Examen wiskunde voor ontwerpers:
Examen
Schriftelijk, Multiple choice
Voorbeeldvragen na elke les op BB (quiz)
Les slides op BB na elke les
Wel te kennen: terminologie, resultaten, voorbeelden
➔ Hij geeft een bepaald patroon -> kan jij hier de symmetrieën herkenden
Les 1: plannen en veelvlakken:
Plannen:
= wat voor mogelijke configuraties van kamer kan je allemaal maken?:
- Een plan: is de plaatsing v/e aantal muren die het bouwoppervlak opdelen in een aantal
ruimten zodat er een aantal activiteiten kunnen plaatsvinden.
- Aangrenzend: 2 kamers zijn aangrenzend indien ze een stuk muur gemeenschappelijk
hebben.
Oefening 1: Ontwerp een loft-plan zodat er vanuit elk van de vier ruimten een deur is naar elke
andere ruimte:
➔ Oplossing verder in de les
kitchen- wellness
diner
living office
room
Oefening 2 : Ontwerp een loft-plan zodat er vanuit elk van de vijf ruimten een deur is naar elke
andere ruimte:
➔ Oplossing verder in de les
kitchen- wellness
diner
office
living
room mancave
Een grondplan, zoals de begane grond van het Schröder- huis kunnen voorstellen door een vlakke
graf.
- Vlakke graf: is een aantal hoekpunten die verbonden zijn met
zijden, die elkaar niet snijden. En het vlak opdelen in gebieden
waaronder ook de buitenruimte. Gebieden (kamers) zijn
aangrenzend als ze een zijde gemeen hebben.
➔ Hier zie je een voorbeeld van een graf met 6 kamers
,We gaan nog verder reduceren (= terugbrengen):
Vlakke graf -> Trivalente vlakke graf : in elk hoekpunt komen juist drie zijden toe, en aangrenzende
gebieden blijven aangrenzend.
= trivalente vlakke graf
• Een zijde met 1 hoekpunt= losstaande muur; een hoekpunt en twee zijden= stelt een hoek
v/e kamer voor;
• Om van situatie 3 naar een trivalente vlakke graf te gaan -> tussen muur plaatsen tussen A en
B
Trivalent vlakke graf van het Schröder- huis:
➔ vereenvoudigen door de 4 rode hoekpunten weg
te laten
➔ Nu komen er in elk hoekpunt 3 zijden toe
We gaan nog 1 keer verder reduceren:
Trivalente vlakke graf -> 3-samenhangende trivalente vlakke graf : alle hoekpunten blijven verbonden
als je één of twee zijden verwijdert.
➔ Deze voorwaarde word opgelet om koterijen te voorkomen
Voorbeelden die niet 3 samenhangend zijn:
Terug naar het Schröder plan -> het gereduceerde plan is al een 3- samenhangende trivalente vlakke graf
Samenvatting van onze reductie stappen: plan
↓
vlakke graf
↓
trivalente vlakke graf
↓?
3-samenhangende trivalente vlakke graf
↓!
trivalent convex veelvlak
,Veelvlakken:
- Veelvlak : ruimtelijke figuur verkregen door veelhoeken langs gemeenschappelijke zijden aan
elkaar te plakken. Elk hoekpunt is volledig omringd door zijvlakken en elke ribbe is de grens
van juist twee zijvlakken.
- Convex veelvlak : veelvlak waarvan in elk hoekpunt de som van de binnenhoeken van de
aangrenzende zijvlakken minder is dan 360°.
➔ (Als de som van de hoeken 360° graden hebben we een vlak)
- Trivalent convex veelvlak : convex veelvlak zodat ik elk hoekpunt juist drie zijvlakken
samenkomen.
De platonische convexe veelvlakken:
➔ Zijn allemaal gemaakt uit gelijkzijdige drie hoeken, vierhoeken, …, regelmatige
veelhoeken
➔ Bijvoorbeeld kubus som van 1binnenhoek is gelijk aan 270°
Zijn al deze convexe veelvlakken trivalent?:
➔ De tetraëder, kubus en Dodecaëder zijn trivalent
➔ De octaëder en Icosaëder niet
Stelling van Ernst Steinitz:
= Elke 3-samenhangende trivalente vlakke graf is de projectie van de ribben
van een trivalent convex veelvlak.
➔ De projectie van het bovenste zijvlak geeft de rand van de
vlakke graf.
➔ Het aantal gebieden van de vlakke graf is gelijk aan het aantal
zijvlakken van het veelvlak.
➔ Het aantal hoekpunten van een gebied van de graf komt overeen met het aantal
hoekpunten van het zijvlak.
➔ We kennen alle configuraties van n kamers indien we alle trivalente convexe veelvlakken
kennen met n + 1 zijvlakken.
We willen alle convexe veelvlakken bepalen:
Elk trivalent convex veelvlak met ten hoogste 11 zijvlakken krijgen we uit de tetraheder door
2 mogelijke operaties:
➔ Afknippen van een hoekpunt.
Bv top afkippen dan krijgt je een driehoek
➔ Opentrekken van een ribbe (indien mogelijk).
, Hoekpunt word weggeknipt -> dit mag alleen als Maar bij een tetraheder kan je geen zijde
de drie hoekpunten verschillend zijn. Daarom mag opentrekken. Want de aanliggende hoekpunten
je bij de tetraheder de top afknippen. zijn het zelfde.
3 kamers:
➔ Een tetraheder geeft ons alle mogelijke combinaties van 3 kamers
4 kamers:
➔ Moeten we een hoekpunt va de tetraheder afknippen -> dan krijg je een drievoudig prisma
5 kamers
= zijn projecties van convexe veelvlakken met 6 zijvlakken
➔ Dit halen we uit de projectie met 4 kamers (= prisma)
➔ Hier kan je nu de zijden wel open trekken
➔ Als je de ribbe van het prisma open trekt krijg je een balk
➔ Maar je kan ook nog een hoekpunt wegknippen
Je krijgt deze figuur ->
Heeft 2 vlakken die een vierhoek zijn
Twee vlakken die een driehoek zijn
Twee vlakken die een vijfhoek zijn
Nu kunnen we de oefeningen oplossen:
Oefening 1 : Ontwerp een loft-plan zodat er vanuit elk van de vier ruimten een deur
is naar elke andere ruimte. kitchen- wellness
diner
➔ Bestaat er een configuratie van 4 kamers die dit kan doen?:
Ja: als je de projectie tov een driehoekig zijvlak gebruik
Projectie van een drievoudig prisma: living office
room
Je krijgt 2 projecties:
1) Een projectie tov een driehoekig zijvlak
2) Een projectie tov een vierhoekig zijvlak
Oplossing:
( je maakt een binnenkamer en je zet de andere kamers er rond)
Examen
Schriftelijk, Multiple choice
Voorbeeldvragen na elke les op BB (quiz)
Les slides op BB na elke les
Wel te kennen: terminologie, resultaten, voorbeelden
➔ Hij geeft een bepaald patroon -> kan jij hier de symmetrieën herkenden
Les 1: plannen en veelvlakken:
Plannen:
= wat voor mogelijke configuraties van kamer kan je allemaal maken?:
- Een plan: is de plaatsing v/e aantal muren die het bouwoppervlak opdelen in een aantal
ruimten zodat er een aantal activiteiten kunnen plaatsvinden.
- Aangrenzend: 2 kamers zijn aangrenzend indien ze een stuk muur gemeenschappelijk
hebben.
Oefening 1: Ontwerp een loft-plan zodat er vanuit elk van de vier ruimten een deur is naar elke
andere ruimte:
➔ Oplossing verder in de les
kitchen- wellness
diner
living office
room
Oefening 2 : Ontwerp een loft-plan zodat er vanuit elk van de vijf ruimten een deur is naar elke
andere ruimte:
➔ Oplossing verder in de les
kitchen- wellness
diner
office
living
room mancave
Een grondplan, zoals de begane grond van het Schröder- huis kunnen voorstellen door een vlakke
graf.
- Vlakke graf: is een aantal hoekpunten die verbonden zijn met
zijden, die elkaar niet snijden. En het vlak opdelen in gebieden
waaronder ook de buitenruimte. Gebieden (kamers) zijn
aangrenzend als ze een zijde gemeen hebben.
➔ Hier zie je een voorbeeld van een graf met 6 kamers
,We gaan nog verder reduceren (= terugbrengen):
Vlakke graf -> Trivalente vlakke graf : in elk hoekpunt komen juist drie zijden toe, en aangrenzende
gebieden blijven aangrenzend.
= trivalente vlakke graf
• Een zijde met 1 hoekpunt= losstaande muur; een hoekpunt en twee zijden= stelt een hoek
v/e kamer voor;
• Om van situatie 3 naar een trivalente vlakke graf te gaan -> tussen muur plaatsen tussen A en
B
Trivalent vlakke graf van het Schröder- huis:
➔ vereenvoudigen door de 4 rode hoekpunten weg
te laten
➔ Nu komen er in elk hoekpunt 3 zijden toe
We gaan nog 1 keer verder reduceren:
Trivalente vlakke graf -> 3-samenhangende trivalente vlakke graf : alle hoekpunten blijven verbonden
als je één of twee zijden verwijdert.
➔ Deze voorwaarde word opgelet om koterijen te voorkomen
Voorbeelden die niet 3 samenhangend zijn:
Terug naar het Schröder plan -> het gereduceerde plan is al een 3- samenhangende trivalente vlakke graf
Samenvatting van onze reductie stappen: plan
↓
vlakke graf
↓
trivalente vlakke graf
↓?
3-samenhangende trivalente vlakke graf
↓!
trivalent convex veelvlak
,Veelvlakken:
- Veelvlak : ruimtelijke figuur verkregen door veelhoeken langs gemeenschappelijke zijden aan
elkaar te plakken. Elk hoekpunt is volledig omringd door zijvlakken en elke ribbe is de grens
van juist twee zijvlakken.
- Convex veelvlak : veelvlak waarvan in elk hoekpunt de som van de binnenhoeken van de
aangrenzende zijvlakken minder is dan 360°.
➔ (Als de som van de hoeken 360° graden hebben we een vlak)
- Trivalent convex veelvlak : convex veelvlak zodat ik elk hoekpunt juist drie zijvlakken
samenkomen.
De platonische convexe veelvlakken:
➔ Zijn allemaal gemaakt uit gelijkzijdige drie hoeken, vierhoeken, …, regelmatige
veelhoeken
➔ Bijvoorbeeld kubus som van 1binnenhoek is gelijk aan 270°
Zijn al deze convexe veelvlakken trivalent?:
➔ De tetraëder, kubus en Dodecaëder zijn trivalent
➔ De octaëder en Icosaëder niet
Stelling van Ernst Steinitz:
= Elke 3-samenhangende trivalente vlakke graf is de projectie van de ribben
van een trivalent convex veelvlak.
➔ De projectie van het bovenste zijvlak geeft de rand van de
vlakke graf.
➔ Het aantal gebieden van de vlakke graf is gelijk aan het aantal
zijvlakken van het veelvlak.
➔ Het aantal hoekpunten van een gebied van de graf komt overeen met het aantal
hoekpunten van het zijvlak.
➔ We kennen alle configuraties van n kamers indien we alle trivalente convexe veelvlakken
kennen met n + 1 zijvlakken.
We willen alle convexe veelvlakken bepalen:
Elk trivalent convex veelvlak met ten hoogste 11 zijvlakken krijgen we uit de tetraheder door
2 mogelijke operaties:
➔ Afknippen van een hoekpunt.
Bv top afkippen dan krijgt je een driehoek
➔ Opentrekken van een ribbe (indien mogelijk).
, Hoekpunt word weggeknipt -> dit mag alleen als Maar bij een tetraheder kan je geen zijde
de drie hoekpunten verschillend zijn. Daarom mag opentrekken. Want de aanliggende hoekpunten
je bij de tetraheder de top afknippen. zijn het zelfde.
3 kamers:
➔ Een tetraheder geeft ons alle mogelijke combinaties van 3 kamers
4 kamers:
➔ Moeten we een hoekpunt va de tetraheder afknippen -> dan krijg je een drievoudig prisma
5 kamers
= zijn projecties van convexe veelvlakken met 6 zijvlakken
➔ Dit halen we uit de projectie met 4 kamers (= prisma)
➔ Hier kan je nu de zijden wel open trekken
➔ Als je de ribbe van het prisma open trekt krijg je een balk
➔ Maar je kan ook nog een hoekpunt wegknippen
Je krijgt deze figuur ->
Heeft 2 vlakken die een vierhoek zijn
Twee vlakken die een driehoek zijn
Twee vlakken die een vijfhoek zijn
Nu kunnen we de oefeningen oplossen:
Oefening 1 : Ontwerp een loft-plan zodat er vanuit elk van de vier ruimten een deur
is naar elke andere ruimte. kitchen- wellness
diner
➔ Bestaat er een configuratie van 4 kamers die dit kan doen?:
Ja: als je de projectie tov een driehoekig zijvlak gebruik
Projectie van een drievoudig prisma: living office
room
Je krijgt 2 projecties:
1) Een projectie tov een driehoekig zijvlak
2) Een projectie tov een vierhoekig zijvlak
Oplossing:
( je maakt een binnenkamer en je zet de andere kamers er rond)
