, kansverdeling, dichtheidsfunctie
3.1.1 Stochastisch veranderlijke
functie: een voorschrift dat elk element van een bepaalde verzameling associeert met een
andere verzameling → ontstaan paren (a,b), met a uit verzameling 1 (=domein) en b uit
verzameling 2 (=beeld)
f(a) = b
stochastisch veranderlijke (s.v.) Y(.): functie die als domein het universum Ω van een
experiment heeft, en als beeld een deelverzameling van de verzameling reële getallen
→waarde van een stochastisch veranderlijke: y
voorbeeld: functie f(a)=b die mogelijke elementaire uitkomsten afbeeldt naar het aantal
successen
3.1.2 Discrete stochastische veranderlijke en kansverdeling
discrete s.v.: als de s.v. Y: Ω → R slechts een eindig/aftelbaar aantal waarden aanneemt
voorbeeld:
Een gebeurtenis is deelverzameling van universum → toepassen van s.v. levert de waarde yi
op
→kans van specifieke gebeurtenis
kansverdeling van Y: verzameling van alle kansen voor alle mogelijke waarden die de s.v. Y
kan aannemen
(cumulatieve) verdelingsfunctie F(y):
• opstellen op basis van kansverdeling
• geeft kans weer dat s.v. waarde aanneemt die gelijk aan of kleiner is dan een
specifieke waarde yi
→bij grootste waarde van s.v. neemt de functie waarde 1 aan: F(yk)=1
3.1.3 Continue stochastische veranderlijke en dichtheidsfunctie
een continue s.v. neemt oneindig veel waarden aan binnen een eindig interval
(=overaftelbaar)
→ kansverdeling heeft geen zin → kans dat waarde in bepaald interval ligt
met dichtheidsfunctie f(y): s.v. heeft een continue verdeling met dichtheidsfunctie f(y)
waarde voor de s.v. te observeren tussen de waarde y0 en y1 → dichtheidsfunctie
integreren van y0 tot y1
= bepalen oppervlakte onder functie f(y) van y0 tot y1
